Forces d’inertie

Forces d’inertie

I₃₅. Point matériel coulissant sur une tige en rotation.

Le référentiel direct orthonormé (Ox, Oy, Oz) est considéré comme galiléen, Oz étant dirigé suivant la verticale ascendante. Une tige rectiligne AB de longueur et de milieu O tourne dans le plan horizontal xOy autour du point O à la vitesse angulaire constante ω.

2L

Un ressort de longueur à vide et de constante de raideur

k

est enroulé autour de la tige, une de ses extrémités étant fixée en O et l'autre étant solidaire d'un point matériel M, de masse ^m, qui peut coulisser sans frottement sur la tige.

A0

On pose : ω₀ = k m/ . Soit gG

1e champ de pesanteur terrestre.

1) Soit le référentiel direct orthonormé (Oxm, Oym, Oz), Oxm étant porté par la tige AB.

a) Ecrire le principe fondamental de la dynamique pour le point matériel M dans le référentiel (Oxm, Oym, Oz).

b) En déduire la position d'équilibre du point matériel M relativement à la tige AB. Discuter.

c) On donne :

0 1

2 1

1 2

2 2, 50 m 10 cm 48 N.m 50 g

9, 81m .s 10, 5 rad.s 36, 7 rad.s

L k

g

−

− −

= = = =

= ω = ω =

A

G ₁

m

−

OM

ositions d’équilibre de M par rapport à la tige et, si elles ex

quelle(s) M oscille-t-il indéfiniment sur la tige, sans atteindre ses extrémités ?

III

oulisse sans frottement sur ce cercle. On repère la position de P par l’angle θ = (O

Calculer s'il y a lieu les valeurs xm1 et xm2 des positions d'équilibre du point M correspondant à ω1 et ω2. 2) a) Le point matériel M est déplacé de sa position d'équilibre d’une distance a (suivant le sens de l'axe Oxm) et abandonné sans vitesse initiale à l'instant t = 0. Déterminer l'équation du mouvement de M et en déduire la période T des oscillations.

b) On donne a = 3 cm. Calculer s'il y a lieu les périodes T₁ et T₂ correspondant à ω₁ et ω₂. II₃₂. Tige tournante avec ressort.

Par rapport à un référentiel galiléen, une tige de longueur L tourne dans un plan horizontal autour de son extrémité O avec une vitesse angulaire ω constante. Un mobile M de masse m coulisse sans frottement sur cette tige. Il est attaché au point O par un ressort de raideur k et de longueur naturelle A < L. On repère la position de M par son abscisse qui est la distance x =

.

1) Discuter selon la valeur de k s’il existe une ou plusieurs p istent, déterminer leurs abscisses sur la tige et leur stabilité.

2) Jusque l’instant 0, le mobile M est bloqué sur la tige à la distance A de O. On le libère alors. A

A

P θ

O B

Vue du dessus O M

condition(s) sur L le mobile

29. Cercle tournant.

Un cerceau horizontal, de centre O et de diamètre AB = 2R, tourne avec une vitesse angulaire constante ω autour d’un axe vertical passant par un de ses points A. Un petit anneau P c

B,OP).

1) Exprimer l’angle α = (AO,AP) en fonction de θ.

2) Exprimer la longueur AP en fonction de R et θ.

3) Donner la liste des forces qui s’appliquent à P dans le référentiel lié au cercle.

u cercle en P, trouver l’équation régissant θ(t).

’équilibre relatif de P par rapport au cercle.

? A défaut d’une justification stic, est demandé.

IV

1) Un pendul xe. Soit

e

4) Quel est le travail de ces forces ? Peut-on leur associer une énergie potentielle ? 5) En projetant la loi fondamentale de la dynamique sur la tangente a

6) Retrouver cette équation en utilisant la conservation de l’énergie.

7) Déterminer les positions d 8) Déterminer leur stabilité.

9) S’il existe une position d’équilibre stable, calculer la période des petites oscillations au voisinage de cette position.

10) Cette période est-elle égale, inférieure ou supérieure à celle des grandes oscillations rigoureuse, possible, mais longue, un argument précis, et non un prono

18. Pendule excité (d’après ENAC Contrôle 1999 ).

e de longueur A est attaché à un point O’ fi 9, 8 m.s 2

g = ⁻ l’accélération de la pesanteur ; on pos ω0 = g/A. Calculer A sachant que la période des oscillations est T =1s.

