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SOLUTION  64. A, B, C sont des entiers naturels non nuls. Démontrer que si A.B = A.C + B.C alors PGCD (A,B) = PGCD (A,C) + PGCD (B,C).

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Academic year: 2022

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SOLUTION  64.

A, B, C sont des entiers naturels non nuls.

Démontrer que si A.B = A.C + B.C alors PGCD (A,B) = PGCD (A,C) + PGCD (B,C).

Posons u = PGCD (A,B,C) et a = A / u b = B / u c = C / u.

Ainsi : a b = a c + b c et PGCD (a, b, c) = 1.

Posons r = PGCD (a, c) et s = PGCD (b, c) donc PGCD ( r, s) = 1.

On a : a = r x c = r y PGCD (x, y) = 1 b = s c = s PGCD (, ) = 1 or c = r y = s  implique

y s r

donc  = r t et y = s t car r / s est irréductible.

On a donc a = r x b = s c = r s t

a b = a c + b c implique r x s = r2 x s t + s2 r t qui divisé par r s donne x = r x t + s t = x + y donc x ( ) = y

   sinon  y serait nul, donc



  y

x ces fractions étant irréductibles.

Donc x =  et y =  soit  = y + = s t + r t = t (r + s).

Finalement : a = r x = r = r t (r + s) b = s = s t (r + s) c = r s t

t divise a, b, c et PGCD (a, b, c) = 1 donc t = 1.

Il reste :

a = r (r + s) b = s (r + s) c = r s avec PGCD ( r, s) = 1.

Donc PGCD (a, b) = r + s = PGCD (a, c) + PGCD (b, c) qui en multipliant par u2 donne PGCD (A,B) = r + s = PGCD (A,C) + PGCD (B,C) CQFD.

Ce problème faisait l’objet d’une question au concours général 2001 !

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