Université de Bordeaux

(1)

Université de Bordeaux

Stage de Recherche

Master 2 Informatique Fondamentale

Mémoire

Coloration de graphes par multi-sommes

Étudiant :

Tom Davot-Grangé

Encadrants : Olivier Baudon Éric Sopena

16 février 2018

(2)

(3)

Remerciements

Je tiens à remercier Olivier Baudon et Éric Sopena pour la qualité de leur encadrement durant ce stage. Grâce à leur disponibilité et leur bienveillance, j’ai énormément appris à leurs côtés, tant au niveau de la rédaction qu’au niveau de la recherche de résultats. Je les remercie pour leur bonne humeur et pour toutes les petites anecdotes sur le monde de la recherche qui ont fait de ce stage un moment très agréable et surtout je leur suis très reconnaissant de m’avoir fait découvrir le Erdös Lap Number.

(4)

(5)

Table des matières

1 Introduction 4

1.1 Définitions . . . 4

1.1.1 Rappels de la théorie des graphes . . . 5

1.1.2 Coloration par sommes . . . 5

1.1.3 Coloration par multi-ensembles . . . 5

1.1.4 Décomposition en sous-graphes localement irréguliers . . . 6

1.1.5 Coloration par multi-sommes . . . 7

1.2 Liens entre les différentes colorations et résultats antérieurs . . . 11

1.2.1 Majorants dans le cas général . . . 12

1.2.2 Résultats en fonction des degrés des sommets . . . 12

1.2.3 Résultat en fonction du nombre chromatique . . . 13

1.2.4 Résultats sur le produit cartésien . . . 13

1.2.5 Autres résultats structurels . . . 13

1.2.6 Complexité . . . 14

1.3 Liens entre les différentes conjectures . . . 15

2 Classes de graphes 17 2.1 Graphes localement irréguliers . . . 17

2.2 Chaînes . . . 18

2.3 Cycles . . . 18

2.4 Arbres . . . 20

2.5 Graphes bipartis . . . 21

2.6 Graphes complets . . . 22

2.7 Graphes scindés . . . 23

2.8 Graphes 2-dégénérés . . . 25

3 Résultats généraux 27 3.1 Degré maximum borné . . . 27

3.2 Majorant dans le cas général . . . 29

4 Opérations sur les graphes 33 4.1 Ajout de sommets . . . 33

4.2 Produit cartésien . . . 33

4.3 Produit direct . . . 35

4.4 Produit lexicographique . . . 38

5 Conclusion et perspectives 42 A Annexe 44 A.1 Glossaire des notations . . . 44

(6)

1 Introduction

Le sujet de ce stage se situe à la croisée de deux thèmes très étudiés de la théorie des graphes : les colorations distinguantes et les décompositions de graphes.

Le principe d’une coloration distinguante est de donner des étiquettes aux sommets ou aux arêtes d’un graphe de façon à différencier les sommets du graphe. La différencia- tion souhaitée peut s’effectuer pour deux sommets situés à distance d dans le graphe ou pour tous les sommets du graphe. Le principe de la décomposition d’un graphe est de décomposer un graphe en sous-graphes possédant certaines propriétés.

Certains problèmes de coloration distinguante sont également des problèmes de dé- composition de graphes. On peut notamment citer la coloration propre des sommets d’un graphe, plus simplement appelée coloration de graphe, qui consiste à attribuer une couleur à chaque sommet du graphe de façon à ce que deux sommets voisins ne possèdent pas la même couleur. On peut également formuler ce problème comme un problème de décomposition de graphe où il s’agirait de décomposer le graphe en stables.

Lors des études de problèmes situés dans l’un de ces deux thèmes, on cherchera à trouver des résultats structurels et algorithmiques. Pour les résultats structurels, il s’agira la plupart du temps de minimiser le nombre d’étiquettes ou de sous-graphes utilisés.

Obtenir un résultat optimal peut parfois s’avérer difficile dans le cas général, il peut alors être intéressant de donner des majorants ou de se restreindre à certaines classes de graphes. Pour les résultat algorithmiques, on pourra faire des études de complexité sur des algorithmes permettant d’obtenir une solution optimale ou non.

Le but de ce stage est d’étudier un nouveau type de coloration de graphe appelé coloration par multi-sommes. Cette nouvelle forme de coloration est une généralisation de deux types de colorations distinguantes : la coloration par sommes, la coloration par multi-ensembles et d’une décomposition de graphe : la décomposition en sous-graphes localement irréguliers. Après la définition de la nouvelle coloration, les trois problèmes précédents deviennent alors des cas particuliers de la coloration par multi-sommes. Dans ce mémoire de stage, nous commencerons par définir formellement la coloration par multi- sommes et ses variantes, puis après un bref rappel des résultats déjà présents dans la littérature, nous présenterons des résultats structurels sur certaines classes de graphes et des majorants dans le cas général et pour certaines opérations de graphes.

Définitions

Dans cette partie nous commencerons par présenter quelques termes de théorie des graphes que nous utiliserons par la suite dans ce mémoire pour ensuite définir la coloration par multi-sommes.

(7)

2 3 4

5

6 4

1 2

2

3

1

Figure 1.1 – Exemple de coloration par sommes.

Rappels de la théorie des graphes

Commençons par des rappels de quelques notions générales de théorie des graphes.

Il n’est ici nullement question de faire une introduction complète au vaste domaine que représente la théorie des graphes, nous conseillons au lecteur de consulter un ouvrage plus spécialisé, comme celui de Diestel [8], s’il souhaite plus de détails sur les notions abordées.

D’autres rappels plus spécifiques seront effectués par la suite au cours du rapport.

On s’intéresse aux graphes simples et non orientés. Un graphe G est défini par deux ensembles V(G) etE(G), contenant respectivement les sommets et les arêtes de G. Pour deux sommets adjacents u et v, on note uv l’arête reliant le sommet u au sommet v.

L’ordre deGest le nombre de sommet deG, c’est à dire le cardinal de V(G). La taillede G est le nombre d’arête de G, c’est à dire le cardinal deE(G).

Le degré d’un sommet v, noté d(v) est le nombre d’arêtes incidentes à v, c’est à dire le nombre de voisins de v dans le graphe. On note respectivement ∆(G) et δ(G) le degré maximum et minimum du graphe G.

Coloration par sommes

Lacoloration par sommes consiste à attribuer un poids aux arêtes du graphe de façon à ce que pour chaque sommet, la somme des poids des arêtes incidentes à ce sommet soit différente de celle de ces voisins. Autrement dit, la somme des poids des arêtes incidentes à un sommet lui donne une couleur et le but est d’obtenir une coloration propre des sommets. La Figure 1.1 donne un exemple de coloration par sommes pour le cycle C₆ de six sommets. Sur le dessin, la somme des arêtes incidentes à un sommet est inscrit dans le sommet.

