© Dunod, 2019 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com ISBN 978-2-10-079421-8

© Dunod, 2019

11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com

ISBN 978-2-10-079421-8

4 édition

Salah Belazreg

Professeur agrégé et docteur en physique, il enseigne au lycée Camille Guérin à Poitiers. Il a enseigné la biophysique et les biostatistiques en classes préparatoires aux concours de Médecine. Il est aussi interrogateur en classes préparatoires scientifiques.

Avant-propos

Le présent ouvrage « tout-en-un » est la 4^eédition du manuel de mathématiques, probabilités et biostatistiques de la collection 100% 1^reannée santé, paru en août 2010. Il couvre la totalité du programme de la rentrée 2010, mise en place lors de la réforme de la PACES (PAES)/L1 Santé. Il est complètement revu et corrigé.

Il s’adresse principalement aux étudiants en 1^re année Santé (PACES) pour la préparation des concours Médecine-Pharmacie-Dentaire-Sage femme mais il intéressera également les étudiants en classes préparatoires Bio-Véto et Agro (BCPST1) ainsi que les étudiants en L1 Sciences.

Son but est de présenter de façon claire et progressive l’ensemble des notions à connaître de « Évaluation des méthodes d’analyse appliquées aux sciences de la vie et de la santé ».

Son usage suppose que l’étudiant ait une connaissance complète du programme actuel des classes de premières et terminales scientifiques.

Il présente de nombreux sujets d’adaptation progressive aux programmes et aux exigences de ces concours et examens difficiles.

En effet, chaque chapitre mentionne les objectifs à atteindre et il propose un cours présenté de façon détaillée, des exemples concrets, des applications, des exercices et des QCM de difficultés variées.

Chaque chapitre comprend

Le courscomposé de définitions, propriétés et théorèmes dont la connaissance est indispensable. Il met l’accent sur les notions fondamentales à connaître.

Il ne doit pas se substituer au cours de votre professeur mais plutôt en faire ressortir l’essentiel. De nombreux exemples et applications, au fil du cours, visent à l’assimilation des notions essentielles et à l’acquisition des techniques de base.

Des Exercices types classés par niveau de difficulté ainsi que leurs corrigés détaillés. Ils permettent à l’étudiant une démarche graduée : chercher seul, s’inspirer des exemples et applications du cours, et, en final, tirer le maximum de profit de chaque exercice. Leur choix et leur nombre plus réduit vise la méthode plutôt que la quantité.

Des QCM, en fin de chaque chapitre, sont de véritables exercices de réflexion.

La plupart sont issus des sujets de concours. Ainsi, avant de proposer des so- lutions rapides et sans démarches rigoureuses, il importe de bien connaître la totalité du cours, et pas seulement les formules. Une résolution appro- fondie vous permettra de vous entraîner à ce type d’épreuve afin de gagner compétence et rapidité.

VI

Mon expérience d’enseignement, articulée entre le secondaire et le supérieur, m’a montré que la difficulté qu’éprouvent certains étudiants à assimiler les ma- thématiques tenait au caractère abstrait de leur support. Ainsi, j’ai tenté de faire un juste choix entre une vulgarisation et un excès d’abstraction qui risque de rebuter. Par ailleurs, il m’a paru intéressant de donner au lecteur un aperçu des applications pratiques des notions présentées. C’est pourquoi, chaque fois que cela a été possible, j’ai illustré mes propos par des applications médicales, physiques ou chimiques.

Remerciements

Je remercie très sincèrement Monsieur Jean-Jacques Landelle, Professeur de ma- thématiques, pour sa lecture attentive de la totalité de l’ouvrage et les corrections apportées.

Mes remerciements vont également aux éditions Dunod pour le soin et la pré- sentation apportés à la réalisation de cet ouvrage et plus particulièrement à l’équipe éditoriale, Madame Emmanuelle Chatelet, Monsieur Éric d’Engenières et Monsieur Matthieu Daniel.

En conclusion

J’espère que cet ouvrage, fruit d’une longue expérience, rédigé avec beaucoup d’attention, constituera pour les étudiants un outil précieux pour la préparation de ces examens et concours difficiles et je leur souhaite bon courage.

