La th´eorie de la production

La th´eorie de la production

La production d’une entreprise, d’une branche ou d’une nation est souvent exprim´ee par une fonction de production. S’il y a un seul output on peut ´ecrire:

q =f(x1, x2, . . . , xr)

o`u q est le bien produit etxi ; i= 1, . . . , r les facteurs de production. Si l’entreprise produit plusieurs biens, il faut utiliser une forme implicite et ´ecrire:

Φ(q1, . . . , qm;x1, . . . , xr) = 0

Rendement marginal et rendement d’´echelle

Les marginalistes ont ´etudi´e la variation de la production lorsqu’on augmente l’utilisation d’un facteur de production. On obtient la productivit´e marginale qui est donn´ee par la d´eriv´ee partielle _∂x^∂q

i = fi. Les marginalistes ont observ´e que le rendement marginal (ou la productivit´e marginale) diminue lorsqu’on augmente l’utilisation du facteur. En d’autres termes, la d´eriv´ee deuxi`eme est n´egative [_∂x^∂2q2

i

= fii < 0]. Cette constatation est g´en´erale et on parle alors de la loi des rendements marginaux d´ecroissants. Par cons´equent, il faut utiliser une fonction strictement concave pour repr´esenter la production. En effet, une matrice hessienne d´efinie n´egative a des valeurs n´egatives sur la diagonale [f_ii < 0] et elle implique une fonction strictement concave.

Lorsque tous les facteurs varient on parle de rendement d’´echelle. Supposons que tous les facteurs soient multipli´es par γ. On aura alors:

f(γx1, γx2, . . . , γxm) =α(γq) γ > 1

Si α >1 le rendement d’´echelle est croissant, si α = 1 le rendement est constant et si α <1 il est d´ecroissant.

Le rendement d’´echelle peut varier selon la valeur de la production et la valeur de γ. Par exemple, si la fonction de production est:

q = 3x²₁x²₂−x³₁x³₂/8

et x₁ =x₂ = 2, alors α = 3.2 lorsque γ = 2 mais α= 0.66 lorsque γ = 2.4.

Si la fonction de production est homog`ene, alors le rendement restera toujours le mˆeme car α =γ<sup>s−1</sup> o`us est le degr´e d’homog´en´eit´e de la fonction. Sis >1 alors le rendement d’´echelle est toujours croissant, s’il est ´egal `a 1 il sera toujours constant et s’il est inf´erieur `a 1 il sera toujours d´ecroissant.

Au niveau d’une nation le rendement d’´echelle est approximativement constant. Les estima- tions de la fonction Cobb-Douglas g´en´eralis´ee:

q =AK^aL^b A, a, b > 0

o`u K est le capital, L le travail et A, a, b des coefficients, donnent des valeurs de s= a+b proches de l’unit´e.

Un rendement d’´echelle constant n’est pas incompatible avec un rendement marginal d´ecrois- sant. Par exemple, les rendements marginaux de la fonction ci-dessus sont:

fKK =a(a−1)AK^a−2L^b <0 si a < 1 f_LL =b(b−1)AK^aL^b−2 <0 si b <1

Lorsque s = a+b = 1, le rendement d’´echelle est constant mais les rendements marginaux sont d´ecroissants. La fonction est concave si s= 1 et strictement concave si s < 1.

Si la fonction de production est de type Cobb-Douglas g´en´eralis´e, alors le rendement marginal est proportionnel au rendement moyen. En effet:

fK =a_K^q ; fL =b_L^q

D’autre part, le taux de substitution technique (T ST), c’est-`a-dire le rapport des rendements marginaux (pente de l’isoquante) d´epend uniquement du rapport des facteurs. Ceci est le cas pour toute fonction homog`ene. On a ici:

T ST =|^dK_dL|= _f^fL

K = _aAK^bAKaa−1^Lb−1L^b = _a^{b K}_L L’´elasticit´e de substitution

L’utilisation des facteurs d´epend des techniques de production. La fonction de production exprime ces relations techniques. A court terme, les proportions sont souvent fixes mais `a plus ou moins long terme il est possible de changer de technique. Par exemple, la fabrication de voitures devient de plus en plus robotis´ees: plus de capital et moins de travail. Le taux de substitution technique indique les facilit´es ou les difficult´es de remplacement d’un facteur par un autre. Il a toutefois un inconv´enient majeur: il d´epend des unit´es de mesure des facteurs. On a alors propos´e une mesure ind´ependante des unit´es. Il s’agit de l’´elasticit´e de substitution. Comme toute ´elasticit´e, elle est le rapport de deux variations en pourcentage.

On prend ici les pourcentages de variation du rapport des facteurs [dln(^K_L)] et du taux de substitution technique [dlnT ST =dln(f_L/f_K)]:

σ = ^dln(

K L) dln ^fL

fK

=

L Kd(^K_L)

fK fL d(^fL

fK)

Si la fonction est homog`ene de degr´e s, cette expression devient:

σ = _sqf ^fLfK

LK+f_Lf_K(1−s)

La fonction Cobb-Douglas g´en´eralis´ee a une ´elasticit´e de substitution ´egale `a l’unit´e. Si l’on veut estimer l’´elasticit´e de substitution, il faut choisir une fonction plus g´en´erale. On a alors propos´e une fonction qui a une ´elasticit´e de substitution constante. Cette fonction, appel´ee CES (constant elasticity of substitution) est donn´ee par l’expression suivante:

q =A[aK^−ρ + (1−a)L^−ρ]^−s/ρ avec

T ST = ^1−a_a (^K_L)^1+ρ ; σ = _1+ρ¹

Si ρ = 0 (σ = 1) , on obtient la fonction Cobb-Douglas g´en´eralis´ee. Si ρ = ∞ (σ = 0) les deux facteurs doivent ˆetre utilis´es dans des proportions fixes et la fonction de production est q =min(aK, bL). On l’appelle aussi la fonction de production de Leontief. Siρ=−1 (σ =∞) on peut substituer un facteur par l’autre sans aucune difficult´e. La fonction de production est q =aK+bL et l’isoquante est une droite.

La fonction CES peut mˆeme donner des isoquantes concaves. Il suffit de prendre ρ <−1.

Choix des facteurs et du niveau de production

Le choix des facteurs d´epend du prix. Supposons que l’entreprise doit produire une certaine quantit´e (q^o) d’output. Les prix des facteurs sont pK pour le capital et pL pour le travail.