Ce type de coloration a été défini en 2004 par Karoński, Łuczak et Thomason qui ont émis la conjecture suivante :

Conjecture 1 (1-2-3 Conjecture [12]). Il est possible de colorier par sommes tout graphe ne possédant pas d’arête isolée en utilisant des poids appartenant à l’ensemble {1,2,3}.

Le graphe donné en exemple dans la Figure 1.1 nécessite trois couleurs. Cela montre en particulier que si la Conjecture 1 est vraie, alors elle est optimale.

Coloration par multi-ensembles

Pour la coloration par multi-ensembles, on attribue une couleur à chaque arête parmi un ensemble {1,2, . . . , k} de k couleurs. Pour chaque sommet v, on définit le multi- ensembleXv des couleurs des arêtes incidentes àv qu’on pourra représenter avec lek-uplet {x₁, x₂, . . . , x_k}, oùx_i est le nombre d’arêtes incidentes àv possédant la couleuri. On souhaite colorer les arêtes de façon à ce que deux sommets voisins ne possèdent pas le même

(8)

2,0,0 1,1,0 0,1,1

0,0,2

0,1,1 1 1,1,0 1

2

3

Figure 1.2 – Exemple de coloration par multi-ensembles.

Figure 1.3 – Exemple de décomposition en sous-graphes localement irréguliers.

multi-ensemble, ou de façon équivalente ne possèdent pas le même k-uplet. La Figure 1.2 donne un exemple de coloration par multi-ensembles pour le cycle C₆ de six sommets.

Le nombre indiqué sur chaque arête correspond à sa couleur. Pour chaque sommet, on indique son k-uplet.

Ce type de coloration a été défini en 2005 par Addario-Berry, Aldred, Dalal et Reed qui ont émis la conjecture suivante :

Conjecture 2 ([1]). Il est possible de colorier par multi-ensembles tout graphe ne possé- dant pas d’arête isolée en utilisant trois couleurs.

Décomposition en sous-graphes localement irréguliers

Un graphe localement irrégulier est un graphe dans lequel pour tous les couples de sommets voisins, les deux sommets ont des degrés différents. Ladécomposition d’un graphe en sous-graphes localement irréguliers consiste à attribuer à chaque arête une couleur de façon à ce que les sous-graphes induits par les arêtes d’une même couleur soient localement irréguliers. La Figure 1.3 donne un exemple de décomposition en sous-graphes localement irréguliers pour le cycle C6 de six sommets. Chaque couleur induit une chaîne de taille 2, et les sommets voisins dans un tel graphe sont de degré 1 et 2.

Tous les graphes ne sont pas décomposables de cette façon. Dans [2], il est montré que les graphes non décomposables en sous-graphes localement irréguliers sont les suivants :

— les chaînes ayant un nombre pair de sommets ;

— les cycles ayant un nombre impair de sommets ;

— la famille T définie de la façon suivante :

— le graphe complet de trois sommets K₃ appartient à T;

(9)

Figure 1.4 – Exemple de graphe appartenant àT.

— soit G∈T contenant un triangle possédant au moins un sommetv de degré 2.

Alors le graphe obtenu en reliant à v, soit une chaîne de longueur paire, soit une chaîne de longueur impaire dont l’autre extrémité est collée à un triangle, appartient à T.

Un exemple de graphe appartenant à T est donné dans la Figure 1.4.

Tous les autres graphes sont décomposables en sous-graphes localement irréguliers.

Ce type de coloration a été défini en 2005 par Baudon, Bensmail, Przybyło et Wo`zniak qui ont émis la conjecture suivante :

Conjecture 3. [2] Tout graphe connexe G n’étant ni une chaîne de longueur impaire, ni un cycle de taille impaire, ni un graphe de la famille T, est décomposable en trois sous-graphes localement irréguliers.

Coloration par multi-sommes

Nous pouvons introduire la nouvelle coloration qui sera étudiée dans ce rapport. Cette nouvelle coloration est la coloration par multi-sommes. La coloration par multi-sommes est une généralisation des trois précédentes colorations. On attribue une couleur et un poids à chaque arête, puis pour chaque sommet v, on fait la somme des poids des arêtes incidentes à v de la même couleur pour obtenir un tuple d’entiers désigné comme étant la multi-somme de v, qu’on notera comme un p-uplet d’entiers. La paire couleur-poids d’une arête est appelée valeur de l’arête. L’ensemble des valeurs pouvant être données à

(10)

une arête dans une coloration par multi-sommes utilisant p couleurs et q poids est noté E_p^q.

Plus formellement, pour un graphe G et pour c une coloration par multi-sommes utilisant p couleurs et q poids, on utilisera les notations suivantes :

— l’opérateur multi-somme⊕ est défini de la façon suivante :

(a₁, a₂, . . . , a_p)⊕(b₁, b₂, . . . , b_p) = (a₁+b₁, a₂+b₂, . . . , a_p +b_p)

— l’opérateur désigne l’opération opposée de ⊕ :

(a₁, a₂, . . . , a_p) (b₁, b₂, . . . , b_p) = (a₁−b₁, a₂ −b₂, . . . , a_p−b_p)

— l’opérateur⊗ désigne le produit d’une multi-somme par un entier : a⊗(b₁, b₂, . . . , bp) = (a×b₁, a×b₂, . . . , a×bp)

— pour une arête e ∈ E(G) possédant la couleur ` et le poids m, on représente la valeur de e par le p-uplet

c(e) = (e₁ := 0, e₂ := 0, . . . , e_`:=m, e`+1 := 0, . . . , e_p := 0)

— pour un sommet v ∈ V(G), sa multi-somme c(v) est définie de la façon suivante : soit N(v) = {x₁, x₂, . . . , x_d(v)}, l’ensemble des sommets voisins de v, alors :

c(v) = (a₁, a2, . . . , ap) =c(vx₁)⊕c(vx₂)⊕ · · · ⊕c(vx_d(v))

— pour un p-uplet α= (a₁, a₂, . . . , a_p), α_i désigne sa i-ème composante.

On utilise la même notation pour désigner la valeur d’une arête et la multi-somme d’un sommet afin d’unifier les notations pour les opérandes des opérateurs ⊕et . En effet ces opérateurs peuvent être utilisés en utilisant comme opérandes des multi-sommes et des valeurs d’arêtes.

Trois variantes de coloration par multi-sommes avec différentes contraintes sur les multi-sommes des sommets voisins vont être étudiées :

— la coloration faible par multi-sommes : dans ce type de coloration, il faut que pour deux sommets voisins, la multi-somme soit différente, c’est-à-dire qu’il y ait au moins une couleur pour laquelle la somme des poids des arêtes incidentes soit différente pour les deux sommets. De façon plus formelle on a :

∀xy∈E(G),∃i∈ {1, . . . , p}, c_i(x)6=c_i(y)

La Figure 1.5 montre un exemple de coloration faible par multi-sommes utilisant deux poids et deux couleurs. Pour chaque arête e, on indique sur le dessin sa valeur c(e) et pour chaque sommetv, on indique sur le dessin sa multi-somme c(v).