2) A présent, O’ se déplac ne droite horizontale (D). Si t , l’abscisse de O’ sur (D) est le est vertical ; si , l’abscisse de O’ sur (D) est ^{X X}m

(

− ω^t

e sur u <

et le pendu

)

0 0

X = t >0

= 1 cos . Montrer que si l’angle du pendule avec l

0 t > ,

θ a verticale obéit à

t cos cos

0sin ^Xmω θ ω .

−

= θ ω +

θ ^{2 2}

A

3) Déterminer en supposant que cet angle reste petit.

4) On donne ci-contre le graphe de

( )t θ

( )

⎟

⎠

⎝6

⎜ ⎞

⎛ π

−

πt 52 t cos 2

cos . Comment est le graphe de θ^{( )}t si

0 6

ω que θ reste petit ? Quelle condition qualitative doit vérifier Xm pou

ω 5

= en supposant r qu’il soit correct ? Expliquer pourquoi le pendule V

r n po

asse

sur lui une force ^P

semble s’arrêter périodiquement et justifier la période de ces arrêts.

15. Mobile attaché à un plateau tournant, inspiré de ENAC 1982.

1) Par rapport au référentiel terrestre, supposé galiléen, un plateau horizontal et circulaire, de centre O et de rayon R, tourne à vitesse angulai e ω constante autour d’un axe vertical ascendant Oz, dans le sens positif lié à cet axe. U B, situé à une distance b de O, est fixe par rapport au plateau. Un mobile ponctuel P de m glissant sans frottement sur le plateau attaché à B par un élastique qui exerce −

m, int

, est FG1 = kBJJJG

, où est une co

k nstante positive. Soit ⁽P⁾ le référentiel lié au plateau. On note Ω= k/m, ωG = ωuG_z

.

existence e

et on tient compte du caractère fini de . Discuter l’existence de C, en considérant que P

do ur le

P par X,

it un

1.a) Déterminer la ou les positions C d’équilibre relatif de P par rapport à ⁽P⁾.

1.b) Discuter leur et leur disposition par rapport à O et B n supposant ^R très grand.

1.c) On suppose b =R/ 2 R

it rester s plateau.

2) Dans ⁽P⁾, on repère la position de ses coordonnées Y⁾ sur deux axes d’origine C ; CX est parallèle à OC et de même sens et CY fa angle +π/ 2 avec CX. Soit ^{( )}

(

R le référentiel lié à C et en translation par rapport au référentiel terrestre. Dans ⁽R⁾, on repère la position de P par ses coordonnées (x y, ) sur deux axes d’or

du référentiel te l’instant 0, Cx et s

igine C et parallèles aux axes rrestre. A CX ont confondus, P est au point P0 tel que

0 0 0 x

P =r =x u CJJJG G G

avec la vitesse vG0 =v u0Gy

par rapport à ⁽R⁾.

2.a) Quelles sont les forces qui s’exercent sur P dans le référentiel ⁽R⁾ ? On pourra omettre le poids et la réaction du

tions différentielles régissant et , ou plateau.

x t( ) y t^{( )} r tG^{( )}=CPJJJG . 2.b) Ecrire les équa

2.c) Les résoudre.

2.d) Quelle est la trajectoire de P dans ⁽R⁾ ?

2.e) Que peut-on dire de la stabilité de l’équilibre de P en C ?

3.a) Quelles sont les forces qui s’exercent sur P dans le référentiel ⁽P⁾ ? Les exprimer en fonction de RG =CPJJJG et de

ire les équati

n différentielle régissant s en 4) Que peut-on dire de l’énergie potentielle de P dans s paramètres du problèmes.

3.b) Ecr ons différentielles régissant X t^{( )} et Y t^{( )}. 3.c) Si u =X +iY , écrire l’équatio u t^{( )}. 3.d) En trouver la solution générale.

3.e) Expliquer la différence entre les solutions obtenue 2.c) et 3.d).

( )R ou dans ^{( )}P ? Est-elle minimum en C ?