Ils sont fixes. L’entreprise veut minimiser les coˆuts de production. On aura alors:

min C =pKK+pLL S.C. q^o =f(K, L) Le lagrangien est:

L=pKK+pLL+λ[q^o −f(K, L)]

o`u λ repr´esente ici le coˆut marginal. Les conditions de premier ordre sont:







∂L

∂K =p_K −λf_K = 0

∂L

∂L =p_L−λf_L = 0

∂L

∂λ =q^o −f(K, L) = 0

En ´eliminant le multiplicateur de Lagrange on trouve l’´egalit´e entre le taux de substitution technique et le rapport des prix des facteurs:

T ST = _f^fL

K = _p^pL

K

La condition de deuxi`eme ordre implique que les isoquantes soient strictement convexes et ceci est le cas si la fonction de production est strictement quasi-concave.

Si l’on change la quantit´e produite, on aura de nouvelles quantit´es qui minimisent le coˆut de production. En reliant les points de tangence entre l’isocoˆut et l’isoquante on obtient le chemin d’expansion de la production de l’entreprise. Ce chemin est une droite lorsque la fonction de production est homog`ene (ou homoth´etique).

Choix du niveau de production

Les entreprises qui travaillent sur commande ne sont pas tr`es nombreuses. En g´en´eral, l’entreprise propose diff´erentes quantit´es selon le prix du produit. Cette fonction d’offre est obtenue en faisant l’hypoth`ese que l’entreprise maximise son profit:

Π =pq−(p_KK +p_LL) =pf(K, L)−p_KK−p_LL

Si le prix de vente est fixe (hypoth`ese de concurrence parfaite), alors les conditions de premier ordre sont:

^∂Π

∂K =pfK −pK = 0

∂Π

∂L =pf_L−p_L = 0

L’entreprise produit jusqu’au point o`u la productivit´e marginale en valeur est ´egale au prix du facteur:

pfK =pK ; pfL =pL

La condition de deuxi`eme ordre est:

pfKK <0

pf_KK pf_KL pf_LK pf_LL

=p²

f_KK f_KL f_LK f_LL

>0

et ceci implique pfLL < 0. La fonction de production doit ˆetre strictement concave, au moins au point d’´equilibre. On peut aussi remarquer que la loi des rendements marginaux d´ecroissants est impliqu´ee par cette condition.

Fonctions de demande et d’offre de l’entreprise

En r´esolvant les conditions de premier ordre par rapport `a K et `a L on obtient les fonctions de demande (d’inputs) de l’entreprise:

K =ϕ1(pK, pL, p) L=ϕ2(pK, pL, p)

La demande d’un facteur d´epend des prix des facteurs utilis´es et du prix du produit. Il s’agit d’une fonction homog`ene de degr´e z´ero par rapport aux prix, comme on peut le constater en prenant les conditions de premier ordre. Si l’on change d’unit´e mon´etaire, la demande de l’entreprise, comme celle des consommateurs, reste la mˆeme.

En introduisant ces valeurs de K et de L dans la fonction de production on obtient:

q =f[ϕ1(pK, pL, p), ϕ2(pK, pL, p)] =ψ(pK, pL, p)

qui est la fonction d’offre (de l’output) de l’entreprise. Aussi cette fonction est homog`ene de degr´e z´ero par rapport aux prix.

Il est int´eressant d’analyser les effets, sur la demande d’inputs et sur l’offre de l’output, d’une variation des prix des facteurs et du prix de l’output. Comme dans la th´eorie du

consommateur, on fait varier le prix et on compare les quantit´es d’´equilibre avant et apr`es le changement.

(1) Effets d’une variation du prix de l’output

Prenons tout d’abord le cas d’une variation du prix du produit vendu par l’entreprise. En diff´erenciant les conditions de premier ordre par rapport `a p on obtient:

f_K +pf_KK ^∂K_∂p +pf_KL^∂L_∂p = 0 f_L+pf_LK^∂K_∂p +pf_LL^∂L_∂p = 0

L’effet sur l’offre peut ˆetre obtenu en diff´erenciant la fonction de production:

∂q

∂p =f_K^∂K_∂p +f_L^∂L_∂p

En utilisant les matrices, on peut ´ecrire tous ces effets de la mani`ere suivante:







pfKK pfKL 0 pf_LK pf_LL 0

fK fL −1





.







∂K

∂p

∂L

∂p

∂q

∂p





=







−fK

−f_L 0





 pH 0

f_x^T −1

. ∂x

∂p

∂q

∂p

= −f_x

0

o`u H est la matrice hessienne des d´eriv´ees deuxi`emes de la fonction de production et x le vecteur des inputs. On a alors les vecteurs et la matrice suivants:

∂x

∂p = ∂K

∂p

∂L

∂p

f_x = fK

fL

; H =

fKK fKL

fLK fLL

L’inverse de la matrice `a gauche ci-dessus est:

pH 0 f_x^T −1

⁻¹

= 1

pH⁻¹ 0

1

pf_x^TH⁻¹ −1

Les effets d’une variation du prix de l’output sont alors:

^∂x

∂p =−_p¹H⁻¹fx

∂q

∂p =−_p¹f_x^TH⁻¹f_x

La condition de deuxi`eme ordre implique que H est une matrice d´efinie n´egative. Par cons´equent, l’expression f<sub>x</sub><sup>T</sup>H<sup>−1</sup>f<sub>x</sub> est n´egative et alors ∂q/∂p sera positif. L’augmentation du prix de l’output conduit n´ecessairement `a un accroissement de la production et de l’offre de l’entreprise. La courbe d’offre a une pente positive:

Il n’est pas possible de d´eterminer l’effet sur la quantit´e demand´ee des facteurs. Toutefois, on peut dire que l’entreprise va accroˆıtre l’utilisation d’au moins un facteur.

Si l’entreprise utilise de moins en moins un facteur lorsque le prix de vente (et la production) augmente, on dit que ce facteur est un input inf´erieur. Dans ce cas, le chemin d’expansion aura une pente n´egative.

(2) Effets d’une variation du prix des inputs

Supposons maintenant que le prix du capital se modifie. En diff´erenciant les conditions de premier ordre on obtient:

pfKK ∂K

∂p_K +pfKL ∂L

∂p_K = 1 pf_{LK ∂p}^∂K

K +pf_LL∂p^∂L

K = 0

L’effet sur l’offre de l’entreprise peut ˆetre d´etermin´e en diff´erenciant la fonction de production:

∂q

∂p_K =f_{K ∂p}^∂K

K +f_L∂p^∂L

K

En mettant ces expressions sous la forme matricielle suivante:

pH 0 f_x^T −1

.