— la coloration standard par multi-sommes : dans ce type de coloration, il faut que pour deux sommets voisins, la composante de la multi-somme associée à la couleur de l’arête les reliant soit différente. De façon plus formelle on a :

∀xy∈E(G),∃i∈ {1, . . . , p}, ci(xy)6= 0∧ci(x)6=ci(y)

La Figure 1.6 montre un exemple de coloration standard par multi-sommes utilisant deux poids et deux couleurs. Pour chaque arête e, on indique sur le dessin sa valeur c(e) et pour chaque sommet v, on indique sur le dessin sa multi-somme c(v). On remarque que chaque sous-graphe induit par une couleur est colorié par sommes.

(11)

3,2

3,0 5,0

3,1 4,1

(1,0) (2,0) (0,1) (0,1)

(1,0)

(2,0) (2,0)

(1,0)

Figure 1.5 – Exemple de coloration faible par multi-sommes.

3,2

2,2 5,0

2,3 4,1

(1,0)

(1,0) (2,0) (0,1) (0,1)

(1,0)

(2,0) (2,0)

(0,2)

Figure 1.6 – Exemple de coloration standard par multi-sommes.

— Lacoloration forte par multi-sommes (voir Figure 1.7) : dans ce type de coloration, il faut que pour deux sommets voisins, chacune des composantes de leurs multi- sommes soit nulle ou différente pour les deux sommets. De façon plus formelle on a :

∀xy∈E(G),∀i∈ {1, . . . , p}, c_i(x)6=c_i(y)∨(c_i(x) = 0∧c_i(y) = 0)

La Figure 1.7 montre un exemple de coloration forte par multi-sommes utilisant deux poids et deux couleurs. Pour chaque arête e, on indique sur le dessin sa valeur c(e) et pour chaque sommetv, on indique sur le dessin sa multi-somme c(v).

On remarquera qu’il aurait été possible de s’intéresser à une coloration par multi-sommes possédant une contrainte encore plus forte, où l’on aurait voulu des composantes diffé- rentes pour toutes les couleurs pour chaque paire de sommets voisins (en interdisant une composante nulle pour les deux sommets en même temps). Cependant ce type de coloration aurait été trop contraignant dans la mesure où un graphe colorié avec p couleurs et q poids dans une telle coloration, n’est pas forcément coloriable avec p+ 1 couleurs et q poids. Un graphe ne pourrait utiliser au maximum quemin{max(d(u), d(v))|uv ∈E(G)}

couleurs (ce paramètre est appelé le degré minmax). Par exemple, pour la chaîne P₃ de trois sommets, il est possible de colorier P3 avec une couleur et un poids mais impossible

6,1

3,2 4,0

2,3 5,0

(2,0) (2,0) (0,1) (2,0)

(1,0)

(1,0) (2,0)

(0,2)

Figure 1.7 – Exemple de coloration forte par multi-sommes.

(12)

1,0 2,0 1, 0

(a)

(1,0) (1,0) 1, 0 (1,0) 1,1 (0,1) 0,1

(b)

Figure 1.8 – Deux façons de colorier P₃ avec deux couleurs et un poids.

1,1 2,0

1,1

0,2 (1,0) (1,0)

(0,1) (0,1)

3 4

3

2 2 2

1 1

Figure1.9 –C₄ est à la fois fortement (2,1)-chromatique et fortement (1,2)-chromatique.

de le colorier avec plus d’une couleur. En effet la Figure 1.8 montre les deux façons pos- sibles de colorier P₃ avec deux couleurs et un poids : dans (a), la composante 2 vaut 0 pour tous les sommets et dans (b), le sommet du milieu possède la même composante 1 que l’un de ses voisins et la même composante 2 que l’autre de ses voisins.

On cherchera dans toutes les variantes considérées à minimiser le nombre de poids et de couleurs utilisés. Un graphe est dit (faiblement / de façon standard / fortement) (p, q)-coloriable par multi-sommes s’il existe une coloration (faible / standard / forte) par multi-sommes utilisant p couleurs et q poids. Un graphe est dit ( faiblement / de façon standard / fortement) (p, q)-chromatique par multi-sommes s’il est (faiblement / de façon standard / fortement) (p, q)-coloriable par multi-sommes et s’il n’existe pas de ( faiblement / de façon standard / fortement) (p−1, q)-coloration ni de (p, q −1)- coloration. Une (p, q)-coloration (faible / standard / forte) d’un graphe (faiblement / de façon standard / fortement) (p, q)-chromatique est dite optimale. Un même graphe peut donc avoir plusieurs colorations optimales avec un nombre de poids et de couleurs différents (Figure 1.9). Une coloration pour laquelle toutes les arêtes n’ont pas une valeur est dite partielle.

Comme dans une coloration forte, les sommets voisins ont les composantes de la couleur qui les relie différentes et que dans une coloration standard, les voisins ont au moins une composante différente, on peut faire la remarque suivante :

Remarque 4. Une (p, q)-coloration forte par multi-sommes est une (p, q)-coloration standard par multi-sommes et une (p, q)-coloration standard par multi-sommes est une (p, q)- coloration faible par multi-sommes.

Ainsi si l’on montre qu’un graphe admet une (p, q)-coloration forte (respectivement standard) par multi-sommes alors ce graphe admet aussi une (p, q)-coloration standard (respectivement faible) par multi-sommes. De même si l’on montre qu’un graphe n’admet pas une (p, q)-coloration faible (respectivement standard) par multi-sommes alors ce graphe n’admet pas une (p, q)-coloration standard (respectivement forte) par multi- sommes.

Cependant si l’on montre qu’un graphe est fortement (p, q)-chromatique (respectivement (p, q)-chromatique de façon standard) par multi-sommes, cela ne suffit pas à dire qu’il est (p, q)-chromatique de façon standard (respectivement faiblement (p, q)-chromatique) par multi-sommes. En effet comme la variante de coloration par multi-sommes est moins

(13)

contraignante dans le deuxième cas, il est possible que le graphe nécessite un poids ou une couleur de moins dans la deuxième variante.

Arête isolée et composante connexe Un graphe contenant une arête isolée n’est pas coloriable par multi-sommes, quelle que soit la variante utilisée. En effet quels que soient la couleur et le poids attribués à cette arête, les deux sommets reliés par cette arête posséderont la même multi-somme. Si un graphe n’est pas connexe, alors il admet une (p, q)-coloration par multi-sommes si et seulement si toutes ses composantes connexes admettent une (p, q)-coloration par multi-sommes. Dans la suite du rapport nous consi- dérerons donc uniquement des graphes connexes différents de K₂.

Liens entre les différentes colorations et résultats an- térieurs

Une coloration (faible, standard ou forte) par multi-sommes n’utilisant qu’une seule couleur est équivalente à une coloration par sommes. De même une coloration standard par multi-somme n’utilisant qu’un seul poids est équivalente à une décomposition en sous- graphes localement irréguliers. Une coloration faible par multi-sommes n’utilisant qu’un seul poids quant à elle correspond à une coloration par multi-ensembles. Les résultats obtenus lors des études de la coloration par sommes, de la coloration par multi-ensembles et de la décomposition en sous-graphes localement irréguliers peuvent donc être directement convertis en terme de coloration par multi-sommes. Nous présenterons dans cette partie quelques résultats significatifs de la littérature portant sur la coloration par sommes, la coloration par multi-ensembles et la décomposition en sous-graphes localement irréguliers.