5) On suppose à présent ω = 0 et qu’en outre P est freiné par la force FG₂ =−fvG

, où f est une constante positive et vG

la vitesse de P . Les conditions initiales sont les mêmes que précédemment. Sans calcul, indiquer la forme de la trajectoire de P suivant le signe de f² −4km.

VI41.

1) Un corps assimilable à un point matériel M glisse sans frottement sur un plateau horizontal. Il est attaché par un ressort de raideur k et de longueur naturelle L à un point fixe O du plateau. Démontrer que l’action du ressort sur M dérive de l’énergie potentielle 1 ⁽OM − ⁾²

p 2

E = k L

L

)

) ) )

, le mouvement de M n’étant pas nécessairement rectiligne.

O M

D B

A C

x 2) Soit a k trois constantes positives. Un corps assimilable à un point matériel M y

glisse sans frottement sur un plateau horizontal. Il est attaché par quatre ressorts identiques de raideur k et de longueur naturelle aux quatre sommets ABCD d’un carré situé dans le plan du plateau, de centre O et dont la diagonale a pour longueur (figure). Les coordonnées des quatre sommets du carré sont respectivement : A ( , B

, C ( et D ( . Quand le point M, de coordonnées x y, se trouve au voisinage de O, l’énergie potentielle associée à la force totale des quatre ressorts sur M est approximativement donnée par

, ,

L

2a , 0 a

(0,a −a, 0 0,−a ,

(

²

)

^{( 2 2}

p

L x y )

= −a +

F x m x k x

= = ω − −

A

E k . On considérera dans la

suite des mouvements au voisinage de O, pour lesquels cette approximation est suffisante.

a) Quelle force agit sur M ?

b) Quelle est la position d’équilibre de M ? c) Est-elle stable ?

3) A présent, le plateau tourne autour de l’axe vertical Oz par rapport au référentiel terrestre avec une vitesse angulaire constante. Ecrire le système différentiel déterminant la position de M au voisinage de O en fonction du temps t dans le référentiel du plateau. Discuter la forme de la solution de ce système. La position d’équilibre est-elle stable ?

ω

Réponses

I. 1.a) mx ^{( ) 2} ( ₀) ; 1.b) ⁰₂

1 /

xm . existe si et

m k

= − ω

A

ω<ω0 ₂⁰ ₂

1 / 0 <L

− ω ω

A ; 1.c)

; pas de position d’équilibre pour ω ; 2.a) ;

1 11, 3 cm

xm = ₂ x= ω²x − ω²₀(x−A₀)

20

2

2

= π

ω − ω

T ; 2.b)

1 0,216 s. T =

II. 1) si

m L2

k L

< ω

−A, pas de position d’équilibre ; si

m L2

k , une position d’équilibre stable L

> ω

−A ²

x k ; 2)

k m

= − ω

A

2 2

k m L k m + ω

> − ω A.

III. 1) (AO AP, )= θ/2 ; 2) AP =2 cosR (θ/ 2) ; 3) le poids, la réaction du cerceau, la force centrifuge mω²APJJJG

et la force de Coriolis ; 4) _p =−2 ω^{2 2}R cos²(θ/2) =−ω θ =

= = π ω

E m ; 5) et 6) θ ; 7) deux positions d'équilibre θ

et ; 8) θ est stable et instable ; 9) T ; 10) La période des grandes oscillations est plus grande.

2sin 0

θ =π 0 θ =π 2 /

IV. 1)

2

2 0,248 m 4

=gT =

A π ; 3)

(

^{Xm 2}0

) ⁽

^{t 0t}

2 2

cos

cosω − ω

ω

− ω

= ω

θ A

)

; 4) graphe demandé = celui proposé ;

2 2

1 0

ω

−ω

<<A

Xm ; arrêt lorsque les deux fonctions sinusoïdales sont en phase ; période des arrêts

0

2π =6 s ω − ω .

