Raisonnement & Incoh´erence

Raisonnement & Incoh ´erence

S ´ebastien Konieczny

Habilitation `a diriger des recherches

Raisonnement & Incoh ´erence

• Comment raisonner en pr ´esence d’un ensemble de formules incoh ´erent ?

R ´esolution de conflits logiques Logique propositionnelle

Incoh ´erence

• ensemble de formules

R ´evision

• nouvelle information

Fusion

• ensemble de bases

N ´egociation

• ensemble d’agents

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

Raisonnement & Incoh ´erence

• Comment raisonner en pr ´esence d’un ensemble de formules incoh ´erent ? R ´esolution de conflits logiques

Logique propositionnelle

Incoh ´erence

• ensemble de formules

R ´evision

• nouvelle information

Fusion

• ensemble de bases

N ´egociation

• ensemble d’agents

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

Raisonnement & Incoh ´erence

• Comment raisonner en pr ´esence d’un ensemble de formules incoh ´erent ? R ´esolution de conflits logiques

Logique propositionnelle

Incoh ´erence

• ensemble de formules

R ´evision

• nouvelle information

Fusion

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N ´egociation

• ensemble d’agents

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Raisonnement & Incoh ´erence

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Logique propositionnelle

Incoh ´erence

• ensemble de formules

R ´evision

• nouvelle information

Fusion

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• ensemble d’agents

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Raisonnement & Incoh ´erence

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Logique propositionnelle

Incoh ´erence

• ensemble de formules

R ´evision

• nouvelle information

Fusion

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Raisonnement & Incoh ´erence

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Logique propositionnelle

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• ensemble de formules

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• nouvelle information

Fusion

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Raisonnement & Incoh ´erence

• Comment raisonner en pr ´esence d’un ensemble de formules incoh ´erent ? R ´esolution de conflits logiques

Logique propositionnelle

Incoh ´erence

• ensemble de formules

R ´evision

• nouvelle information

Fusion

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Raisonnement & Incoh ´erence

• Comment raisonner en pr ´esence d’un ensemble de formules incoh ´erent ? R ´esolution de conflits logiques

Logique propositionnelle

Incoh ´erence

• ensemble de formules

R ´evision

• nouvelle information

Fusion

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Raisonnement & Incoh ´erence

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Logique propositionnelle

Incoh ´erence

• ensemble de formules

R ´evision

• nouvelle information

Fusion

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Raisonnement & Incoh ´erence

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Logique propositionnelle

Incoh ´erence

• ensemble de formules

R ´evision

• nouvelle information

Fusion

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N ´egociation

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Raisonnement & Incoh ´erence

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Logique propositionnelle

Incoh ´erence

• ensemble de formules

R ´evision

• nouvelle information

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• ensemble d’agents

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D ´emarche scientifique

¬Sp ´ecification • D ´efinition formelle du probl `eme

­R ´esolution _• Recherche de solutionsad hoc

®Caract ´erisation ^• Etude des propri ´et ´es logiques des solutions

• Recherche de caract ´erisations logiques

D ´emarche scientifique

¬Sp ´ecification

• D ´efinition formelle du probl `eme

­R ´esolution _• Recherche de solutionsad hoc

®Caract ´erisation ^• Etude des propri ´et ´es logiques des solutions

• Recherche de caract ´erisations logiques

D ´emarche scientifique

¬Sp ´ecification • D ´efinition formelle du probl `eme

­R ´esolution _• Recherche de solutionsad hoc

®Caract ´erisation ^• Etude des propri ´et ´es logiques des solutions

• Recherche de caract ´erisations logiques

D ´emarche scientifique

¬Sp ´ecification • D ´efinition formelle du probl `eme

­R ´esolution

• Recherche de solutionsad hoc

®Caract ´erisation ^• Etude des propri ´et ´es logiques des solutions

• Recherche de caract ´erisations logiques

D ´emarche scientifique

¬Sp ´ecification • D ´efinition formelle du probl `eme

­R ´esolution _• Recherche de solutionsad hoc

®Caract ´erisation ^• Etude des propri ´et ´es logiques des solutions

• Recherche de caract ´erisations logiques

D ´emarche scientifique

¬Sp ´ecification • D ´efinition formelle du probl `eme

­R ´esolution _• Recherche de solutionsad hoc

®Caract ´erisation

• Etude des propri ´et ´es logiques des solutions

• Recherche de caract ´erisations logiques

D ´emarche scientifique

¬Sp ´ecification • D ´efinition formelle du probl `eme

­R ´esolution _• Recherche de solutionsad hoc

®Caract ´erisation ^• Etude des propri ´et ´es logiques des solutions

• Recherche de caract ´erisations logiques

Inf ´erence non monotone

¬Sp ´ecification

• Comment permettre l’inf ´erence (de“sens commun”) `a partir d’informations simplement plausibles ou de r `egles g ´en ´erales (du genre normalement les oiseaux volent) ?

­R ´esolution

• Logique des d ´efauts[1980]

• Circonscription[1980]

• R ´eseaux d’h ´eritage[1986]

• . . .