D’autres résultats seront également rajoutés et complétés dans la Partie 2, portant sur certaines classes de graphes. Bien que les articles cités ici portent sur un des ces trois problèmes et non sur la coloration par multi-sommes, les résultats issus de ces articles seront exprimés en terme de coloration par multi-sommes dans ce rapport, par souci de cohérence.

De plus la proposition suivante établit un lien entre la coloration par sommes et la coloration par multi-ensembles :

Proposition 5. Soit G un graphe connexe différent de K₂ et k un entier naturel non nul. Si G est fortement (1, k)-coloriable par multi-sommes, alors G est faiblement (k,1)- coloriable par multi-sommes.

Démonstration. Soit G un graphe connexe différent de K₂ etc une (1, k)-coloration forte par multi-sommes de G. Construisons une (k,1)-coloration faible par multi-sommes c⁰ de G. Donnons aux arêtes de G la couleur i quand celles-ci possèdent le poids i dans la colorationcet donnons le poids 1 à toutes les arêtes. Pour toute paire de sommets voisins x et y, on a :

c₁(x) = w₁(x) +w₂(x)×2 +· · ·+w_p(x)×p et

c1(y) = w1(y) +w2(y)×2 +· · ·+wp(y)×p

les multi-sommes de respectivement x et y dans la coloration c où w_i(v) est le nombre d’arêtes incidentes à v possédant le poids i. Comme c₁(x) 6= c₁(y), il existe un poids i tel que w_i(x) 6= w_i(y). Dans la nouvelle coloration par multi-sommes, on a c⁰(x) = (w₁(x), w₂(x), . . . , w_p(x)) etc⁰(y) = (w₁(y), w₂(y), . . . , w_p(y)), donc il y a une composante différente pour ces deux sommets.

(14)

Remarque 6. La preuve précédente est également valable si l’ensemble des poids utilisé pour la coloration par sommes est différent de {1, . . . , k}.

Un résultat structurel de la littérature portant sur la coloration par sommes peut donc être converti directement en coloration par multi-ensembles. De plus, d’après la Re- marque 4, une décomposition en sous-graphes localement irréguliers étant une coloration par multi-ensembles, un résultat structurel de la littérature portant sur la décomposi- tion en sous-graphes localement irréguliers pourra lui aussi être converti directement en coloration par multi-ensembles.

Majorants dans le cas général

Nous avons vu dans la Partie 1.1 qu’il existait des conjectures affirmant que trois couleurs sont suffisantes dans le cas général pour les trois problèmes. Pour la coloration par sommes, le meilleur résultat approchant cette borne a été trouvé par Kalkowski, Karoński et Pfender en 2010 :

Proposition 7 ([11]). Tout graphe connexe différent de K₂ est fortement(1,5)-coloriable par multi-sommes.

Concernant la coloration par multi-ensembles, un majorant plus proche a été trouvé par Addario-Berry, Aldred, Dalal et Reed en 2005 :

Proposition 8([1]).Tout graphe connexeGdifférent deK₂est faiblement(4,1)-coloriable par multi-sommes.

Pour la décomposition en sous-graphes localement irréguliers, le meilleur majorant actuel est relativement éloigné de la conjecture. Il a été trouvé par Bensmail, Merker et Thomassen en 2017 :

Proposition 9 ([5]). Si un graphe est décomposable en sous-graphes localement irrégu- liers, alors il est (328,1)-coloriable de façon standard par multi-sommes.

Résultats en fonction des degrés des sommets

Nous avons quelques résultats sur la décomposition en sous-graphes localement irrégu- liers en fonction des degrés des sommets d’un graphe. Un graphe d-régulier est un graphe pour lequel tous les sommets sont de degré d. Concernant les graphesd-réguliers, Baudon, Bensmail, Przybyło et Woźniak ont montré le résultat suivant en 2015 :

Proposition 10 ([2]). Soit G un graphe d-régulier tel que G est décomposable en sous- graphes localement irréguliers. Sid≥10⁷, alorsGest(3,1)-chromatique de façon standard par multi-sommes.

Pour le degré maximum d’un graphe G, noté ∆(G), un des résultats que l’on peut trouver dans la littérature date de 2016 et nous vient de Lužar, Przybyło, et Soták : Proposition 11 ([14]). Tout graphe connexe différent de K₂ de degré maximum ∆ ≤ 3 est (4,1)-coloriable de façon standard par multi-sommes.

Nous avons également un résultat de Przybyło datant de 2016 sur le degré minimum d’un graphe F G, notéδ(G) :

Proposition 12 ([15]). Si un graphe G est décomposable en sous-graphes localement ir- réguliers et δ(G)<10¹⁰, alorsG est(3,1)-coloriable de façon standard par multi-sommes.

(15)

Pour la coloration par multi-ensembles en fonction du degré minimum, nous avons un résultat provenant de Addario-Berry, Aldred, Dalal et Reed et datant de 2005 :

Proposition 13 ([1]). Soit G un graphe connexe différent de K₂. Si δ(G)≥ 1000, alors G est faiblement (3,1)-coloriable par multi-sommes.

Résultat en fonction du nombre chromatique

Nous avons parlé dans l’introduction de la coloration propre des sommets d’un graphe.

Le plus petit nombre c tel que les sommets d’un graphe G soient coloriables en utilisant c couleurs est appelé le nombre chromatique de G et se note χ(G). Pour la coloration par sommes, comme les sommes des arêtes incidentes à un même sommet doivent induire une coloration propre des sommets, il peut être naturel de rechercher une caractérisation de la coloration par sommes en fonction du nombre chromatique. Karoński, Łuczak et Thomason ont montré le résultat suivant qui dépend du nombre chromatique d’un graphe : Proposition 14 ([12]). Soit G un graphe connexe différent de K₂ et k un entier naturel impair. Si χ(G)≤k, alors G est fortement (1, k)-coloriable par multi-sommes.

Résultats sur le produit cartésien

Le produit cartésien sera défini formellement plus tard dans le rapport dans la Par- tie 4.2. Pour la coloration par sommes nous avons le résultat suivant provenant de Kha- tirinejad, Naserasr, Newman, Seamone et Stevens en 2012 :

Proposition 15 ([13]). Les graphes suivants sont fortement (1,2)-coloriables par multi- sommes :

— K₂K_n;

— K₂C_n, avec n = 4 ou n >5;

— K_nH, avec H un graphe biparti régulier ;

— C_nH, avec n = 4 ou n >5 et H un graphe biparti régulier ;

— GH avec G et H des graphes bipartis réguliers.