V. 1.a) ou

2 2

2 2 2 2

OC Ω OB BC OB

= =

Ω − Ω −

JJJG JJJG JJJG ω JJJG

ω ω ; 1.b) si , O, B et C sont alignés dans cet ordre ; si , C n’existe pas ; si ω , C, O et B sont alignés dans cet ordre ; 1.c) C existe si

ω <Ω

ω =Ω >Ω ou ³

2 2

< Ω > Ω

ω ω ; 2.a)

tension de l’élastique et force d’inertie d’entraînement ; 2.b)

2 2

2 0

d r r dt +Ω =

G G G

; 2.c) ₀cos v⁰sin r =r Ωt + Ωt

Ω G G G

)

+

; 2.d) ellipse de centre C et d’axes Cx et Cy ; 2.e) stable ; 3.a) tension de l’élastique − Ω^{m 2}

(

^{BCJJJG RG} , force d’inertie

)

d’entraînement ^mω2

(

^OCJJJG+RG et force d’inertie de Coriolis 2 dR mω dt

− ∧

G G

; 3.b) ;

; 3.c) ; 3.d) qui

diffère de la solution de 2.c) par une rotation autour de C de l’angle ; 4) dans ⁽ , l’énergie potentielle de P ,

2 2 2

X =−ΩX +ω X + ωY

X t

2 2 2

Y =−ΩY +ωY − ω u+2i uω +

(

Ω −² ω²

)

u =0 u =exp(−i t Aω )( cosΩt+BsinΩ )

−ωt P)

2 2

1 1

2kBP −2m OPω ² est minimum en C si ω ≤Ω ; dans (R), l’énergie potentielle n’existe pas ; 5) voir corrigé.

VI. 2.a) ^{FG =−2 2k}

(

^−L_a

)

^rG ; 2.b) l’origine ; 2.c) stable si L <2a ; 3) ^x=

(

^{ω −2 2}_m^k

(

^2−L_a

) )

^{x +2ωy et}

( )

(

^{2 2k 2 L}

)

²

y y x

m a

= ω − − − ω

; stable si L <2a.

Corrigé

I.

1.a) M est soumis à la force centrifuge et à la tension du ressort. En effet, le poids, la réaction de la tige et la force de Coriolis sont perpendiculaires à la tige. Si x =OM, la loi fondamentale de la dynamique donne

( ) ² ( ₀)

mx=F x =m xω −k x−A

1.b) A l’équilibre 0 ⁰₂

1 /

F xm

m k

= ⇒ =

− ω

A . Cette position d’équilibre n’existe que si , soit

et

0<x_m <L

ω<ω0 ₂⁰ ₂

1 / 0 <L

− ω ω

A .

1.c) ₀ ⁴⁸ 30, 98 rad/s 0, 05

w = = , donc il n’existe pas de position d’équilibre pour ω₂.

( )

1 2

10 11, 3 cm

1 10, 5 / 30, 98

xm = =

−

2) x=ω²x− ω²₀(x −A₀). comme ω<ω₀,c’est un oscillateur harmonique de pulsation Ω telle que

2 2 2

0 2 2 1 2 2

0

2 2 2

0,216 s 30, 98 10, 5

T π π T π

Ω =ω − ω ⇒ = = = =

Ω ω − ω − .

II.

1) Étudions le mouvement de M dans le référentiel de la tige. M est soumis à cinq forces, dont trois sont

perpendiculaires à la tige : le poids, la réaction de la tige et la force de Coriolis. Seules agissent la force centrifuge et la tension du ressort : la projection sur la tige de la force totale est F x^{( )}=m xω² −k x( −A).

A l’équilibre, ^{( )} 0 k ₂

F x x

k m

= =

− ω A .

Cette position n’existe que si

( )

2 2

2 2

0 0

k m k m

x L m L

k k m L k

L

⎧ − ω > > ω

⎪⎪⎪⎪

< < ⇒ ⎨⎪⎪⎪⎪⎩ ^A< − ω > ω−A

Comme L 1

L >

−A , la seconde condition implique la première. Donc :

• si

m L2

k L

< ω

−A, il n’y a pas de position d’équilibre ;

• si

m L2

k L

> ω

−A, il y a une position d’équilibre k ₂ x =k m

− ω

A qui est stable puisque dF ^{2 0}

m k

dx = ω − <

2) La force dérive de l’énergie potentielle ^{( )}

2 2 p 2

k m

E F x dx − ω x

=−

∫

= −k x^{A .}

D’après la conservation de l’énergie, ¹₂mx² +Ep⁽x⁾=Ep^{( )}A , donc le mobile oscille dans la région . Son abscisse varie entre les deux racines de

( ) ( )

p p

E x <E A

( ) ( ) ²

(

^{2 2}

)

^{( ) ( ) 2( )}

0 ^{p p} 2 2

k m k m

E x E − ω x k x x ⎡⎢ − ω x k ⎤⎥

= − A = −A − A −A = −A ⎢⎣ +A − A⎥⎦

Les deux positions extrêmes sont donc : ²

2 2

2 x

k k m

x k m k m

⎧⎪⎪ =

⎪⎪⎨ + ω

⎪ = − =

⎪⎪⎪⎩ − ω − ω

A

A A A

La condition pour que le mobile reste sur la tige est

2 2

k m L k m + ω

> − ω A. Autre solution.

