82. Le Bruit Blanc
etCalcul Stochastique
Par
ShigeyoshiOGAWA
(Comm. by K.saku YOSD.., M.
. ,.,
June 3, 1975)1.
Dans
laprsente note,
on s’intresse / construire une baseconcrete
pour le calcul stochastiqueconcernant
le bruit blanc.La
ncessit de l’,tude tire son origine d’une question primitive;
Etant
donn un processus alatoire de la formef(Bt), o Bt
leprocessus demouvement
brownien / valeurs dans Ret f(x)(x
eR) une fonction relle de la classeC
2, on considre sa drive en t.En
appliquant la formule classique de diff.rentiation, on souhaite d’obtenir l’expression comme suit;(1)
f(Bt)-- f’(Bt). B f’(x)---- f(x)
oh/ est
la drivedeBt, notamment
le bruitblanc.On
se demande lalgitimitdecette
operation, qui dpend .videm-ment
du sens quel’onfournit auterme f’(Bt). B. Oa veut
uneforma- lisme decalculstochastiqued’aprslaquelle l’expression(1) soitvalide.Comme
onlevoitplus tard, ce but se ralise/ l’aidedela thorie deB-driv,es
et
l’intgrale stochastique detype /2
introduiteet
.tudiepar l’auteur ([1]-[3]).
2. Soit
{Bt,
t>0}
leprocessus demouvement
brownien dfini sur unespace probabilis (9,,
P).Sans
perdrela gnralit, on va sup-poser quelavaleur
]Bt()l
soit finie pourtous
tet
e 9. Soient_q)l’en- semble des fonctions indfiniment drivables,support compact et
S celui des fonctionsindfiniment drivables,/dcroissance rapide ainsi queroutes
leursdrives.En
particulier,.tant
fix un intervalle com-pact T
dansR+,
onentendparS(TR) lesous-espacedeS(R+1) form par des fonctions de (n+D-variables
F(t, x)(teT, x eR
n) qui pour chaquet fixappartient/laclasse S(R) et
la classe .@(T)pourchaque x fix.On
dsignepar _q)’(T R 9) (ou parS’(T R 9) resp.) l’en- semble desprocessus alatoiresgnralisssur _q)(T R) (ou, S(T R) resp.) un,lmentX
de _q)’(T R 9)est,
parexemple, une application linaire, continuede.@(T R) dans _2(39).Remarqueo
L’ensemble (T R) introduit dans l’articlepre-
cedent [3]
n’est autre
que’(TR;
9).En
ce qui concerne la construction d’unprocessus alatoiregnr-
alis, on a l’,nonc suivant qui
est
unevariationtrivialedu "Thorme desNoyaux"
dfi/L.
Schwartz.Theoreme. Soit B(u,v) une application bilindaire, spardment continue de
(R)(R)(T)
(ou,S(R)(R)O(T)
resp.) dans_C2([2).
I1existe alors un dlmentX
de)’(TR;
9) (ou, S’(TR; ) resp.) tel que;B(u,
v)--(X, u.v} P-p.s.
pour chaque u, vfixds.
Pour
un lmentX
de ’(TR; 9), laorme (X,u.v}
4rantlinaire, continue en v pour chaque u e(R) fix, il existe doric un 41ment X.(u) de _q)’(T; 9) tel que;
(X,
u.v} (X.(u), v} P-p.s.
pourchaqueu, v fixes.
On
l’appelle lacoupe temporelledeX.
Celle-citant
dfiniesaulsurunensemblen4gligeablede
t,
onpeut
peineparler de savaleur enupointdet.Pourtant,
il y adescasoff l’onpeut
l’identi- tier avec un processus habituel en modifiant lesvaleurs deX.(u)
sur unensemblengligeable de t.Dans
la suite, on comprend parlacoupe temporelle uae de sesversions convenables, s’il y de ncessit. I1 im-porte
de remarquer quecette
modification ne change pas lecaractre
deX
entant
qu’lment de’(T R;
Definition 1.