Pour la décomposition en sous-graphes localement irréguliers, nous avons le résultat suivant établi par Baudon, Bensmail, Przybyło et Woźniak en 2015 :

Proposition 16. Soit G un graphe (p,1)-coloriable de façon standard par multi-sommes etH un graphe(p⁰,1)-coloriable de façon standard par multi-sommes. Le produit cartésien GH est (max(p, p⁰),1)-coloriable de façon standard par multi-sommes.

Autres résultats structurels

Nous citerons dans cette partie trois autres résultats structurels notables sur la coloration par sommes et la décomposition en sous-graphes localement irréguliers. Pour la coloration par sommes, Khatirinejad, Naserasr, Newman, Seamone et Stevens ont établi le résultat suivant en 2012 :

Proposition 17 ([13]). Les graphes suivants sont fortement (1,2)-coloriables par multi- sommes :

— tout graphe connexe différent de K₂ dont tous les sous-graphes induits ont une taille multiple de 4;

(16)

— tout graphe connexe différent de K2 unicylique dont le seul cycle induit est différent de C_2k+1 et de C_4k+2.

Pour la décomposition en sous-graphes localement irréguliers, Bensmail a établi le résultat suivant en 2014 qui dépend de la taille du graphe :

Proposition 18 ([4]). Si un graphe Gest décomposable en sous-graphes localement irré- guliers, alors G est (b^|E(G)|₂ c,1)-coloriable de façon standard par multi-sommes.

Un autre résultat trouvé par Bensmail sur les graphes réguliers en fonction de leur nombre chromatique est le suivant :

Proposition 19 ([4]). Soit G un graphe connexe d-régulier. Si d ≥ 12×χ(G), alors G est (2,1)-chromatique de façon standard par multi-sommes.

Complexité

Il existe également dans la littérature des résultats algorithmiques sur la coloration par sommes, la coloration par multi-ensembles et la décomposition en sous-graphes localement irréguliers. Pour la coloration par sommes, considérons le problème de décision suivant : Problème 20. (1,k)-COLORATION FORTE PAR MULTI-SOMMES

Entrée : un entier naturel non nul k et un graphe connexe G différent de K₂. Question : existe-t-il une (1, k)-coloration forte par multi-sommes de G?

D’après la Proposition 7, le Problème 20 est dans P pour k ≥ 5. Pour k = 2, nous avons le résultat suivant établi par Dudek et Wajc en 2011 :

Proposition 21 ([9]). Le problème (1,k)-COLORATION FORTE PAR MULTI- SOMMES est NP-complet pour k = 2.

Dans [7], il est montré que le problème(1,2)-COLORATION FORTE PAR MULTI- SOMMES reste NP-complet même quand il est restreint aux graphes cubiques. Dans [16], il est fait un état des lieux des classes de graphes pour lesquelles le problème (1,2)- COLORATION FORTE PAR MULTI-SOMMES est dans P. Comme la Conjec- ture 1 n’est pas résolue, la question reste ouverte pour k = 3 et également pour k= 4.

Pour la coloration par multi-ensembles, considérons le problème de décision suivant : Problème 22. (k,1)-COLORATION FAIBLE PAR MULTI-SOMMES

Entrée : un entier naturel non nul k et un graphe connexe G différent de K₂. Question : existe-t-il une (k,1)-coloration faible par multi-sommes de G?

D’après la Proposition 8, le Problème 22 est dans P pour k ≥ 4. Pour k = 2, nous avons le résultat suivant établi par Havet, Paramaguru et Sampathkumar en 2014 : Proposition 23 ([10]). Le problème (k,1)-COLORATION FAIBLE PAR MULTI- SOMMES est NP-complet pour k = 2.

Comme la Conjecture 2 n’est pas résolue, la question reste ouverte pour k= 3.

Pour la décomposition en sous-graphes localement irréguliers, considérons le problème de décision suivant :

Problème 24. (k,1)-COLORATION STANDARD PAR MULTI-SOMMES Entrée : un entier naturel non nul k et un graphe connexe G différent de K₂. Question : existe-t-il une (k,1)-coloration standard par multi-sommes de G?

(17)

Pour ce problème, nous avons le résultat suivant établi par Baudon, Bensmail et So- pena en 2015 :

Proposition 25([3]). Le problème(k,1)-COLORATION STANDARD PAR MULTI- SOMMES est NP-complet pour k = 2.

D’après la Proposition 9, le Problème 24 est dans P pourk ≥328. Comme la Conjec- ture 3 n’est pas résolue, la question reste ouverte pour k ∈[3,328]

Liens entre les différentes conjectures

Nous avons vu que pour les trois colorations ayant inspiré les colorations par multi- sommes, il existe une conjecture affirmant que trois couleurs sont suffisantes pour tous les graphes coloriables. Nous pouvons effectuer les remarques suivantes sur les liens qu’il existe entre ces différentes conjectures :

Remarque 26. Si la Conjecture 1 est vérifiée, alors la Conjecture 2 est également vérifiée.

En effet, dans une coloration par sommes, deux sommets voisins possèdent au moins un poids pour lequel le nombre d’arêtes incidentes est différent pour ces deux sommets.

Ainsi, on peut transformer une coloration par sommes en coloration par multi-ensembles en attribuant une couleur différente par poids, ainsi on aura une couleur pour laquelle le nombre d’arêtes incidentes possédant cette couleur sera différent pour les deux sommets.

Remarque 27. Si la Conjecture 3 est vérifiée, alors la Conjecture 2 est également vérifiée.

Nous avons vu qu’une décomposition enk sous-graphes localement irréguliers correspond à une (k,1)-coloration standard par multi-sommes et qu’une coloration par multi- ensembles utilisantk couleurs correspond à une (k,1)-coloration faible par multi-sommes.

Comme une coloration standard par multi-sommes est également une coloration faible par multi-sommes, le lien entre ces deux conjectures est établi.

Cependant il n’existe aucun lien établi entre la Conjecture 1 et la Conjecture 3. La Conjecture 2 quant à elle, si elle est vérifiée, ne permet pas d’établir un résultat sur les deux autres conjectures. On pourrait cependant introduire une autre conjecture plus faible que la Conjecture 1, qui serait elle liée à la Conjecture 2 :

Conjecture 28. Tout graphe est coloriable par sommes en utilisant un ensemble de trois valeurs de poids.

La différence avec la Conjecture 1 est qu’ici l’ensemble des poids utilisé peut être différent de {1,2,3} et est choisi en fonction du graphe.

Proposition 29. Les conjectures 2 et 28 sont équivalentes.

Démonstration. La Remarque 6 nous permet de dire que la Conjecture 28 implique la Conjecture 2. Il nous reste à montrer que la Conjecture 2 implique la Conjecture 28.

