Chapitre 0. Quelques rappels sur les ensembles
Sidi Mohamed MAOULOUD
February 23, 2017
Sidi Mohamed MAOULOUD Chapitre 0. Quelques rappels sur les ensembles February 23, 2017 1 / 20
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Sidi Mohamed MAOULOUD Chapitre 0. Quelques rappels sur les ensembles February 23, 2017 2 / 20
1 Ensembles
2 L’union
3 Intersection
4 Compl´ementaire
5 Quelques propri´et´es
6 Produit cart´esien
7 Cardinal
8 Fonction Indicatrice
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D´ efinitions
Ω un ensemble quelconque etP(Ω) ={A:A⊂Ω}.
Tout les ensembles consid´er´es sont∈ P(Ω) Inclusion. A⊆B ⇔ ∀x ∈Ω, (x ∈A⇒x∈B).
Egalit´´ e. A=B ⇔ A⊂B etB ⊂A
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L’union
A∪B ={x∈Ω|(x ∈A) ou (x ∈B)}, x ∈A∪B si et seulement six ∈A oux∈B.
S
i∈IEi ={x∈Ω|∃i ∈I, x∈Ei}.
associativit´e: (A∪B)∪C =A∪(B∪C) commutativit´e : A∪B =B∪A;
idempotence : A∪A=A ;
∅ est neutre : A∪ ∅=A ; Ω est absorbant: Ω∪A= Ω.
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L’intersection
A∩B ={x∈Ω|(x ∈A) et(x∈B)}, x ∈A∩B si et seulement six ∈A etx ∈B. T
i∈IEi ={x∈Ω|∀i ∈I, x∈Ei}.
associativit´e: (A∩B)∩C =A∩(B∩C) commutativit´e : A∩B =B∩A;
idempotence : A∩A=A ;
∅ est absorbant : A∩ ∅=∅ ; Ω est neutre: Ω∩A=A.
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Le compl´ ementaire
Compl´ementaire deAest l’ensemble de ´el´ements de Ω qui n’appartiennent pas `aA; Il est not´eAc,
Ac={x∈Ω|x ∈/ A} c’est-`a-dire que x ∈Ac ⇔ x∈Ω et x∈/ A.
(Ac)c =A
∅c = Ω et Ωc =∅ A⊂B ⇔ Bc ⊂Ac
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Distributivit´ e et lois de Morgan
Distributivit´e
◮ A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
◮ A∩S
i∈IBi =S
i∈I(A∩Bi)
◮ A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
◮ A∪T
i∈IBi =T
i∈I(A∪Bi) Lois de Morgan
◮ (A∪B)c =Ac∩Bc
◮ !S
i∈IEic
=T
i∈IEic
◮ (A∩B)c =Ac∪Bc
◮ !T
i∈IEic
=S
i∈IEic
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Le produit cart´ esien
SoientA etB deux ensembles. On appelle produit cart´esien de Aet B l’ensemble, not´eA×B et d´efini par
A×B ={(x,y)|x ∈A, y ∈B} Plus g´en´eralement, On note par
E1× · · · ×Ek ={(x1,· · · ,xk) |xi ∈Ei, ∀i = 1,· · · ,k} On noteEn=E × · · · ×E
A× ∅=∅
A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
(A×A′)∩(B×B′) = (A∩B)×(A′∩B′)
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Les ensembles, le cardinal
Lorsqu’un ensemble Aest fini, le nombre d’´el´ements est appel´e cardinal de Aet est not´e #A,
#∅= 0
#(A∪B) = #A+ #B−#(A∩B) Si A∩B =∅alors #(A∪B) = #A+ #B
#(A×B) = (#A)·(#B)
#(Ek) = (#E)k
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Sidi Mohamed MAOULOUD Chapitre 0. Quelques rappels sur les ensembles February 23, 2017 18 / 20
Les fonctions indicatrices
Soit Aun ensemble donn´e. On appelle indicatrice de A, qu’on note1A, l’application 1A: Ω→ {0,1}telle que
1A(ω) =
1 si ω∈Ω
0 sinon .
La fonction indicatrice v´erifie les propri´et´es suivantes 1A∩B(ω) =1A(ω)1B(ω)
1A∪B(ω) =1A(ω) +1B(ω)−1A(ω)1B(ω) 1Ac(ω) = 1−1A(ω)
1A×B(ω, ω′) =1A(ω)1B(ω′)
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