Que les lecteurs, collègues enseignants et étudiants, qui voudront bien me formu- ler leurs remarques constructives et critiques ou me présenter leurs suggestions susceptibles d’améliorer cet ouvrage en soient par avance remerciés.

Salah Belazreg Poitiers, février 2019

©Dunod–Toutereproductionnonautoriséeestundélit.

VII

Table des matières

Avant-propos VI

Chapitre 1

Polynômes. Fractions rationnelles. Équations 1

1. Opérations sur les nombres 1

2. Polynômes 4

3. Équations 7

Exercices et QCM corrigés 11

Chapitre 2

Trigonométrie 24

1. Fonctions trigonométriques 24

2. Formulaire 26

Exercices et QCM corrigés 31

Chapitre 3

Généralités sur les fonctions 39

1. Fonctions 39

2. Dérivée. Différentielle 48

3. Fonctions de plusieurs variables indépendantes 60 4. Dérivées partielles. Différentielle totale 60

Exercices et QCM corrigés 62

VIII

Chapitre 4

Primitives. Intégrales 76

1. Primitive d’une fonction réelle 76

2. Intégrale définie 78

3. Quelques applications du calcul intégral 80

4. Méthodes de calcul des intégrales 82

Exercices et QCM corrigés 84

Chapitre 5

Développement de fonctions en séries entières 99

1. Convergence et divergence d’une série 99

2. Séries entières 103

3. Développement en série entière des fonctions usuelles 108

Exercices corrigés 109

Chapitre 6

Équations différentielles 114

1. Généralités 114

2. Équations différentielles du premier ordre 115 3. Équations différentielles du second ordre 118 4. Quelques courbes importantes en biologie 122

5. Applications 125

Exercices et QCM corrigés 133

Chapitre 7

Notions de grandeurs intensives et extensives 150

1. Variables (ou fonctions) extensives et intensives 150

2. Différentielle d’une fonction 150

3. Détermination d’une fonction à partir de sa différentielle 155

©Dunod–Toutereproductionnonautoriséeestundélit.

IX

9782100794218_Book — 12/03/2019 15:36 — page X

Avant-propos

Chapitre 8

Analyse Combinatoire. Binôme de Newton 157

1. Ensembles finis 157

2. Arrangements, permutations et combinaisons 158

QCM corrigés 162

Chapitre 9

Probabilités 168

1. Probabilités 168

2. Variables aléatoires, loi de probabilité et fonction de répartition 176 3. Lois de probabilités de variables aléatoires continues 180 4. Loi binomialeB(n,p). Épreuves répétées 181

5. Loi des fréquences 184

6. Loi de PoissonP(np) ouP(m) 184

7. Loi de Laplace-Gauss ou loi normaleN(m,σ) 185

8. Loi normale centrée réduiteN(0,1) 187

9. Quelques applications des probabilités à la santé 188

Exercices et QCM corrigés 195

Chapitre 10

Statistiques descriptives 228

1. Étude d’un caractère ou d’une variable 228

2. Les différentes représentations graphiques 230

3. Les paramètres d’une série statistique 233

4. Étude de 2 caractères 243

QCM corrigés 245

X

Chapitre 11

Problèmes d’estimation et tests d’hypothèses 252

1. Problèmes d’estimation 252

2. Tests statistiques 258

Exercices et QCM corrigés 263

Chapitre 12

Problèmes d’ajustement 276

1. Ajustement linéaire. Méthode des moindres carrés 276

2. Ajustement exponentiel 278

Exercices corrigés 281

Chapitre 13

Mesures et leurs précisions 288

1. Grandeurs physiques. Équations aux dimensions 288

2. Système international d’unités 289

3. Équations aux dimensions 289

4. Analyse dimensionnelle 290

5. Mesures des grandeurs 291

6. Dispersion d’une série de mesures 294

Exercices et QCM corrigés 299

Annexes 303

Index 307

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XI

Polynômes. Fractions

rationnelles. Équations 1

P ^lan

1. Opérations sur les nombres 2. Polynômes

3. Équations Synthèse Exercices

Questions à choix multiples Corrigés

O ^bjectifs

• Savoir résoudre des équations du premier et du second degrés

• Savoir résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues

• Savoir décomposer une fraction rationnelle en éléments simples

1. Opérations sur les nombres

1.1. Valeur absolue des nombres réels

Soitxun réel quelconque. La valeur absolue dex, notée|x|est :