∂x

∂p_k

∂q

∂pk

=





 1 0 0





 o`u

∂x

∂pK = [ _∂p^∂K

K

∂L

∂pK ]^T on obtient:

∂x

∂pK

∂q

∂p_K

= 1

pH⁻¹ 0

1

pf_x^TH⁻¹ −1

.





 1 0 0





 et alors:

∂x

∂pK = ¹_pH⁻¹ 1

0

; _∂p^∂q

K = ¹_pf_x^TH⁻¹ 1

0

L’inverse de la matrice hessienne est:

H⁻¹ = (1/D)

fLL −fKL

−f_LK f_KK

o`u D = f<sub>KK</sub>f<sub>LL</sub>−f<sub>KL</sub>f<sub>LK</sub>. Nous savons que cette matrice doit ˆetre d´efinie n´egative (con- dition de deuxi`eme ordre). On a alors:

∂K

∂pK = _{D p}¹ f_LL <0 ; _∂p^∂L

K =−_{D p}¹ f_LK

Si le prix du capital augmente, l’entreprise va diminuer la quantit´e utilis´ee de ce facteur.

Le mˆeme raisonnement est valable pour une augmentation du prix du travail. La demande d’input a une pente n´egative. Il n’y a pas ici le cas des biens Giffen. Si le prix d’un facteur augmente, l’entreprise va diminuer l’utilisation de ce facteur.

Il y a une relation int´eressante entre l’effet d’une variation du prix du produit sur la demande d’un facteur et l’effet d’une variation du prix d’un facteur sur la production de l’entreprise.

En utilisant l’´equation ci-dessus, on peut ´ecrire:

∂K

∂p =−¹_p[1 0]H⁻¹fx =−¹_pf_x^TH⁻¹ 1

0

=−_∂p^∂q

K

Une hausse du prix du produit augmente la demande de capital si une hausse du prix du capital conduit `a une diminution de la production de l’entreprise. Si le capital n’est pas un input inf´erieur, la demande de ce facteur augmente lorsque la production augmente (`a la suite d’une hausse du prix de l’output). Dans ce cas, la production doit diminuer lorsque le prix du capital augmente. Par contre, la hausse du prix d’un input inf´erieur conduit `a un accroissement de la production.

On ne peut pas d´eterminer l’effet d’une hausse du prix du capital sur la demande de travail.

Deux inputs sont appel´es compl´ementaires si la hausse du prix d’un facteur conduit aussi

`

a une baisse de l’autre facteur. Deux inputs sont substituables lorsque la hausse du prix d’un facteur fait augmenter l’utilisation de l’autre input.

Dans la production, le cas le plus courant est celui de deux inputs compl´ementaires. Par exemple, si la fonction de production est de type Cobb-Douglas g´en´eralis´ee, la d´eriv´ee crois´ee f_LK est positive et alors les deux inputs sont compl´ementaires. Dans ce cas, la production diminue si le prix d’un facteur augmente et par cons´equent les deux inputs ne sont pas inf´erieurs.

Si les deux inputs sont substituables, on pourrait avoir un input inf´erieur. L’utilisation rentable de l’autre facteur implique alors un accroissement de la production.

On peut r´eunir les effets d’une variation du prix du produit et ceux d’une variation du prix des facteurs et former l’´equation matricielle fondamentale de la th´eorie de l’entreprise. Les deux facteurs seront d´esign´es par x₁ et x₂ plutˆot que K et L et leurs prix w₁ et w₂ au lieu de pK et pL. On a alors:

pH O f_x^T −1

Xw xp

q^T_w qp

=

I −fx

0 0

o`u Xw =

∂x1

∂w₁

∂x1

∂w₂

∂x2

∂w1

∂x2

∂w2

; xp = ∂x1

∂p

∂x2

∂p

qw = ^∂q

∂w₁

∂q

∂w2

; fx = ^∂q

∂x₁

∂q

∂x2

qp = ^∂q_∂p

En pr´emultipliant par l’inverse de la matrice `a gauche, on obtient:

Xw = (1/p)H⁻¹

qw = (1/p)H⁻¹fx =−xp

qp = (−1/p)f_x^TH⁻¹fx

Comme la matrice des d´eriv´ees deuxi`emes (H) est sym´etrique, on a:

∂x_i

∂wj = ^∂x_∂w^j

i

L’effet d’une variation du prix du facteur j sur la demande d’input du facteur i est ´egal `a celui d’une variation du prix du facteur i sur la demande d’input du facteurj.

Lorsqu’il y a plusieurs produits et plusieurs facteurs, il faut utiliser la fonction de production sou forme implicite:

Φ(y1, y2, . . . , ym) = 0

o`u yi (i= 1,2, . . . , m) sera un output s’il est positif et un input s’il est n´egatif.

Le profit de l’entreprise est:

Π =Pm i=1piyi

Afin de maximiser le profit, sous la contrainte donn´ee par la fonction de production implicite,

´

ecrivons le lagrangien suivant:

L=Pm

i=1p_iy_i+λΦ(y₁, y₂, . . . , y_m) Les conditions de premier ordre sont:

∂L

∂yi =pi+λΦi = 0 (i= 1,2, . . . , m)

∂L

∂λ = Φ(y₁, y₂, . . . , y_m) = 0

En prenant deux ´equations (iet j) quelconques parmi les conditions ci-dessus, on obtient les relations suivantes:

pi

pj = _Φ^Φi

j =−^∂y_∂y^j

i

(Φ_i =∂Φ/∂y_i) qui sont une g´en´eralisation des r´esultats obtenus pr´ec´edemment. En effet:

(a) Si y_i et y_j repr´esentent des inputs alors l’´equation ci-dessus indique que le taux de sub- stitution technique doit ˆetre ´egal au rapport des prix:

pi

pj =−^∂x_∂x^j

i =T ST

(b) Si y_i est un input et y_j un output, on peut ´ecrire:

pi =−^∂y_∂y^j

ipj =pj

∂qj

∂x_i

et on retrouve l’´egalit´e entre la productivit´e marginale en valeur et le prix du facteur.

(c) Si yi etyj sont deux outputs i et j on trouve l’´egalit´e entre le rapport des prix et le taux de transformation des produits:

p_i

p_j =−^∂q_∂q^j

i =T T P

(d) Si y_i est un output et y_j un input, on peut ´ecrire:

pi =−^∂y_∂y^j

ipj =pj∂xj

∂qi

et on trouve les conditions de premier ordre pour les productions jointes.