Comme est une fonction affine de x, le mobile est un oscillateur harmonique ; il oscille entre et tels que

( )

F x x₁ =A <L

x2 ^{1 2} ₂

2 ^eq

x x k

x k m

+ = =

− ω

A . Il reste sur la tige si

2

2 2 2

2k k

x L L

k m k m

+ ω

= − < >

− ω − ω

A A m A

2 III29. Cercle tournant.

1) (AO AP, )=θ/ . 2) AP =2 cosR (θ/ 2).

ω AP

3) Les forces qui s'appliquent à P dans le référentiel lié au cerceau sont le poids, la réaction du cerceau, la force centrifuge m ²JJJG

P dAP ω ⋅ et la force de Coriolis.

4) Le travail de ces forces est nul sauf celui de la force centrifuge qui est m ²AJJJG JJJG

. L'énergie potentielle E associée à la force totale est telle que

p

( )

2 1 2 2 2

2 cos /

p =− ωm AP dAP⋅ ⇒Ep =−2m APω =− m Rω 2 2 θ 2 dE JJJG JJJG

. 5) mRθ=− ωm AP² sin(θ/2)=− ωm ²2 cosR (θ/2 sin) (θ/2)=− ωm R² sinθ θ=−ω²sinθ.

6) L'énergie E_c +E_p =₂¹mR^{2 2}θ − 2m Rω^{2 2}cos²(θ/2)

m R mR

θθ+ ω θ θ θ = ⇒ θ θ+ω θ =

θ

= π ω

+θ 6

se conserve donc a une dérivée par rapport au temps nulle : mR^{2 2 2 2 cos}( ^{/ 2 sin}) ( ^{/ 2}) ^{0 2}

(

^2sin

)

⁰.

Il faut rejeter la solution parasite θ =0. L'expression entre parenthèses est donc nulle. On retrouve l'équation de 5).

7) P est en équilibre si θ =0, soit sinθ =0. Il y a deux positions d'équilibre θ =0 et θ =π.

8) En examinant le sens de la force centrifuge au voisinage de ces positions d'équilibre, on voit que est stable et instable.

θ =0 θ =π

On peut aussi remarquer que l'énergie potentielle est minimum pour θ =0 et maximum pour θ =π.

9) Pour les petites oscillations au voisinage de , sin , donc P est un oscillateur harmonique approché de pulsation , donc de période T égale à la période de rotation du cerceau.

θ =0 θ

ω 2 /

10) La période des grandes oscillations est plus grande que celle des petites oscillations, car la force de rappel loin de la position d’équilibre est plus petite : sin ; aussi, lors des grandes oscillations, le temps passé loin de la position d’équilibre est plus grand. Pour les oscillations du pendule d’amplitude θ , Borda a calculé cet allongement dû à la

grandeur des oscillations : T T .

θ<θ

m

(

²

)

0 1 _m/1

IV.

O O'

mg^G ma^Ge

M − θ X 1)

2

2 2

2 9, 8 0,248 m

4 4

T gT .

= π g ⇒ = = =

π π

A A

2) Dans le référentiel en translation par rapport au référentiel terrestre et lié à O', le pendule est soumis au poids, à la tension du fil et à la force d’inertie d’entraînement

2 2

md OO dt

− ′

JJJJG

g mX

θ =− θ − θ

A

. La projection de la loi fondamentale de la dynamique sur l’orthoradiale s’écrit m m où

, d’où

sin cos

t X

X= _mω²cosω X_m t

ω ω θ

−

= θ ω +

θ sin cos cos

2 2

0 A

.