|x| =

x six0

−x six<0 Exemple

|x−2| =

x−2 six2 2−x six<2

1.2. Puissances d’un réel

On pose :

pournnaturel non nul

0ⁿ =0

1ⁿ =1 et pour tout réelanon nul

a⁰=1 a¹=a

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1

1

Pour tout réelaet pour tout entier naturelnnon nul, lapuissance n-ièmede a, notéeaⁿ, est définie par :

aⁿ⁺¹ =a×aⁿ

a: base de la puissance n: exposant de la puissance

Remarques

L’écritureaⁿse lit «apuissancen» ou «aexposantn».

Pouranon nul, l’inverse dea, 1

a, peut se notera⁻¹et 1

aⁿ se notea⁻ⁿ. Propriétés

aetbétant des réels quelconques etmetndes entiers naturels, on a : a^m×aⁿ =a^m+n

a^m

aⁿ =a^m−naveca=0 (a^m)ⁿ =a^mn a

b _n

= aⁿ

bⁿ avecb=0 Formule dubinôme de Newton:

Quels que soient les réelsaetbet quel que soit l’entier natureln: (a+b)ⁿ=C⁰_naⁿ+C¹_naⁿ⁻¹b+ · · · +C_nⁱaⁿ⁻ⁱbⁱ+ · · · +Cⁿ_nbⁿ=

n i=1

C_nⁱaⁿ⁻ⁱbⁱ

1.3. Puissances fractionnaires à exposant rationnel

Quels que soientxetyréels positifs et quel que soitnentier naturel non nul, le nombrex¹ⁿ est défini par l’équivalence suivante :

y=x¹ⁿ ⇐⇒x=yⁿ De la relation précédente, il vient :

x¹ⁿ_n

= xⁿ¹_n

=x

Sixest un réel quelconque et sinest un entier naturel non nul et pair alors : xⁿ¹_n

= |x|

D’où, en remarquant que :

∀x0,√

x=x¹², alors x² = |x|. 2

Exemple

√x³

√x = x³

x =√

x² = |x|

Quels que soientxréel positif,yréel strictement positif, etnentier naturel non nul :

x¹ⁿ y¹ⁿ =

x y

¹_n

1.4. Racines n-ième d’un réel

Les résultats qui suivent sont illustrés graphiquement par l’existence des points d’intersection de la droitey=aet de la courbe d’équationy=xⁿ.

a est un réel positif

La racine n-ième du réel a est l’unique solution réelle positive de l’équation xⁿ=ad’inconnuex.

Elle est notée :x=√ⁿ a

Sinest pair alors l’équation admet deux solutions opposées : x1 =√ⁿ

aetx2 = −√ⁿ a

Sinest impair alors l’équation admet une seule solution positivex=√ⁿ a.

Figure 1.1

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3

1

a est un réel strictement négatif Sinest pair, alors l’équationx=√ⁿ

an’admet pas de solution.

Sinest impair, alors l’équation admet une seule solutionx=√ⁿ

a, laquelle est négative.

Figure 1.2

2. Polynômes

2.1. Définitions

Unpolynôme de degrén, a pour expression :

P(x)=a0+a1x+a2x²+ · · · +a_nxⁿ = n k=1

a_kx^k

x est la variable et les réels a0, a1,· · ·, a_k,· · · ,a_n sont des constantes appeléescoefficients du polynôme.

nest un entier naturel et représente ledegré du polynôme.

P(x) est dit identiquement nul si tous ses coefficients sont nuls. On noteP(x)=0.

Exemple

a0+a1x+a2x² =0 entraînea0 =0,a1 =0 eta2 =0.

Si le polynôme P(x) n’est pas identiquement nul (P(x) = 0), le degré du polynômeP(x) est le plus grand entierktel queak=0. On le note deg(P).

4

Exemples

A(x)=1−2x+3x³est un polynôme ordonné de degré 3.

On note deg(A)=3.

B(x)= 2

3+2x+4x²+8x³−5x⁴est un polynôme de degré 4 et deg(B)=4.