Soit G un graphe connexe différent de K₂ et c une coloration par multi-ensembles de G utilisant trois couleurs. Soit G_i le graphe induit par les arêtes possédant la couleuridans c. Posons d = max(∆(G_i)). Soit W = {w₁ := 1, w₂ := d, w₃ := d²}, un ensemble de trois entiers. Remplaçons dans le graphe Gchaque couleuripar le poids w_i. Pour chaque sommet v, on obtient une somme s(v) telle que :

s(v) =d₃(v)×w₃+d₂(v)×w₂+d₁(v)×w₁

(18)

où di(v) est le degré de v dans Gi. Comme chaque degré di(v) est borné par d, on a s(v) = (d₃(v)d₂(v)d₁(v))_(d) en based. La coloration est une coloration par sommes si pour toute paire de sommets voisins xet y, on a s(x)−s(y)6= 0, donc si :

((d₃(x)−d₃(y))((d₂(x)−d₂(y))(d₁(x)−d₁(y))_(d)6= 0

Cela est vérifié si et seulement si il existe un itel qued_i(x)6=d_i(y). Comme la coloration cest une coloration par multi-ensembles, on est sûr qu’il existe une couleuripour laquelle ces deux sommets ont des degrés différents dans G_i. Donc pour toute paire de sommets voisins x et y, on a bien des sommes différentes. On obtient donc une coloration par sommes.

(19)

2 Classes de graphes

Dans ce chapitre, nous verrons quelques résultats sur certaines classes de graphes.

Pour certaines d’entre elles, il existe déjà quelques résultats concernant la coloration par sommes, la coloration par multi-ensembles et la décomposition en sous-graphes localement irréguliers, on pourra donc convertir ces résultats en terme de coloration par multi-sommes et les compléter par d’autres résultats de colorations par multi-sommes utilisant à la fois plusieurs couleurs et plusieurs poids.

Graphes localement irréguliers

Il s’agit de la classe des graphes pour lesquels deux sommets voisins ont des degrés différents. Quelques exemples de graphes localement irréguliers sont donnés dans la Fi- gure 2.1.

Remarque 30. Un graphe est localement irrégulier si et seulement si il est fortement (1,1)-chromatique par multi-sommes.

En effet si l’on donne la couleur 1 et le poids 1 à toutes les arêtes du graphe, les multi-sommes des sommets n’auront qu’une seule composante dont la valeur sera égale au degré du sommet. Comme deux sommets voisins possèdent des degrés différents, l’unique composante de leur multi-somme est également différente.

Figure 2.1 – Exemples de graphes localement irréguliers.

(20)

Chaînes

LachaîneànsommetsP_nest le graphe composé densommetsx₁, . . . , x_netn−1 arêtes x₁x₂, x₂x₃, . . . , xn−1x_n. On peut également la voir comme une suite d’arêtes consécutives.

Les sommets de degré 1 de la chaîne sont appelés lesextrémités. On s’intéresse aux chaînes P_n, n ≥ 3. La proposition suivante reprend et complète les résultats obtenus dans [2] et [13] :

Proposition 31. Soit P_n la chaîne à n sommets (n≥3) :

1. sin = 3, alorsP_nest fortement(1,1)-chromatique par multi-sommes [Remarque 30] ; 2. si n≥4, alors P_n est fortement (1,2)-chromatique par multi-sommes [13] ;

3. si n≥4, alors P_n est faiblement (2,1)-chromatique par multi-sommes ;

4. si n ≡ 1 (mod 2) et n ≥ 4, alors P_n est fortement (2,1)-chromatique par multi- sommes [2] ;

5. si n≡0 (mod 2), alors pour tout p, P_n n’est pas (p,1)-coloriable de façon standard par multi-sommes [2]

Démonstration.

1. P₃ possède un sommet de degré 2 relié à deux sommets de degré 1, il est donc localement irrégulier.

2. Si n est impair alors Pn est fortement (2,1)-chromatique par multi-sommes [2]. Si n est pair, on colorie les arêtes en alternant les couleurs toutes les deux arêtes, la dernière arête est une arête isolée dans le sous-graphe induit par sa couleur.

Supposons que la dernière arête est coloriée avec la couleur 1 : comme le sommet situé à cette extrémité ne reçoit que cette couleur, la composante de sa multi-somme c₂ est nulle. On est sûr que cette composante n’est pas nulle pour son voisin car l’autre arête incidente à ce voisin est coloriée avec la couleur 2. Les multi-sommes sont donc différentes pour ces deux sommets.

4. Pour toutes les chaînes P_n contenant plus de trois sommets, P_n va posséder au moins deux voisins de degré 2 et donc ne va pas être localement irrégulier. Ainsi les résultats trouvés dans [2] et [13] vont correspondre à des colorations optimales.

Cycles

Le cycle à n sommets Cn est le graphe obtenu en rajoutant à la chaîne Pn une arête entrex₁ etx_n. Un cycle est un graphe 2-régulier. Un graphe appartenant à cette classe de graphes nécessite donc au moins deux couleurs ou deux poids pour être colorié par multi- sommes. On note Cn le cycle à n sommets. La proposition suivante reprend et complète les résultats obtenus dans [2] et [6] :

Proposition 32. Soit C_n le cycle à n sommets :

1. pour tout p, C₃ n’est pas (p,2)-coloriable de façon standard par multi-sommes ; 2. si n≡0 (mod 4), alors Cn est fortement (1,2)-chromatique par multi-sommes [13]

et fortement (2,1)-chromatique par multi-sommes [2] ;

3. si n6≡0 (mod 4), alors C_n est fortement (1,3)-chromatique par multi-sommes [6] ;

(21)

4. si n≡1 (mod 2), alors Cn est faiblement (3,1)-chromatique par multi-sommes ; 5. si n≡2 (mod 4), alors C_n est fortement (3,1)-chromatique par multi-sommes [2] ; 6. si n≡1 (mod 2), alors pour tout p, C_n n’est pas(p,1)-coloriable de façon standard

par multi-sommes [2] ;

7. si n 6≡ 0 (mod 4) et n ≥ 4 alors C_n est fortement (2,2)-chromatique par multi- sommes ;

Démonstration. Soit C_n le cycle à n sommets. Les points de la proposition précédente dont les preuves ne sont pas présentes dans la littérature sont les suivants :

1. Pour tout p, C₃ n’est pas (p,2)-coloriable de façon standard par multi-sommes : d’après [6], C₃ n’est pas (1,2)-coloriable de façon standard par multi-sommes. Si l’on utilise plus d’une couleur dans une coloration, alors on obtient une arête isolée d’une même couleur, ce qui induit une mauvaise coloration par multi-sommes.

4. Si n ≡ 1 (mod 2), alors C_n est faiblement (3,1)-chromatique par multi-sommes : si l’on utilise seulement deux couleurs pour colorier faiblement un tel C_n alors on a obligatoirement trois arêtes successives du cycle de la même couleur. Les deux sommets ne se situant pas aux extrémités de cette chaîne induite par cette couleur auront la même multi-somme. On doit donc utiliser au moins trois couleurs.

Distinguons deux cas :

— si n 6≡3 (mod 6) : colorions toutes les arêtes sauf une avec le motif : 1,1,2,2,3,3,1,1. . .