Au lieu d’appliquer la loi fondamentale de la dynamique, on peut utiliser le théorème du moment cinétique en O' :

( )

( )

O z e

z

dL O M mg ma

dt

′ = JJJJG′ ∧ G− G

, soit

(

²

)

sin cos

d m mg mX

dt

θ =− θ −

A A A θ

θ

.

3) Si est petit, l’approximation linéaire donne θ sinθ et cosθ 1, donc l’équation différentielle est X_m t

ω ω

−

= θ ω +

θ cos

2 2

0 A

. Sa solution générale est la somme de la solution générale de

l’équation sans second membre θ et d’une solution particulière

0 0

cos sin

A t B

θ= ω + ω t +ω θ²₀ =0 θ=Ccosωt pour laquelle on calcule C en

portant θ=Ccosωt dans l’équation différentielle :

(

²0

)

2

ω

2 2

2 0

2cos cos cos

− ω

= ω

⇒ ω ω

−

= ω ω + ω ω

− A A

m

m X

C X t

t C

t

C .

Donc la solution générale est ^{θ=Acosω t+Bsinω t+}

(

^ωXm−ωω20

)

^cosωt.

2 2 0

0 A

A l’instant 0, ^θ

( )

0 ^=A+C=0^⇒A=−C.

A l’instant 0, la vitesse de O' est continue et nulle. Donc la vitesse initiale de M dans le référentiel lié à O' est nulle : .

D’où la solution

( )

^sin

( )

^{0 0 0}

cos _{0 0 0}

0 ω − ω − ω ω θ = ω = ⇒ =

ω

=

θ B t A C t B B

(

^{Xm 2}0

) ⁽

^{t 0t}

⁾

2 2

cos cosω − ω ω

− ω

= ω

θ A .

4) A un changement d’échelle verticale près, le graphe demandé est le même que celui proposé. On remarque que le pendule s’incline d’abord vers l’arrière, ce qui traduit qu’il suit le mouvement de O' avec retard.

Cette théorie n’est correcte que si reste petit, donc si θ X_m A1−ω²₀/ω² . Le pendule s’arrête lorsque les deux fonctions sinusoïdales sont en phase, soit ₀

0

2 2

t t k t k π

ω − ω = π =

ω − ω (k entier). La période des quasi arrêts est donc

0 0

2 2

6 6

π π

= =

ω − ω ω s. V. inspiré de ENAC 1982.

1.a) Plaçons nous dans (P). A l’équilibre, P est soumis à la tension de l’élastique et à la force centrifuge :

( )

^ou

( )

ou

2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

0

0 0

kBC m OC

m OC OB m OC kBC m OB BC

OC OB BC OB

− + =

− Ω − + = − + +

= Ω =

Ω − Ω −

= JJJG JJJG G

G G

JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG

JJJG JJJG JJJG JJJG

ω

ω ω

ω

ω ω

1.b) Si , O, B et C sont alignés dans cet ordre. Si , C n’existe pas. Si ω , C, O et B sont alignés dans cet ordre.

ω <Ω ω =Ω >Ω

1.c) ou

2 2 2 2

2 2 2 2 2

/ 2 1 1

1 2 2

OC R ΩR R

< < − > <

Ω − Ω Ω Ω

ω ω ω

ω

3

>2, soit ou 3 2 2

< Ω > Ω

ω ω .

2.a) P est soumis à la tension de l’élastique et à la force d’inertie d’entraînement ; cette dernière est indépendante de sa position, puisque ⁽R⁾ est en translation : tous les points de ( )R ont même accélération, qui est celle de C, dont le mouvement est circulaire uniforme.

La force de Coriolis est nulle, puisque ( )R est en translation par rapport à un référentiel galiléen.

2.b) ^{md r}_dt²₂^{G =−k BC}

(

^JJJG+rG

)

^+mω2OCJJJG. Comme C est une position d’équilibre, −kBCJJJG+m OC²JJJG =0G

ω . D’où :

2 2

2 0

d r r dt +Ω =

G G G

.

2.c) 0cos v⁰sin r =r Ωt + Ω

Ω t

G G G

.

2.d) La trajectoire est une ellipse de centre C ; pour les conditions initiales de l’énoncé, ses axes sont Cx et Cy.

2.e) C est une position d’équilibre stable, car, si r₀ et v₀ sont petits, le mobile reste près de C.

