Déterminer quandx0s’annule puis étudier le signe dex0

Contrôle continu 3 : mardi 26 mai 2015

Durée : 25 minutes.La calculatrice Université de Bordeaux est autorisée. Aucun document autorisé.

Exercice : DST Juin 2009 (2ème session) .SoitF~ l’arc paramétré définie parx(t) = t²

t−1 ety(t) =t+4 t. 1. Préciser le domaine de définition et la classe de dérivabilité de l’arc.

2. Pourt∈R\{1}, calculerx⁰(t)et, pourt6= 0, calculery⁰(t).

3. Déterminer quandx⁰s’annule puis étudier le signe dex⁰. 4. Déterminer quandy⁰s’annule puis étudier le signe dey⁰.

5. Construire le tableau de variations deF~ en précisant les limites aux bornes du domaine de définition, les extrema et les valeurs detoùxetys’annulent.

6. Bonus (1 point) :Quelle la nature de la branche infinie ent= 0? Même question ent= 1?

Correction du CC 3 (mardi 26 mai 2015).

Exercice : DST Juin 2009 (2ème session).

1) Les fonctionst7→x(t)ett7→y(t)sont des fonctions rationnelles donc de classeC^∞sur leur domaine de définition.

La fonctionxest définie surR\{1}et la fonctionyest définie surR^∗. L’arc est défini et de classeC^∞surR\{0; 1}.

2) Soitt6= 1, on ax⁰(t) = 2t(t−1)−t²

(t−1)² = t²−2t

(t−1)². Soitt6= 0, on ay⁰(t) = 1− 4 t². Donc, pourt6= 1, x⁰(t) = t(t−2)

(t−1)² et, pourt6= 0, y⁰(t) = 1− 4 t².

3) Soitt6= 1, alorsx⁰(t) = 0⇔t(t−2) = 0⇔t= 0out= 2. Doncx⁰ s’annule ent= 0ett= 2.

De plus, pourt6= 1, x⁰(t)≥0⇔t(t−2)≥0car(t−1)² ≥0, donc x⁰(t)≥0⇔t≤0out≥2 et x⁰(t)≤0⇔0≤t≤2.

4) Soitt∈R^∗, alorsy⁰(t) = ^t2_t⁻⁴2 , doncy⁰(t) = 0⇔t²−4 = 0⇔t=−2out= 2.

Doncy⁰s’annule ent=−2ett= 2.

Soitt∈R^∗, alorsy⁰(t)≥0⇔t²−4≥0cart² ≥0. Donc y⁰(t)≥0⇔t≤ −2out≥2 et y⁰(t)≤0⇔t∈[−2; 2].

5) On en déduit le tableau de variations suivant (calculs des valeurs et des limites à faire) :

t −∞ −2 0 1 2 +∞

x⁰(t) + 0 − − 0 +

x(t)

−∞

*

−⁴₃

*

0

@

@

@ R−∞

+∞

@

@

@ R4

+∞

y(t)

−∞

−4

@

@

@ R−∞

+∞

HH H j 5

HH H j4

+∞

y⁰(t) + 0 − − 0 +

6) Ent= 0,x(0) = 0etlim

t→0y(t) =±∞donc la courbe représentant l’arcF~ admet une asymptote verticale d’équation x=x(0) = 0.

Ent= 1,y(1) = 5etlim

t→1x(t) =±∞donc la courbe représentant l’arcF~ admet une asymptote horizontale d’équation y=y(1) = 5.