La dernière arête non coloriée ne peut pas être adjacente à deux arêtes d’une même couleur, colorions-la avec la couleur n’apparaissant pas sur les arêtes adjacentes. Ainsi les deux sommets reliés par cette arête possèdent des multi- sommes différentes. Les autres composantes connexes des sous-graphes induits par les arêtes d’une même couleur sont des chaînes contenant trois sommets.

Les chaînes de trois sommets sont des graphes localement irréguliers, donc tous les sommets ont une multi-somme différente de celle de leurs voisins (voir exemple Figure 2.2),

— si n ≡ 3 (mod 6) : cette fois on ne peut pas appliquer la même technique car sinon les deux sommets reliés par l’arête isolée auraient leur autre arête incidente de la même couleur. On doit donc commencer par colorier une arête avec la couleur 1 (qui sera l’arête isolée), puis les deux suivantes avec la couleur 2 et enfin colorier toutes les autres arêtes avec le motif

1,1,2,2,3,3,1,1, . . .

De cette façon on a bien une seule arête isolée et celle-ci relie deux sommets possédant une autre arête de couleur différente (voir exemple Figure 2.3).

7. Si n 6≡ 0 (mod 4) et n ≥ 4 alors C_n est fortement (2,2)-chromatique par multi- sommes : on peut décomposer C_n en deux chaînes P et P⁰ de taille au moins 2.

D’après la proposition 31 ces deux chaînes sont fortement (1,2)-coloriables par multi- sommes, on colorie donc P et P⁰ en utilisant une couleur différente par chaîne. La coloration obtenue pour C_n est par définition une (2,2)-coloration forte par multi- sommes. D’après [2],C_n n’est pas décomposable en graphes localement irréguliers et d’après [13],C_nn’est pas fortement (1,2)-coloriable par multi-sommes donc cette coloration est optimale, on a bienC_n fortement (2,2)-chromatique par multi-sommes.

(22)

1,1,0 2,0,0 1,1,0

0,2,0

0,1,1

0,0,2

0,1,1 (1,0,0) (1,0,0)

(0,1,0)

(0,0,1)

(0,1,0)

Figure 2.2 – (3,1)-coloration faible par multi-sommes pour C₇.

1,0,1 2,0,0 1,1,0

0,2,0

0,1,1

0,0,2

0,1,1

0,2,0

0,1,1 (1,0,0) (1,0,0) (0,1,0)

(0,1,0)

(0,0,1)

(0,1,0)

(0,1,0) (0,0,1)

Figure 2.3 – (3,1)-coloration faible par multi-sommes pour C₉.

Arbres

Unarbre est un graphe connexe qui ne contient pas de cycle. La proposition suivante reprend et complète les résultats obtenus dans [3] et [13] :

Proposition 33. Soit T un arbre différent de K₂ :

1. si T est localement irrégulier, alors T est fortement (1,1)-chromatique par multi- sommes [Remarque 30] ;

2. si T n’est pas localement irrégulier, alors T est faiblement (2,1)-chromatique par multi-sommes ;

3. si T n’est pas localement irrégulier, alors T est fortement (1,2)-chromatique par multi-sommes [13] ;

4. si ∆(T) ≥ 5 et T n’est pas localement irrégulier, alors T est fortement (2,1)- chromatique par multi-sommes [3] ;

5. T est fortement (3,1)-coloriable par multi-sommes [3].

Démonstration. Soit T un arbre différent de K2 :

2. Enracinons l’arbre T enr un sommet de degré supérieur ou égal à 2. Pour un sommet v, on désigne par p(v) le père de v dans T. Construisons une (1,2)-coloration forte par multi-sommes c de T en partant de la racine de la façon suivante : on colorie toutes les arêtes incidentes à la racine avec la couleur 1, puis pour chaque sommet v,

— sid(v)>2, alors on colorie les arêtes reliantv à ses fils avec la couleur différente de celle reliant v à son père ;

— si d(v) = 2, d(p(v)) = 2 et c(vp(v)) =c(p(v)p(p(v)), alors on colorie l’arête reliant v à son fils avec la couleur différente de celle de vp(v) ;

— sinon on colorie l’arête reliant v à son fils avec la même couleur que vp(v).

Si les couleurs de l’arête reliantv à son père et de l’arête reliantv à ses fils sont différentes alors, supposons sans perte de généralité que la couleur de l’arête reliant v à son père est 1 et la couleur reliant v à ses fils est 2.

Montrons que la coloration obtenue est une (2,1)-coloration faible par multi-sommes :

— si d(v) >2 : comme tous les fils de p(v) sont reliés à p(v) avec la même couleur 1, p(v) ne peut avoir au maximum qu’une seule arête incidente de couleur 2 : celle qui

(23)

la relie à son père. Commed(v)>2,v a au moins 2 fils, donc au moins deux arêtes incidentes de couleur 2 donc on a c₂(v)6=c₂(p(v)) ;

— si d(v) = 2, d(p(v)) = 2 et c(vp(v)) = c(p(v)p(p(v)) : dans ce cas, p(v) ne possède pas d’arête incidente de couleur 2 et v en possède une, donc on ac₂(v)6=c₂(p(v)) ;

— si d(v) = 2, d(p(v)) = 2 et c(vp(v))6=c(p(v)p(p(v)) : dans ce cas, v ne possède pas d’arête incidente de couleur 2 et p(v) en possède une, donc on a c₂(v)6=c₂(p(v)) ;

— si d(v) = 1, commed(p(v))>1 : on a c(p(v))6∈ {(1,0),(0,1)}donc c(v)6=c(p(v)).

On sait qu’un arbreT (3,1)-chromatique de façon standard par multi-sommes doit ne pas être localement irrégulier et doit posséder un degré maximum ∆(T) < 5. Toutefois, ces conditions sont nécessaires mais pas suffisantes. La caractérisation des arbres (3,1)- chromatiques de façon standard par multi-sommes reste donc une question ouverte.

Graphes bipartis

Un graphe biparti est un graphe pour lequel il existe une partition de ses sommets en deux stables U et V. Un graphe biparti est dit complet si chaque sommet de U est relié à tous les sommets de V. Dans ce cas, le graphe est notéK_p,q, où p=|U| et q=|V|. La proposition suivante reprend et complète les résultats obtenus dans [2] pour les graphes bipartis complets :

Proposition 34. Soit K_p,q un graphe biparti complet avec p≥2, alors : 1. si p6=q, alors G est fortement (1,1)-chromatique par multi-sommes [2] ;

2. sinon G est fortement (1,2)-chromatique par multi-sommes et fortement (2,1)- chromatique par multi-sommes.

Démonstration.