2.2. Division euclidienne ou division selon les puissances décroissantes

SoientP(x) etA(x) =0 deux polynômes. Alors il existe un couple unique de polynômes (Q(x),R(x)) tels que :

P(x)=A(x)·Q(x)+R(x) avec deg(R)<deg(A) ouR=0

Q(x) et R(x) sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne deP(x) parA(x).

Exemple

SiP(x)=2x³−5x+4 etA(x)=x²+x−1, alors :

Q(x)=2x−2 etR(x)= −x+2 Divisibilité par un monômex−a

On dit que le polynômeP(x) est divisible parx−asi : P(x)=(x−a)·Q(x) ;Q(x) est le quotient.

CommeP(x) est divisible parx−aalorsP(a) = 0 : le réelaest donc racine de l’équationP(x)=0.

Pour démontrer qu’un polynôme de degrénest identiquement nul, on prouve qu’il a au moinsn+1 racines.

2.3. Décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples

Une fraction rationnelle est un quotient de polynômes. On cherchera à écrire cette fraction sous la forme d’une somme de fonctions dont on connait une primitive. Plusieurs techniques sont possibles.

©Dunod–Toutereproductionnonautoriséeestundélit.

5

1

Exemple

Soit la fraction rationnelle :

F(x)= 1 x²−6x+5 Cherchons une écriture de la forme :

1

x²−6x+5 = a

x−1 + b x−5 Une factorisation dex²−6x+5 donne :

x²−6x+5=(x−1)(x−5) En réduisant au même dénominateur les fractions a

x−1 et b

x−5, il vient : 1

(x−1)(x−5) = a(x−5)

(x−1)(x−5)+ b(x−1) (x−1)(x−5)

= (a+b)x+(−5a−b) (x−3)(x+5) Par identification, on obtient le système d’équations :

a+b=0

−5a−etb=1 La résolution du système précédent donne :

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

a= −1 et 4 b= 1

4 Ainsi :

F(x)= 1

(x−1)(x−5) = −1 4

1 x−1 +1

4 1 x−5 Les fractions −1

4 1

x−1 et+1 4

1

x−5 sont appelées les éléments simples de la fraction rationnelle 1

x²−6x+5. Autre méthode.

On a :

1

x²−6x+5 = 1 (x−1)(x−5) Les réels 1 et 5 sont dits pôles simples de la fraction.

6

On cherche une écriture de la forme : 1

(x−1)(x−5) = a

x−1+ b x−5

Sans calcul effectif des multiplications, on multiplie les deux membres de l’égalité par (x−1) ; puis on substitue àxla valeur 1 :

(x−1)

(x−1)(x−5) = a(x−1)

x−1 +b(x−1) x−5 1

(x−5) = a+b(x−1) x−5 En prenantx=1, on obtienta= −1

4.

En faisant de même avec le pôle 5, c’est-à-dire en multipliant par (x−5) puis en prenantx=5, on obtientb= 1

4.

3. Équations

3.1. Équations du premier degré à une inconnue

Les équations du premier degré à une inconnue sont les équations de la forme ax+b=c.

Sia=0, l’équation admet une solution unique,x= c−b a . Sia=0 etb=c, l’équation n’a pas de solution.

Sia=0 etb=c, l’équation admet une infinité de solutions.

3.2. Système de deux équations linéaires à deux inconnues

C’est un système de deux équations à deux inconnuesxety, de la forme : ax+by=c

ax+by=c On appelledéterminant du système, le nombreD:

D= a b

a b

=ab−ab

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7

1

SiD=0, le système admet le couple (x,y) comme solution unique :

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎩

x= Dx

D =

c b

c b

a b

a b

= cb−cb ab−ab

et y= Dy

D =

a c

a c

a b

a b

= ac−ac ab−ab

SiD=0 etac−ac=0, alors le système n’admet pas de solutions.

SiD=0 etac−ac=0, alors le système admet une infinité de solutions.