On peut montrer que les d´eriv´ees partielles de la fonction de production implicite sont pos- itives. Ceci implique que le taux marginal de substitution, le taux de transformation des produits et les productivit´es marginales sont positifs.

La condition de deuxi`eme ordre est satisfaite si la forme quadratique dy<sup>T</sup>(λH) dy est d´efinie n´egative pour tout vecteur dy tel que dy<sup>T</sup>Φy = 0 o`u H = [Φij] est la matrice des d´eriv´ees deuxi`emes de la fonction de production implicite (dy et Φ_y sont les deux vecteurs-colonne [dyi] et [Φi]).

Les effets d’une variation des prix (des inputs ou des outputs) sur les fonctions de demande des inputs et sur celles d’offre des outputs peuvent ˆetre obtenus en prenant la diff´erentielle des conditions de premier ordre. On obtient:

λP

Φij + Φidλ+dpi = 0 PΦ_idy_i = 0

et ceci peut ˆetre mis sous la forme matricielle suivante:

λH Φy

Φ^T_y 0

dy dλ

= −dp

0

En utilisant les conditions de premier ordre on a:

λH _λ¹p

−¹_λp^T 0

dy dλ

= −dp

0

L’inverse de la matrice `a gauche peut ˆetre ´ecrit de la mani`ere suivante:

λH _λ¹p

−¹_λp^T 0 ⁻¹

=

A b b^T c

Cette matrice est similaire `a celle obtenue dans la th´eorie du consommateur. En effectuant le mˆeme raisonnement, on obtient:

∂yi

∂pi =−A_ii

o`uAii est l’´el´ement sur la diagonale principale de la matrice A ci-dessus. Nous avons vu que cet ´el´ement est n´egatif. Par cons´equent, si yi est un output, l’accroissement de son prix fait augmenter la production de ce bien. Si yi =−xi est un input, l’augmentation du prix de ce facteur conduit `a une baisse de son utilisation.

D’autre part, A est une matrice sym´etrique et alors:

∂yi

∂pj = ^∂y_∂p^j

i

et, si yi est un input et yj un output, on retrouve la relation (∂xi/∂pj = −∂qj/∂pi) entre l’effet d’une variation du prix d’un output sur la demande d’input et celui d’une variation du prix du mˆeme input sur l’output correspondant. En d´efinitive, les r´esultats obtenus dans le cas de deux facteurs et un output restent valables lorsqu’on a m biens.

L’´egalit´e entre le prix de vente et le coˆut marginal reste aussi valable dans le cas g´en´eral de m biens. En effet, le profit peut ˆetre ´ecrit de la mani`ere suivante:

π =P

piqi −C(q1, q2, . . . , qm)

et les conditions de premier ordre pour la maximisation du profit impliquent l’´egalit´e entre les prix et les coˆuts marginaux:

∂π

∂qi =pi−Cmi = 0 =⇒ pi =Cmi (i= 1,2, . . . , m)) La fonction de coˆut

On pr´esentait autrefois la th´eorie de l’entreprise en commen¸cant directement par les coˆuts, sans faire le lien avec la fonction de production. La fonction (classique) de coˆut exprime la relation existant entre l’output et les coˆuts de production

Comme la recette d´epend elle aussi de la quantit´e vendue, on peut ainsi pr´esenter la th´eorie de l’entreprise en utilisant un nombre restreint de variables.

Le profit de l’entreprise d´epend des quantit´es produites et vendues:

Π(q) =R(q)−C(q)

o`uRest la recette totale etC le coˆut total. Le maximum de cette fonction est obtenu lorsque la d´eriv´ee est ´egale `a z´ero:

dπ

dq = ^dR_dq − ^dC_dq =Rm−Cm= 0

o`u Rmd´esigne la recette marginale et Cmle coˆut marginal. Il y a donc ´egalit´e entre recette marginale et coˆut marginal.

La recette marginale est ici ´egale au prix puisque toutes les unit´es sont vendues au mˆeme prix (R = pq =⇒ Rm = p). Par cons´equent, le profit maximum est obtenu lorsque le prix est ´egal au coˆut marginal. Si le coˆut marginal est croissant, la condition de deuxi`eme ordre est satisfaite.

L’´egalit´e entre prix et coˆut marginal permet de relier les conditions de minimisation des coˆuts, sous une contrainte de production, et celles de maximisation du profit exprim´ees avec les productivit´es marginales. Etant donn´e que le multiplicateur de Lagrange est ´egal au coˆut marginal, les deux conditions sont identiques. Si l’on veut maximiser le profit, il faut minimiser les coˆuts de la production que l’on d´esire vendre.

La fonction classique des coˆuts peut ˆetre obtenue en r´esolvant le syst`eme suivant:







q=f(K, L) C =p_KK +p_LL ξ(K, L) = 0

o`u la derni`ere ´equation est la fonction implicite du chemin d’expansion. En prenant les deux derni`eres ´equations, on peut exprimer K et L en fonction de C. Si l’on introduit ces valeurs dans la premi`ere ´equation, on peut obtenir C en fonction de q et ceci est la fonction de coˆut traditionnelle ou classique.

Si la fonction de production est homog`ene de degr´e s, on peut obtenir facilement la fonction classique de coˆut en partant du coˆut d’une unit´e d’output. Soit K_o et L_o les quantit´es des inputs n´ecessaires pour produire une unit´e d’output. Le coˆut est alors:

pKKo+pLLo =k

Par la d´efinition d’une fonction homog`ene de degr´e s, on a:

q =f(K, L) =f(γK_o, γL_o) =γ^sf(K_o, L_o) =γ^s D’autre part:

C =p_KK +p_LL=p_KγK_o+p_LγL_o =γ(p_KK_o+p_LL_o) =γk En r´eunissant ces deux r´esultats on obtient:

C =kq^1/s

Le coˆut marginal et sa d´eriv´ee seront alors:

Cm= ¹_skq^1/s−1 ; ^dCm_dq = ^1−s_s2 kq^1/s−2

Si le rendement d’´echelle est d´ecroissant (s < 1), le coˆut marginal sera toujours croissant.

Un rendement d’´echelle constant donne un coˆut marginal constant (Cm=k) et ´egal au coˆut unitaire ou moyen. Si le rendement d’´echelle est croissant (s > 1) le coˆut marginal sera toujours d´ecroissant. Dans ce cas, l’entreprise peut accroˆıtre son profit en augmentant la production et elle devient de plus en plus grande. L’hypoth`ese de prix de vente fixe ne serait alors plus acceptable.