2. Soit K_p,q un graphe biparti complet tel que p = q et p ≥ 2. Comme K_p,q est p- régulier, le graphe n’est pas (1,1)-coloriable de façon standard par multi-sommes. Le graphe K_p,q− {v}, pour n’importe quel sommet v, est fortement (1,1)-chromatique par multi-sommes d’après [2]. Il est possible de donner une valeur aux arêtes incidentes à v de deux façons différentes, de façon à construire c une (2,1)-coloration forte par multi- sommes optimale et c⁰ une (1,2)-coloration forte par multi-sommes optimale :

— Colorions toutes les arêtes incidentes à v avec la couleur 2 et le poids 1. On aura c(v) = (0, p),c(u) = (p−1,1) pour tous les sommetsuse situant dans la bipartition opposée à v et c(x) = (p,0) pour tous les sommets x se situant dans la même bipartition quev. Ainsi commep6= 1, la coloration obtenue est une (2,1)-coloration forte par multi-sommes et donc le graphe K_p,q est fortement (2,1)-chromatique par multi-sommes.

— Colorions toutes les arêtes incidentes à v avec la couleur 1 et le poids 2. On aura c(v) = (2×p),c(u) = (p+ 1) pour tous les sommetsu se situant dans la bipartition opposée à v et c⁰(x) = c⁰(p) pour tous les sommets x se situant dans la même bipartition que v. Ainsi la coloration obtenue est une (1,2)-coloration forte par multi-sommes et donc le graphe K_p,q est fortement (1,2)-chromatique par multi- sommes.

(24)

Pour les graphes bipartis non complets, la proposition suivante reprend et complète les résultats obtenus dans [13] :

Proposition 35. Soit G6=K₂ un graphe connexe biparti non complet, alors :

1. si G est localement irrégulier, alors G est fortement (1,1)-chromatique par multi- sommes [Remarque 30] ;

2. si G n’est pas localement irrégulier et si un côté de la bipartition est de taille paire, alors G est fortement (1,2)-chromatique par multi-sommes [13] ;

3. si G n’est pas localement irrégulier et si G possède un sommet de degré 1, alors G est fortement (1,2)-chromatique par multi-sommes [13] ;

4. si G n’est pas localement irrégulier et si δ(G) ≥ 3, alors G est faiblement (2,1)- chromatique par multi-sommes [10] ;

5. si G est régulier et δ(G) ≥3, alors G est (2,1)-chromatique de façon standard par multi-sommes [4]

6. G est fortement (2,2)-coloriable par multi-sommes.

Démonstration.

6. Soit G un graphe connexe biparti non complet. Si G possède un sommet de degré 1 ou si un côté de la bipartition de G est de taille paire, alors d’après [13], Gest fortement (1,2)-coloriable par multi-sommes. Sinon soitG⁰ =G− {v}pour n’importe quel sommet v. Un côté de la bipartition de G⁰ est de taille paire, on peut donc colorier G⁰ avec la couleur 1 et les poids 1 et 2. On ajoute ensuite le sommet v à G⁰ : on colorie toutes les arêtes incidentes à v avec la couleur 2 et le poids 1. La couleur 2 n’apparaît donc que pour le sommet v et ses voisins. Comme v n’est pas de degré 1, la composante 2 dev est différente de celles des voisins de v et la composante 1 de v est nulle. De plus comme G est biparti, deux voisins de v ne peuvent pas être adjacents donc la composante 2 sera nulle ou différente pour deux sommets adjacents. Ainsi en ajoutantv àG⁰, on obtient une (2,2)-coloration forte par multi-sommes pourG.

La caractérisation des graphes fortement (2,2)-chromatiques par multi-sommes reste une question ouverte.

Graphes complets

Un graphe complet K_n est le graphe à n sommets pour lequel tous les sommets sont adjacents. La proposition suivante reprend et complète les résultats obtenus dans [6] et [2] :

Proposition 36. Soit K_n le graphe complet d’ordre n≥4. Alors, 1. K_n est fortement (1,3)-chromatique par multi-sommes [6] ;

2. K_n est (3,1)-chromatique de façon standard par multi-sommes [2] ; 3. pour tout p, Kn n’est pas fortement (p,1)-coloriable par multi-sommes ; 4. K_n est fortement (2,2)-chromatique par multi-sommes.

Démonstration.

2. Dans [2], il est montré que le graphe complet à n sommets est (3,1)-coloriable de façon standard par multi-sommes. On peut prolonger ce résultat en montrant que deux couleurs et un poids ne sont pas suffisants : les possibilités pour les multi- sommes sont (0, n−1),(1, n −2),. . .,(n −1,0), soit en tout n possibilités. Il faut

(25)

3,1 u2

4,2 u1

2,3

u3 1,4 u3

(2,0)

(1,0) (0,1)

(2,0) (0,2)

(0,2)

Figure 2.4 – Une (2,2)-coloration forte pour le grapheK₄

donc que toutes ces possibilités soient utilisées pour que tous les sommets aient des multi-sommes différentes, or il n’est pas possible que deux sommets aient des multi- sommes égales à (0, n−1) et (n−1,0) car cela impliquerait que ces deux sommets ne possèdent respectivement que des arêtes de couleur 1 et que des arêtes de couleur 2, ce qui est impossible car il existe une arête reliant ces deux sommets. Donc K_n est (3,1)-chromatique de façon standard par multi-sommes.

3. Pour chaque sous-graphe induit par une couleur, disons i, il existe deux sommets de même degré. Comme le poids utilisé est égal à 1 pour toutes les arêtes, ces deux sommets auront leur composante i de la même valeur.

4. K₄peut être décomposé en deux chaînes de taille 2. En coloriant chaque chaîne d’une couleur différente et en utilisant les poids 1 et 2, on obtient une (2,2)-coloration forte par multi-sommes (voir Figure 2.4). On peut ainsi ajouter successivement de nouveaux sommets et les relier à tous les sommets existants, en alternant la couleur donnée aux nouvelles arêtes et en leur donnant le poids 2. Un nouveau sommet v ajouté à l’étape n −4 est monochromatique (c’est-à-dire que toutes les arêtes incidentes à ce sommet possèdent la même couleur), et la valeur de la composante de cette couleur est égale à 2(n−1). Cette valeur est plus grande que celle des autres sommets, en particulier différente de celle du sommet v⁰ ajouté à l’étape n−2 qui est égale à 2(n−2) (2(n−3) auquel on ajoute 2, la valeur de la nouvelle arête). De plus comme ce sommet est le seul sommet monochromatique, la valeur de l’autre composante est également unique. L’ajout d’une arête possédant la même couleur et le même poids pour chaque sommet ne change pas les différences de coloration qu’il y a entre les sommets différents de v. Ainsi à l’étape n −4, on obtient une forte coloration pour le graphe complet àn sommets. CommeKnn’est ni fortement (1,2)-coloriable par multi-sommes, ni fortement (2,1)-coloriable par multi-sommes, K_n est fortement (2,2)-chromatique par multi-sommes.

Il a également été montré dans [2] qu’un graphe complet avec une ou deux arêtes en moins est (2,1)-chromatique de façon standard par multi-sommes.

Graphes scindés

Un graphe scindé (split graph en anglais) est un graphe pour lequel il existe une partition de ses sommets en un ensemble induisant un sous-graphe complet K_n et un stable I. Pour les graphes scindés nous avons le résultat suivant :