Exemples

Soit, à résoudre, le système d’équations à deux inconnuesxety: 5x−y=7

−3x−4y=5 Le déterminant du système est :

D=

5 −1

−3 −4

=5×(−4)−(−1)×(−3)= −20−3= −23 D=0, le système admet une solution unique :

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩

x= D_x D =

7 −1 5 −4

5 −1

−3 −4

= 7×(−4)−5×(−1)

−23 = −23

−23 =1 et

y= Dy

D =

5 7

−3 5

5 −1

−3 −4

= 5×5−7×(−3)

−23 = 46

−23 = −2 Autre méthode de résolution :

On dit que deux systèmes d’équations sont équivalents s’ils admettent le même ensemble-solution.

On transforme donc le système donné en un système équivalent plus simple à résoudre, un système échelonné. Pour ce faire, on utilise des combinaisons linéaires adéquates.

8

(S)

5x−y=7 (L1)

−3x−4y=5 (L2) est équivalent à (S’)

20x−4y=28 (L’1)=4(L1)

−3x−4y=5 (L2) (S”)

20x−4y=28 (L’1)

23x=23 (L’2)=(L’1)−(L2) L’ensemble solution est doncS= {(1 ;−2)}.

3.3. Équations du second degré à une inconnue

Une équation du second degré à une inconnue x est une équation qui peut s’écrire sous la forme :

ax²+bx+c=0 , a, betcsont trois réels donnés,a=0.

Résoudre l’équationax²+bx+c = 0 revient à trouver tous les réelsutels queau²+bu+c=0 ; le réeluest dit solution ou racine de l’équation.

Résolution de l’équation du second degré PosonsP(x) =ax²+bx+c,a=0.

Écriture deP(x) sous forme canonique Puisquea=0, alors :

P(x)=a

x²+b ax+c

a

Commex²+b ax=

x+ b

2a ₂

− b²

4a², alors : P(x)=a

x+ b

2a 2

− b² 4a² + c

a

=a

x+ b 2a

2

− b²−4ac 4a²

Résolution de l’équationP(x)=0

On appelle discriminant de l’équation du second degré, ou du trinôme P(x)=ax²+bx+c, la quantité :

=b²−4ac Ainsi :

P(x)=a

x+ b 2a

2

− 4a²

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9

1

− Si <0, alors−

4a² >0 et

x+ b 2a

₂

−

4a² est strictement positif : l’équationP(x)=0 n’a pas de solution dansR.

− Si=0, alorsP(x)=a

x+ b 2a

2

.

Puisquea=0, l’équationP(x) =0 admet une racine double : x1,2= − b

2a

− Si >0, alors=(√

)²et par suite :

P(x) = a

x+ b 2a

₂

−(√ )² 4a²

=a

⎛

⎝ x+ b

2a ₂

− √

2a

₂⎞

⎠

= a

x+ b 2a+

√

2a x+ b 2a−

√ 2a

=a

x−−b−√

2a x−−b+√ 2a

En posantx1 = −b−√

2a etx2 = −b+√

2a , il vient : P(x)=a(x−x1) (x−x2)

Puisquea=0, l’équationP(x)=0 admet donc deux racines distinctes : x1 = −b−√

2a etx2= −b+√ 2a Somme et produit des racines

SoitP(x)=ax²+bx+c,a=0.

Si=b²−4ac>0, alorsP(x) admet deux racines distinctes : x1 = −b−√

2a etx2 = −b+√ 2a D’où :

S=x1+x2= −b

a etP=x1·x2 = c a Ainsi,

P(x)=ax²+bx+c=a

x²+b ax+c

a

=a

x²−Sx+P

Remarque

Si on connait la sommeS et le produitPde deux réels, ils sont donc solutions de l’équation du second degré :