Si le rendement d’´echelle est constant, il y a trois possibilit´es:

(a) Le coˆut marginal est inf´erieur au prix: le profit augmente sans limite. On retrouve le cas ci-dessus.

(b) Le coˆut marginal est ´egal au prix: le profit est nul pour toute production. La dimension de l’entreprise est ind´etermin´ee.

(c) Le coˆut marginal est sup´erieur au prix: il vaut mieux ne rien produire.

On fait souvent la distinction entre fonction de coˆut de courte p´eriode et fonction de coˆut de longue p´eriode. Comme on l’a indiqu´e au d´ebut de ce chapitre, le nombre de facteurs variables augmente avec la longueur de la p´eriode. On peut alors dire qu’enlongue p´eriode tous les facteurs sont variables. L’entreprise peut consid´erer librement toutes ses options.

Elle peut choisir la meilleure m´ethode de production et les quantit´es des facteurs qu’elle d´esire. Encourte p´eriodeon dispose souvent d’une seule m´ethode de production et certains facteurs sont fixes. La courte et la longue p´eriode n’indiquent pas un nombre pr´ecis d’ann´ees.

Dans les services (les coiffeurs par exemple) on a le long terme d´ej`a apr`es quelques mois ou ann´ees. Par contre, dans certaines branches comme la sid´erurgie ou l’´electricit´e il faut plusieurs ann´ees avant de pouvoir changer de m´ethode de production (une centrale nucl´eaire fonctionne pendant des dizaines d’ann´ees).

Le th´eor`eme d’Euler et la th´eorie de la distribution du revenu

Comme nous l’avons indiqu´e au d´ebut de ce chapitre, l’homog´en´eit´e de la fonction de pro- duction avait une cons´equence tr`es importante pour la th´eorie de la distribution bas´ee sur la productivit´e marginale des facteurs. Selon J.B. Clark, la distribution du revenu ob´eit `a une loi naturelle qui attribue `a chaque agent la quantit´e de richesse qu’il a cr´e´e. Cette quantit´e correspond `a la productivit´e marginale de chaque facteur. Il ´etait alors n´ecessaire de montrer que tout le produit ´etait distribu´e aux facteurs de production. Or, si la fonction de production est homog`ene on peut utiliser le th´eor`eme d’Euler qui ´etablit le lien suivant entre la fonction homog`ene q=f(K, L) et ses d´eriv´ees partielles:

Kf_K +Lf_L =sq

Lorsque le rendement d’´echelle est constant (s = 1), toute la production est distribu´ee aux deux facteurs. Si l’on prend la fonction de production Cobb-Douglas g´en´eralis´ee, on a:

K(αq/K) +L(βq/L) = (α+β)q αq+βq = (α+β)q

Les estimations empiriques donnent des valeurs de α d’environ 1/3 et de β d’environ 2/3 et ceci correspond aussi `a la part du produit national distribu´e `a ces deux facteurs.

Toutefois, nous avons vu que l’´equilibre de l’entreprise implique des rendements d’´echelle d´ecroissants (s <1). Il resterait donc une partie non distribu´ee (le profit). On sugg`ere alors que le rendement d’´echelle est constant au niveau d’une branche ´economique ou d’une nation plutˆot qu’au niveau de l’entreprise.

Par ailleurs, il n’est pas n´ecessaire que la fonction de production soit homog`ene de degr´e 1 (rendement d’´echelle constant) pour montrer que tout le produit est distribu´e aux facteurs.

Il suffit de faire l’hypoth`ese qu’`a long terme le profit est ´egal `a z´ero (voir chapitre suivant) et ceci a aussi l’avantage de montrer le lien avec la th´eorie des march´es. En effet, si le profit est ´egal `a z´ero on a:

pq =p_KK+p_LL

En introduisant les conditions de premier ordre pour la maximisation du profit on obtient:

pq =pf_KK+pf_LL

et, apr`es avoir divis´e par p, on retrouve le mˆeme r´esultat que ci-dessus mais sans supposer que la fonction de production soit homog`ene de degr´e 1. Dans ce cas, la distribution du revenu n’est pas exclusivement un probl`eme technique, li´e au rendement d’´echelle, mais le r´esultat d’hypoth`eses concernant les march´es.

L’´evolution de la distribution du revenu d´epend de l’´elasticit´e de substitution. Supposons que la fonction de production soit homog`ene de degr´e 1. Soit ωK = fKK/q la part relative du capital. Lorsque ce facteur augmente, la variation de sa part relative est:

∂ωK

∂K = _q¹2[f_KKKq+f_Kq−f_K² K]

En utilisant le th´eor`eme d’Euler on peut ´ecrire:

q =f_KK+f_LL

f_K =f_KKK+f_K +f_KLL

Ces deux relations peuvent ˆetre introduites dans la d´eriv´ee ci-dessus. On obtient alors:

∂ωK

∂K = ^Lf_q^K2^fL

σ−1 σ

Par cons´equent, la part relative du capital ne varie pas si l’´elasticit´e de substitution est ´egale

`

a l’unit´e. Le mˆeme r´esultat est valable pour l’autre facteur. D’autre part, la part relative d´epend uniquement du rapport des facteurs. Soit r = K/L , on a alors:

∂ω_K

∂r =L^∂ω_∂K^K = ^L_q2²fKfLσ−1 σ

Si r augmente, la part relative du capital diminue lorsque l’´elasticit´e de substitution est inf´erieure `a l’unit´e et augmente lorsque celle-ci est sup´erieure `a l’unit´e.

Dans les pays d´evelopp´es, le capital augmente plus fortement que le travail. Si le rendement d’´echelle est constant, la stabilit´e de la part relative des facteurs implique une ´elasticit´e de substitution ´egale `a l’unit´e et ceci explique les bonnes estimations obtenues avec la fonction de production Cobb-Douglas.

L’analyse duale

Comme dans la th´eorie du consommateur, l’approche duale est bas´ee sur la minimisation des coˆuts pour obtenir une production donn´ee. En r´esolvant les conditions de premier ordre de la minimisation des coˆuts, on obtient les demandes conditionnelles des inputs:

K =h1(pK, pL, q^o) L=h2(pK, pL, q^o)

La fonction de coˆut de l’analyse duale est d´efinie de la mani`ere suivante:

C(w1, w2, q^o) =min(w1x1+w2x2) S.C. q^o =f(x1, x2)

o`u w1 et w2 sont les prix des facteurs x1 et x2.