Un
lmentX
de _q)’(TR;
D)est
dit B-diffrenti- ablepourvu que sa coupetemporelle X.(u) soit uniformentB/(M)-dif frentiablepour chaque ue_q)(R) fix.Proposition1. Soient
X
unglgmentB-diff
grentiablede)’(T
R 9) (ou bien,S’(T R tO)resp.) et X.(u) laB-dgrivgedeX.(u)(u
e(Rn),
ou, ueS(Rn) resp.). Alors, pour chaque t fixd, l’applicationt(u)
de (R) (ou, S(R) resp.) dans./:2(9)
est lingaire et continue.Ceci
pos,
la forme(X.(u),v)= Xt(u)v(t)dt tant
bilinaire,sparment
continue enu,v, elledfinitdoncunlment de’(T Rn /2) (ou, S’(TR; 9) siX
enest
de mme) d’aprs leThorme;
l’lment
est
tel que(f:,
u.v-- (X.u), v
pourtous
u, v.On
l’ap-pelle la B-drive de
X. Les
deuxpropositionssuivantesmontrent
que l’opration/est
bien dfinie commedifferentiationProposition2. ( ) L’opgration/estlingaire pourdeuxglgments
B-diff
b sont desgrentiablesconstantes. X et Y,
on a larelation;(aX +
bY)=aX +
b" ot
a et(ii) Soit
X
B-diffgrentiable.Pour
sa coupe temporelleXt(u),
il existe alors une versionXt(u),
presquestrement
continue en t pour chaque u fixget
telle queP{Xt(u)--Xt(u)}--1
pour chaque t.Proposition
:. Pour
toutgldmentB-diff
drentiableX
de’(T RtO), l’ordre des opgrations /" et
D(=(3/3xl)
’...(3/3x) ,
p sont des hombres naturels tels quep+ +
p=p) est changeable;(2)
((DX), } (D,
pourtout e .q)(T XR).Exemple. Soit
Y(x)(x
eR
) laonction d’Heaviside.On
considre un processusalatoire gnralisY(t,
x)=Y(x--Bt)
dfiniparAlors, il
est
B-diffrentiableet
on a la relation;1>----s o s est
unlment de_q)’(TX
R; 9)
tel que;(4
) (,
u.v =.
u(B)v(s)ds.De
plus, ilest
facile devoir queY est
indfiniment B-diffrentiable.On
verraplus tard lasignification probabiliste du processus alatoire g6n6galis6D6signons.
par(TXR
) l’ensemble detout
processus al6atoire g6n6ralis6X
tel qu’il soitm-ois B-diff6rentiableet
quela coupetem-
porelle2(u)
soit Riemann-int6grablesur l’intervalleT
ausensde()
pour chaque uDnition 2.
Pour
un616mentX
de(TXR), leproduitX. (B)
(#
m)est
unprocessus al6atoireg6n6ralis6sur(T R
) (ou bien, sur (TX R)
quandX
enest
dem6me) d6fini par(5) <x (),
uXt(u)-v(t)dB, (0
=X)2-
off l’in}6grale sochastique
es
comprise au sens deJ/
(volt [1], [2]).La
d6finitionest
introduite par l’auter([3])
en vue d’appliquerla th6orie l’6tude de l’.6quation de Schrbdinger. D’apr6s la propri6t6 del’in6gralestochasique, l’expression(5) est
6quivalente la( 5 )’
<X
u.Xt(u)(-’v(t)dBt
2-
off l’int6grale stochastique
.
dB entend celle deItS.