X²−SX+P=0 10

S ^ynthèse

Je sais définir

• Un polynôme de degrén

• Le déterminant d’un système de deux équations à deux inconnues

Je connais

• Les opérations sur les nombres

• La forme canonique d’un trinôme du second degré

Je sais

• Déterminer les racinesn-ième d’un réel

• Résoudre des équations du premier et du second degrés

• Résoudre un système de deux équations à deux inconnues

• Déterminer deux réels connaissant leur somme et leur produit

• Décomposer une fraction rationnelle en éléments simples

E ^xercices

1 Résoudre le système d’équations :

x+y= −3 xy= −10

2 Résoudre l’équation enx: 2x⁴+9x²−5=0 3 Résoudre le système d’équations

x²−y²= −2 xy= −√

3

Q uestions à choix multiples

4 La division de−7x²−x+1 parx−2 donne :

❒a. Q(x)= −7x−1 etR(x)= −1

❒b. Q(x)= −7x−1 etR(x)= −1

❒c. Q(x)= −7x−15 etR(x)=0

❒d. Q(x)= −7x−15 etR(x)= −29

❒e. Q(x)= −7x+2 etR(x)= −15

5 La division de 3x²+2x−10 parx−2 donne :

❒a. Q(x)=3x+2 etR(x)=5

❒b. Q(x)=3x−1 etR(x)=5

❒c. Q(x)=3x+8 etR(x)=6

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11

1

❒d. Q(x)=3x+8 etR(x)=0

❒e. Q(x)=3x+5 etR(x)=0

6 On considère l’équation 2x²−8x+6+√ 3=0.

Le discriminantde l’équation est :

❒a. 16−8√ 3

❒b. (2√ 3−2)²

L’équation 2x²−8x+6+√

3=0 a pour solutions :

❒c. x1= 5−√ 3

2 ,x2= 5+√ 3 2

❒d. x1= 3−√ 3

2 ,x2= 3+√ 3 2

❒e. x1= 5−√ 3

2 ,x2= 3+√ 3 2 7 On considère l’équation enx,

x⁴−5x²+2=0.

L’équation :

❒a. admet 4 racines réelles distinctes.

❒b. admet seulement 2 racines réelles.

L’équation admet pour solutions :

❒c. −

5−√ 17

2 ,

5+√

17 2

❒d. −

5−√ 17

2 ,+

5−√

17

2 ,−

5+√

17

2 ,+

5+√

17 2

❒e. −

√2

2 5−√ 17,+

√2

2 5−√ 17,−

√2

2 5+√ 17,+

√2

2 5+√ 17 8 On donne l’équation :

1

x+2x= −3

❒a. L’équation n’admet pas de solution.

❒b. L’équation admet une solution unique carx=0.

❒c. L’unique solution de l’équation est−1.

❒d. L’unique solution de l’équation est−1 2.

❒e. L’équation admet deux solutions :−1 et−1 2.

12

9 Soit la fonction polynôme P(x) définie par : P(x) = 2x⁴ − 6x³ − 2x²+ 18x−12

Une factorisation de P(x) s’écrit :

❒a. P(x)=(2x−1)(x−4)(x²−3)

❒b. P(x)=2(x−1)(x−2)(x²−3)

❒c. P(x)=(2x−2)(x+2)(x²+3)

Les solutions, dansRde l’équationP(x)=0, sont :

❒d. x=1 etx= −2

❒e. x=1,x=2,x= −√

3 etx= +√ 3

10 Les éléments simples de la fraction rationnelleF(x)= x+6

(x−3)(x+5) sont :

❒a. 9

x−3 et 1 x+5

❒b. 9/8 x−3 et 1

x+5

❒c. 9

8x−24 et −1 8x−5

❒d. −9/8

x−3 et−1/8 x−5

❒e. 9/8

x−3 et−1/8 x+5

11 On donne les trinômes suivants :

A(x)=4x²−5x+3 etB(x)=3x²−8x+4

❒a. Le trinômeA(x) admet une racine double

❒b. Le trinômeA(x) n’a pas de racines dansR

❒c. Les racines du trinômeB(x) sont−2 3 et 2

❒d. La division deA(x) parx−2 donneQ(x)=4x−3 etR(x)=9

❒e. Le trinômeB(x) est divisible parx−2

12 La division du polynômex⁴+3x³−x+1 par le trinômex²+3x−1 donne :

❒a. Q(x)= −4x+2 etR(x)=x²+1

❒b. Q(x)=x²+1 etR(x)=0

❒c. Q(x)=x²+1 etR(x)=4x−2

❒d. Q(x)=x²+1 etR(x)= −4x+2

❒e. Q(x)= −x²+1 etR(x)=4x+2

13 On donne le polynômeP(x)=x⁴+x³+2x²+ax+boùaetbsont deux réels.

Le polynômeP(x) est divible par le trinômex²+2x+3 si :

❒a. a=1 etb= +3

❒b. a=0 etb= +2

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