La fonction de coˆut est une fonction concave et homog`ene de degr´e 1 par rapport aux prix des facteurs. D’autre part, la d´eriv´ee de la fonction de coˆut par rapport au prix d’un facteur donne la demande conditionnelle de ce facteur. Les d´emonstrations de ces r´esultats sont

identiques `a celles donn´ees dans la th´eorie du consommateur. Il suffit de remplacer u^∗ par q^o, p par w et q par x.

Exemples

La fonction de production Cobb-Douglas g´en´eralis´ee donne les demandes conditionnelles sui- vantes:

x1 =A^−1/sα^β/sβ^−β/sw₁^−β/sw^β/s₂ q^1/s x₂ =A^−1/sα^−α/sβ^α/sw₁^α/sw₂^−α/sq^1/s

o`u s=α+β. La fonction de coˆut est alors:

C =sA^−1/sα^−α/sβ^−β/sw^α/s₁ w^β/s₂ q^1/s

et ceci correspond `a la fonction obtenue ci-dessus en prenant le chemin d’expansion.

La fonction de production CES g´en´eralis´ee donne les demandes conditionnelles suivantes:

x1 =k^σA^(σ−1)/sa^σw₁^−σq^1/s x₂ =k^σA^(σ−1)/s(1−a)^σw₂^−σq^1/s

o`u k =A^−1/s[a^σw₁^1−σ + (1−a)^σw^1−σ₂ ]^1/(1−σ) et la fonction de coˆut est alors:

C =kq^1/s

La fonction de coˆut d´epend des prix des facteurs et de la quantit´e produite. Il est souvent plus facile d’obtenir les donn´ees des coˆuts de production et des prix que celles relatives `a la fonction de production. Si l’on estime directement la fonction de coˆut, on peut obtenir la fonction de demande conditionnelle en d´erivant cette fonction par rapport au prix du facteur.

Par ailleurs, il est aussi possible de remonter `a la fonction de production.

Les fonctions de demande (non conditionnelle) des inputs et la fonction d’offre d’output peuvent ˆetre obtenues en utilisant la fonction de profit:

π(p, w1, w2) =M ax [pf(x1, x2)−(w1x1+w2x2)]

En effet, on a les relations suivantes, appel´ees le lemme d’Hotelling:

∂π

∂p =ψ(p, w1, w2)

∂π

∂wi =−ϕi(p, w1, w2)

o`u ψ(p, w1, w2) est la fonction d’offre et ϕi(p, w1, w2) est la fonction de demande du facteur i (i=1,2).

Soient

x^∗₁ = ϕ₁(p, w₁, w₂) et x^∗₂ = ϕ₂(p, w₁, w₂) les quantit´es des deux facteurs qui maximisent le profit. On a alors:

π(p, w₁, w₁) =pf(x^∗₁, x^∗₂)−(w₁x^∗₁ +w₂x^∗₂) La d´eriv´ee par rapport `a wi donne:

∂π

∂w_i =pf_{x1 ∂w}^∂x1

i +pf_{x2 ∂w}^∂x2

i −w₁^∂x_∂w¹

i −w₂^∂x_∂w²

i −x^∗_i

= (pf_x1 −w₁)_∂w^∂x1

i + (pf_x2 −w₂)_∂w^∂x2

i −x^∗_i

=−x^∗_i =−ϕi(p, w1, w2)

en utilisant les conditions de premier ordre.

On obtient la premi`ere relation en prenant la d´eriv´ee par rapport au prix du produit:

∂π

∂p =q+pfx1

∂x1

∂p +pfx2

∂x2

∂p −w1∂x1

∂p −w2∂x2

∂p

=q+ (pfx₁ −w1)^∂x_∂p¹ + (pfx₂ −w2)^∂x_∂p²

=q =ψ(p, w1, w2) Exemples

La fonction de production Cobb-Douglas g´en´eralis´ee conduit `a la fonction de profit suivante:

π =A^θα^αθβ^βθw₁^−αθw^−βθ₂ p^θ/θ o`u θ = 1/(1−α−β).

La fonction d’offre est alors:

∂π/∂p=q=A^θα^αθβ^βθw₁^−αθw₂^−βθp^θ−1 et les fonctions de demande des facteurs:

−_∂w^∂π

1 =x₁ =A^θα^(1−β)θβ^βθw^(β−1)θ₁ w₂^−βθp^θ

−_∂w^∂π

2 =x2 =A^θα^αθβ^(1−α)θw₁^−αθw₂^(α−1)θp^θ

La fonction de production CES g´en´eralis´ee donne la fonction de profit suivante:

π =k^−sθs^sθp^θ/θ

o`u θ = 1/(1−s) et k =A^−1/s[a^σw₁^1−σ + (1−a)^σw₂^1−σ]^1/(1−σ) On a alors:

q =k^−sθs^sθp^sθ

x1 =k^σ−θA^(σ−1)/ss^θa^σp^θw₁^−σ x2 =k^σ−θA^(σ−1)/ss^θ(1−a)^σp^θw₂^−σ

Comme dans le cas de la fonction de coˆut, il est souvent plus facile de trouver des donn´ees concernant le profit et les prix que celles relatives `a la fonction de production. Si l’on estime directement la fonction de profit, on peut obtenir la fonction d’offre de l’entreprise et les fonctions de demande des inputs utilis´es en d´erivant cette fonction par rapport aux prix appropri´es.

La fonction de production lin´eaire

Dans les sections pr´ec´edentes, on a suppos´e qu’une substitution continue entre les inputs ´etait possible. Cette hypoth`ese est tr`es plausible `a plus ou moins long terme ou au niveau d’une branche ´economique. Par contre, pour une entreprise et dans le court terme, il existe souvent des proc´ed´es de production qui impliquent l’utilisation des inputs dans des proportions fixes.

La substitution d’un input par un autre peut souvent avoir lieu mais elle est discontinue et n’intervient qu’`a la suite d’un changement du proc´ed´e de production. Cette section sera consacr´ee `a l’examen de ce cas.

Supposons tout d’abord qu’il existe un seul proc´ed´e de production. L’entreprise utilise deux inputs dans des proportions fixes. Soient x₁, x₂ les deux inputs et a₁, a₂ les coefficients de production respectifs (quantit´e d’input pour obtenir une unit´e d’output). La fonction de production est alors:

q =min ^x_a¹

1, ^x_a²

2

et, comme on l’a vu ci-dessus, elle implique une ´elasticit´e de substitution ´egale `a z´ero. La compl´ementarit´e entre les deux inputs est totale. D’autre part, si l’on double les inputs, la production double. Le rendement d’´echelle est alors constant.