3.a) P est soumis à la tension de l’élastique ^{−kBPJJJG =− Ωm 2}

(

^BCJJJG+RG

)

, à la force d’inertie d’entraînement

(

2 2

m OPω ^JJJG=mω OC^JJJG+R^G

)

et à la force d’inertie de Coriolis 2 dR mω dt

− ∧

G G .

3.b) En projetant la loi fondamentale de la dynamique et en tenant compte de ce que −kBCJJJG+m OCω²JJJG = 0G (question 1.a) :

2 2

2 2

2 2

mX m X m X m Y

mY m Y m Y m X

ω ω

ω ω

=− Ω + +

=− Ω + −

3.c) Multiplions la deuxième équation par i et ajoutons la à la première ; comme ^{Y −iX =−i X}

(

^+iY

)

^=−iu :

( )

( )

2 2

2 2

2

2 0

u u i

u i u u

ω ω

ω ω

= − Ω −

+ + Ω − =

u

t 3.d) L’équation caractéristique est

( )

( )( )

2 2 2

2 2 2 2

2 0

4 4 4

exp cos sin

r i r

r i i

u i t A t B

ω ω

ω ω

ω ω

+ +Ω − =

∆=− − Ω − =− Ω

=− ± Ω

= − Ω + Ω

3.e) représente le mouvement trouvé en 2.c). La multiplication par ) représente une rotation autour de Oz de l’angle et signifie le passage de (

cos sin

u =A Ωt+B Ωt exp(−i tω

ωt

− R) à ⁽P⁾, ⁽P) ayant tourné de ωt par rapport à ( )R . Si le référentiel tourne d’un certain angle, la figure par rapport à ce référentiel tourne de l’angle opposé.

4) Dans ⁽P⁾, l’énergie potentielle de P est ¹₂kBP²−¹₂m OPω^{2 2}. Si ω ≤ , elle est minimum en C, sinon elle n’est pas minimum en ce point. Si , bien que l’énergie potentielle n’est pas minimum en C, C est une position

d’équilibre stable, grâce à la force de Coriolis.

Ω ω>Ω

Dans ( )R , l’énergie potentielle n’existe pas, car, à cause des mouvements de B et C, la force totale dépend

explicitement du temps et n’est pas conservative : son travail dépend du temps et, en général, n’est pas nul sur un cycle.

5)

Si f² −4km <0 Si f² −4km>0

P0

C C

P0

VI.

1) ^{( ) ( ) 1 ( )2}

p r p 2

dE =−k r−L uG ⋅drG =−k r−L dr ⇒E = k r −L .

2.a) Le poids et la réaction du plateau se neutralisent. Comme les forces exercées par les ressorts sont des champs de force, ^{FG =−gradJJJJGEp =−2 2k}

(

^−L_a

)

^rG.

2.b)FG = 0G

seulement à l’origine, qui est la seule position d’équilibre.

2.c) Elle est stable si la force est une force de rappel (ou si l’énergie potentielle est minimum), donc si L . Elle est instable si la force tend à écarter M de sa position d’équilibre, donc si L . On ne peut pas conclure si L a.

2a

<

>2a =2

3)

2 2

2 2 2

d r dr

m kr m r m

dt =− + ω − ω ∧ dt

G G

G G G

.

( )

( )

( )

( )

2

2

2 2 2

2 2 2

k L

x x

m a

k L

y y

m a

⎧⎪ = ω − − + ω

⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪ = ω − − − ω

⎪⎪⎪⎩

y x

Posons u =x +iy, multiplions la deuxième équation par i = −1 et ajoutons lui la première :

( )

( )

( )

( )

2

2

2 2 2

2 2 2

k L

u u

m a

k L

u i u u

m a

= ω − − − ω

+ ω + ω + − =

0

i u

d’équation caractéristique ^{r2 +2iωr +2}_m^k

(

^2−L_a

)

^{u =0}, qui a pour discriminant

( )

( ) ( )

2 2 8

4 4 2k 2 L k 2 L

m a m a

ω − ω + − = − .

Si L <2a, les deux racines de l’équation caractéristiques sont imaginaires pures et l’équilibre est stable.

> a

= a

Si L 2 , l’une des racines de l’équation caractéristiques a une partie réelle positive et l’équilibre est instable.

Si L 2 , on ne peut pas conclure.