Proposition 4. Si deux dldments
X, Y
de ’(TXR)
sont dqui- valentsausensde’(T R) c’
est-4-dire que pourtout e(T R),E{]<X--Y, ]}=0. . On
va voir dansAlors, les deuxla suitecommenX.B
etnotre Y.B
calculensont des’appliquemme.
descas
concrets. Tout
d’abord, onconstate
que la discussion d6roul6e au paragraphe 2 s’applique aussi pour lecas des processus al6atoiresappartenant
la classe ’(T; 9), ouS’(T;
9);En
effet,mettons
un .61mentX
de’(T;9),
alors onpeut
l’identifier avec l’616ment(=la,(x)).X
de’(TxR;),
qui ne d6pend pas des variablesx, ..., x. Dans
ce cas, l’ensemble2’(T) =’(T R
)’(T;
9)n’est autre
quecelui des processus al6atoires,uniformementB
+(M)-diff6ren- tiables sur l’intervalle T.De cette
consid6ration, on voit que l’ex- pression (1)est
valide comme 6quation d’616ments de’(T;
9), si le processusal6atoiref(B) est
unfformement B+(M)-diff6rentiable.L’expression
(1)
se g6n6ralise au cas offf(x) est
une distribution;Soit
T(x)
un.616ment deS’(R). On
luiassocieune applicationbilin6aireT(t,
x) de(T)@S(R
) dans(9)
d6finie par(6
) (T, u.v)--<T, u_.v)
(u eS(R), v e.(r)),
offu_(x) =u(x
+ B).
Toute
distributiontant
d’ordre finie, ilest
faciledevoir que laorme
(6) dfinit une application de
)(T)(R)S(R
) darts g:(t9) quiest spar-
merit continue en
u,
v.Autrement
dit, elle d.finit un.lmentT
deS’(TR;9)
d’aprs le Thorme.On
l’appelle laB-shift
deT. Car
la B-shift
T
satisfait toujours la relation:=--D(T),
l’.nonc suivant rsulteaussitSt de la proposition 3.Proposition
. La B-shift T
appartient la classe(TRg.Considrons maintenant un.lment T(t,
x)
deS’(TR9 tel que sa coupe temporelleTt(u)
s’identifie avec une fonction, diffrentiableau sens usuel.Encore
par la formule (6), onpeut
lui associer unlmentT
de S’(TR; 9).L’.nonc
suivantest
une interpretation de la ormule de It5 enterme
deprocessus alatoires gnraliss.Proposition
.
SoitT(t,
x) laB-shift
d’une distributionT
sur S(TRg, dont la coupe temporelleestdiff
grentiable en t ausens usuel.Alors, on a la relation
(
7); DtT--(DT)--(DT).--(DtT)+2T.() ,
ot (DtT)
est laB-shift
de ladistributionDtT.
4. Applications.
(A) Le temps
localbrowniendeP. Lvy.
SoitL(t)
letemps
local brownien au pointx(eR9
jusqu’aumoment t(>0) L(t)
=lim 1mesure
{s< t, x<B,
x+ e}.
I1’est
pas difficile de .o 2vrifier que sa drive
DtLx(t) peut
s’identifier avec la B-shift de la distribution(1/2)
(voir Exemple dans le paragraphe 2);(8)
(-B,
u.v)= --(L.(.
),u.’D},
pour
tous
u e _q)(R)et
ve _q)(T).La
relation (8)peut
s’.crire comme suit(8)’
B, u.v)=--<L.(i), u},
oh
L.(v) est
un.l.ment de_q)’(R 9) telque;(L.(.),
u.v} (L.(v), u}.
D’autre part, L(t).tant
unefonction presque sfirement continue entet x,
onpeut
parler de lavaleur deL()
un point x indiqu.Ce
ait, avecl’galit(8)’, lgitime d’identifier(1/2)/
avecDtL(t)
entant
qu’lmentsde’(T;/2); c’est--dire que(9)
((.
x),v)=--
L(t)i)(t)dt.(B) La
ormule deH.
Tanaka; Appliquonsla formule(7)
laB-
shiftde ladistribution
xY(x).
Puisqu’on aD(xY(x))= Y(x),
cela im- pliquel’galit( 7)’ DtB.+(x)--(1--Y).,
offB(x)--Bt+(xY(x)).
Du
faitque la B-drive de-Y
s’identifieavec2DL(t),
onconstate
que l’galit (7)’est
une interpretation de la formule deH.
Tanaka(volt [4]).
[21 [3]
C41
Rfrences
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