L’entreprise peut souvent choisir un autre proc´ed´e et dans ce cas la production est:

q^II =min _a^x1

12, _a^x2

22

o`u II indique le deuxi`eme proc´ed´e et aij est la quantit´e de l’input i n´ecessaire pour une production d’une unit´e d’output en utilisant le proc´ed´e j. La production obtenue avec le premier proc´ed´e est alors:

q^I =min _a^x1

11, _a^x2

21

Les proc´ed´es qui utilisent des quantit´es plus importantes de tous les inputs sont inefficaces et ne seront jamais employ´es. Il faut alors supposer qu’on a a12 > a11 et a22 < a21 ou le contraire.

Supposons qu’il soit possible d’utiliser des combinaisons quelconque des deux proc´ed´es. La production totale sera alors:

q =q^I +q^II

Dans ce cas, les isoquantes auront la forme repr´esent´ee sur le graphique PL.1.

Il a suffit d’ajouter un deuxi`eme proc´ed´e pour retrouver des isoquantes ayant une forme convexe. Un proc´ed´e exige des coefficients de production fixes. La substitution d’un input par l’autre est toutefois possible. En effet, l’entreprise peut choisir le proc´ed´e II qui utilise une quantit´e inf´erieure de x2 et une plus grande quantit´e de x1 et, d’autre part, on peut choisir une combinaison quelconque des deux proc´ed´es et ainsi les possibilit´es de substitution sont plus grandes. La pente de la droite O-I est a21/a11 et celle de la droite O-II a22/a12. Il faut noter que tout point C sur la droite AB repr´esente effectivement la mˆeme production que celle obtenue en A ou en B.

(Voir graphique PL.2)

Soit CD une droite parall`ele `a OB et passant par le point C. De mˆeme, soit CE une droite parall`ele `a OA et passant par C. En utilisant la propri´et´e des triangles semblables, on peut

´ ecrire:

AB

OB = _CD^AC = ^AC_OE =⇒ ^OE_OB = ^AC_AB

OE/OB =AC/AB est la fraction d’output produite avec le deuxi`eme proc´ed´e.

La fraction produite avec le premier proc´ed´e peut ˆetre obtenue de la mˆeme mani`ere:

AB

OA = ^CB_CE = ^CB_OD =⇒ ^OD_OA = ^CB_AB

OD/OA=CB/AB est la fraction d’output produite avec le premier proc´ed´e.

Le premier proc´ed´e utilise la quantit´e OF dex1 et le deuxi`eme OG. Le total est:

OG+OF =OG+GH =OH

puisque OD/OF =EC/GH et OD =EC.

Le premier proc´ed´e utilise la quantit´e OL de x₂ et le deuxi`eme OK. Le total est:

OL+OK =OL+LM =OM

puisque OE/OK =DC/LM et OE =DC.

D’autre part, la somme des deux productions (CB/AB +AC/AB) donne une production

´

egale `a l’unit´e. Par cons´equent, le point C se trouve sur l’isoquante correspondant `a une production unitaire.

(1) Maximisation de la production

Supposons que l’entreprise dispose d’une quantit´e limit´ee des deux inputs (x^o₁ et x^o₂) et elle d´esire maximiser la production. Le probl`eme `a r´esoudre est alors le suivant:

max q =q^I +q^II

S.C a₁₁q^I +a₁₂q^II ≤x^o₁ a21q^I +a22q^II ≤x^o₂

Graphiquement, il faut chercher l’isoquante la plus haute possible, compte tenu des con- traintes concernant les inputs (surface hachur´ee).

(Voir graphique PL.3)

La solution est donn´ee par le point C o`u deux unit´es d’output seront produites en utilisant une combinaison de deux proc´ed´es. Comme les deux inputs sont enti`erement employ´es, ces productions sont obtenues en r´esolvant le syst`eme des contraintes ci-dessus. On trouve:

q^I = (1/D)(a22x^o₁−a12x^o₂) q^II = (1/D)(a11x^o₂ −a21x^o₁)

q = (1/D)[(a₁₁ −a₁₂)x^o₂ + (a₂₂ −a₂₁)x^o₁] o`u D=a11a22−a12a21.

Il est int´eressant d’examiner l’´evolution de la production lorsqu’un input augmente. Sup- posons que x1 est fixe et x2 varie de 0 `a x¹₂.

(Voir graphique PL.4)

Si x2 ≤ x^o₂ on emploie uniquement le deuxi`eme proc´ed´e qui utilise peu d’unit´es de x2. La quantit´e produite sera alors:

q =x2/a22

Si x2 est compris entre x^o₂ et x¹₂, on utilise une combinaison des deux proc´ed´es. La quantit´e produite sera:

q = (1/D)(a11 −a12)x2 + (1/D)(a22 −a21)x^o₁

En x¹₂ on utilise uniquement le premier proc´ed´e et la production sera q =x^o₁/a₁₁.

L’´evolution de la production totale et marginale peut ˆetre repr´esent´ee de la mani`ere suivante:

(Voir graphique PL.5)

La productivit´e marginale diminue mais la baisse se fait par paliers plutˆot que continuellement comme dans les sections pr´ec´edentes.

(Voir graphique PL.6)

(2) Minimisation du coˆut

Examinons maintenant le probl`eme dual consistant `a minimiser les coˆuts pour une production donn´ee. La droite d’isocoˆut est:

x2 = _w^C

2 − ^w_w¹

2x1

o`u w₁ et w₂ sont les prix des facteurs:

(Voir graphique PL.7)

Trois possibilit´es sont `a consid´erer:

(a) Si la droite d’isocoˆut a une pente correspondant `a la courbe (a), il faut utiliser le proc´ed´e I (le prix de x₁ est ´elev´e, il convient alors d’employer le proc´ed´e I qui utilise peu de x₁). Le coˆut total est:

C = (a₁₁w₁+a₂₁w₂)q

(b) si la droite d’isocoˆut a une pente correspondant `a la courbe (b) (c’est-`a-dire (a21 − a₂₂)/(a₁₂ −a₁₁)), l’entreprise peut utiliser une combinaison quelconque des deux proc´ed´es.

Le coˆut total est:

C ={[αa₁₁ + (1−α)a₁₂]w₁+ [αa₂₁ + (1−α)a₂₂]w₂}q

o`u α est la partie de l’output obtenue avec le premier proc´ed´e (α=q^I/q).

(c) Si le prix de x1 continue `a baisser et on a une pente correspondant `a la courbe (c), l’entreprise emploie uniquement le deuxi`eme proc´ed´e qui utilise peu de x2 (un input qui est devenu cher par rapport `a x₁). Le coˆut total est:

C = (a12w1+a22w2)q

L’entreprise remplace l’input x₁ par l’input x₂ mais cette substitution n’est pas continue. Il faut que la modification des prix soit importante pour qu’elle d´ecide de changer de proc´ed´e de fabrication.

Si le prix du p´etrole augmente l´eg`erement, une entreprise ne change pas de proc´ed´e de pro- duction. Toutefois, le quadruplement du prix du p´etrole a conduit plusieurs entreprises `a employer d’autres m´ethodes de production utilisant le charbon, le gaz ou l’´electricit´e.

Il arrive parfois que l’entreprise dispose d’une quantit´e donn´ee des deux inputs. Dans ce cas, si l’on veut augmenter la production au-del`a d’une certaine limite, on est oblig´e de tenir compte de ces contraintes et ceci a un effet sur les coˆuts.

Supposons que l’entreprise dispose des quantit´es x^o₁ et x^o₂ des deux inputs et le rapport des prix des facteurs correspond `a la pente de la droite (a) ci-dessus. La contrainte est repr´esent´ee par la quantit´e de x2 disponible. L’entreprise peut produire q =x^o₂/a21 unit´es d’output. Le coˆut est donn´e par l’´equation ci-dessus.

Pour produire davantage il faut utiliser une combinaison des deux proc´ed´es tout en produisant le maximum possible avec le premier proc´ed´e qui est meilleur march´e. La production est obtenue en r´esolvant le syst`eme:

a₂₁q^I +a₂₂q^II =x^o₂ q^I +q^II =q La solution est:

q^I = _a ^xo2

21−a22 − _a ^a22

21−a22q

q^II = _a ^a21

21−a22q− _a ^xo2

21−a22

α = ^q_q^I = _(a ^xo2

21−a22)q − _a ^a22

21−a22

En introduisant cette derni`ere valeur dans l’´equation ci-dessus on obtient la fonction de coˆut.

Exemple

Les coefficients de production sont a11 = 1 et a21 = 2 pour le proc´ed´e I et a12 = 3, a22 = 1 pour le deuxi`eme proc´ed´e. L’entreprise dispose de 4 unit´es de x₁ et de 3 unit´es de x₂. Les prix sont w1 = 1, w2 = 1.

Le coˆut moyen du premier proc´ed´e est:

CM =a₁₁w₁ +a₂₁w₂ = 3 F r tandis que celui du deuxi`eme est:

CM =a12w1 +a22w2 = 4 F r

Si la quantit´e d’input n’´etait pas limit´ee, l’entreprise utiliserait uniquement le premier proc´ed´e qui est meilleur march´e. Le coˆut de production est

C = 3q

et ceci correspond `a la fonction de coˆut associ´ee `a une fonction de production ayant un rendement d’´echelle constant.

Avec le premier proc´ed´e, on peut produire au maximum q = 3/2 = 1.5 unit´es d’output.

Pour produire davantage, il faut utiliser une combinaison des deux proc´ed´es. Dans ce cas, la fonction de coˆut est:

C = 5q−3

Comme on peut le constater, le coˆut marginal passe de 3 Fr `a 5 Fr. Graphiquement on a:

(Voir graphiques PL.8 et PL.9)

Ici aussi, l’accroissement se fait par paliers.

(3) Maximisation du profit

Le rendement d’´echelle est constant et il faut alors introduire des contraintes si l’on veut obtenir un niveau de production fini. Les contraintes consid´er´ees ici concernent les inputs disponibles. On suppose que l’entreprise dispose des quantit´es x^o₁ et x^o₂ des deux inputs.

Le profit unitaire obtenu avec le premier proc´ed´e est π1 = p−CM1 et celui du deuxi`eme π<sub>2</sub> =p−CM<sub>2</sub>. Le probl`eme est alors:

max π=π₁q^I +π₂q^II S.C a₁₁q^I +a₁₂q^II ≤x^o₁

a21q^I +a22q^II ≤x^o₂

La solution graphique de ce probl`eme peut ˆetre obtenue en utilisant des courbes d’isoprofit.

La solution est donn´ee par le point qui satisfait les contraintes et se trouve sur la courbe d’isoprofit la plus ´elev´ee.

Exemple

Reprenons l’exemple consid´er´e ci-dessus et supposons que w1 = 40 ; w2 = 60 et le prix de vente est de 260 Fr. Les profits unitaires sont alors 260 - 160 = 100 Fr avec le premier proc´ed´e et 260 - 180 = 80 Fr avec le deuxi`eme. On a alors:

max π= 100q^I + 80q^II S.C q^I + 3q^II ≤4

2q^I +q^II ≤3

En tra¸cant la droite d’isoprofit π = 180 (on obtient ce profit avec 1 unit´e produite avec le premier proc´ed´e et 1 unit´e produite avec le deuxi`eme), on voit que la solution se trouve au point C.

(Voir graphique PL.10)

Ce point correspond `a une production maximale, compte tenu des ressources disponibles. On trouve alors:

q^I = 1 ; q^II = 1 ; π = 180

Si le prix de vente est de 190 Fr, l’entreprise utilise uniquement le premier proc´ed´e. Dans ce cas la production sera q= 1.5 et le profit 45 Fr. Enfin, si les prix des facteurs sont w1 = 20, w2 = 80 on a la fonction de profit π = 10q^I + 50q^II et on utilise uniquement le deuxi`eme proc´ed´e. La production est q = 4/3 et le profit 66 ²/3 Fr.

(4) G´en´eralisation au cas de v variables et h contraintes

Nous avons examin´e ci-dessus le cas de deux variables et deux contraintes afin de pouvoir pr´esenter une solution graphique qui souligne les similitudes avec les r´esultats obtenus dans les sections pr´ec´edentes.

Si l’on augmente le nombre de proc´ed´es, les isoquantes ressemblent de plus en plus `a celles d’une fonction de production avec substitution continue.

Le mˆeme r´esultat est obtenu avec les courbes de productivit´es marginales et celles de coˆut marginal. On peut alors consid´erer la fonction de production avec substitution continue comme le cas limite lorsque le nombre de proc´ed´es tend vers l’infini.

S’il y a h inputs etv proc´ed´es, le probl`eme de maximisation du profit devient:

max π=π₁q¹+π₂q² +· · ·+π_vq^v S.C a₁₁q¹+a₁₂q²+· · ·+a_1vq^v ≤x^o₁

a₂₁q¹ +a₂₂q²+· · ·+a_2vq^v ≤x^o₂

. . . .