®Caract ´erisation

• Gabbay[1985]

• Makinson[1994]

• Kraus-Lehmann-Magidor[1990,1992]

Inf ´erence non monotone

¬Sp ´ecification

• Comment permettre l’inf ´erence (de“sens commun”) `a partir d’informations simplement plausibles ou de r `egles g ´en ´erales (du genre normalement les oiseaux volent) ?

­R ´esolution

• Logique des d ´efauts[1980]

• Circonscription[1980]

• R ´eseaux d’h ´eritage[1986]

• . . .

®Caract ´erisation

• Gabbay[1985]

• Makinson[1994]

• Kraus-Lehmann-Magidor[1990,1992]

Inf ´erence non monotone

¬Sp ´ecification

• Comment permettre l’inf ´erence (de“sens commun”) `a partir d’informations simplement plausibles ou de r `egles g ´en ´erales (du genre normalement les oiseaux volent) ?

­R ´esolution

• Logique des d ´efauts[1980]

• Circonscription[1980]

• R ´eseaux d’h ´eritage[1986]

• . . .

®Caract ´erisation

• Gabbay[1985]

• Makinson[1994]

• Kraus-Lehmann-Magidor[1990,1992]

Raisonnement sous incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

• Deux questions :

Inf ´erence

• Que peut-on conclure `a partir de cette base ?

Connecteur virgule[IJCAI’05]

Logiques tri-valu ´ees[JELIA’02]

Bi-treillis et bipolarit ´e[IJIS-08]

Logique quasi-possibiliste

[Fundamenta Informaticae-03]

Plus sur l’Inf ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

• A quel point cette base est-elle incoh ´erente ?

Raisonnement sous incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

• Deux questions :

Inf ´erence

• Que peut-on conclure `a partir de cette base ?

Connecteur virgule[IJCAI’05]

Logiques tri-valu ´ees[JELIA’02]

Bi-treillis et bipolarit ´e[IJIS-08]

Logique quasi-possibiliste

[Fundamenta Informaticae-03]

Plus sur l’Inf ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

• A quel point cette base est-elle incoh ´erente ?

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

( ´equiprobabilit ´e) ¹

2 1 2

1 4

1 4

1 2

1

2 min= ¹₄

(maximal)a b c d e ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 1 ¹₂ min=¹₂

B B 1 1 1 coherence=3/5

• Mesure d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une base

Mesures bas ´ees sur les formules

I Plus il faut de formules pour g ´en ´erer l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Knight[2001]:η-coh ´erence maximale (distribution de probabilit ´es)

Mesures bas ´ees sur les variables

I Moins il y a de variables concern ´ees par l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Hunter[2002]:coherence(mod `eles quasi-classiques)

I Mesures d’incoh ´erence `a base de plans de tests[IJCAI’03]

Comment prendre en compte ces 2 dimensions ?

I [KR’06]

I Valeur d’incoh ´erence : mesurer l’incoh ´erence des formules

I Agr ´eger ces valeurs (max) pour d ´efinir une mesure d’incoh ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

( ´equiprobabilit ´e) ¹

2 1 2

1 4

1 4

1 2

1

2 min= ¹₄

(maximal)a b c d e ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 1 ¹₂ min=¹₂

B B 1 1 1 coherence=3/5

• Mesure d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une base Mesures bas ´ees sur les formules

I Plus il faut de formules pour g ´en ´erer l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Knight[2001]:η-coh ´erence maximale (distribution de probabilit ´es) Mesures bas ´ees sur les variables

I Moins il y a de variables concern ´ees par l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Hunter[2002]:coherence(mod `eles quasi-classiques)

I Mesures d’incoh ´erence `a base de plans de tests[IJCAI’03]

Comment prendre en compte ces 2 dimensions ?

I [KR’06]

I Valeur d’incoh ´erence : mesurer l’incoh ´erence des formules

I Agr ´eger ces valeurs (max) pour d ´efinir une mesure d’incoh ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

( ´equiprobabilit ´e) ¹

2 1 2

1 4

1 4

1 2

1

2 min= ¹₄

(maximal)a b c d e ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 1 ¹₂ min=¹₂

B B 1 1 1 coherence=3/5

• Mesure d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une base Mesures bas ´ees sur les formules

I Plus il faut de formules pour g ´en ´erer l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Knight[2001]:η-coh ´erence maximale (distribution de probabilit ´es) Mesures bas ´ees sur les variables

I Moins il y a de variables concern ´ees par l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Hunter[2002]:coherence(mod `eles quasi-classiques)

I Mesures d’incoh ´erence `a base de plans de tests[IJCAI’03]

Comment prendre en compte ces 2 dimensions ?

I [KR’06]

I Valeur d’incoh ´erence : mesurer l’incoh ´erence des formules

I Agr ´eger ces valeurs (max) pour d ´efinir une mesure d’incoh ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

( ´equiprobabilit ´e) ¹

2 1 2

1 4

1 4

1 2

1

2 min= ¹₄

(maximal)a b c d e ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 1 ¹₂ min=¹₂

B B 1 1 1 coherence=3/5

• Mesure d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une base Mesures bas ´ees sur les formules

I Plus il faut de formules pour g ´en ´erer l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Knight[2001]:η-coh ´erence maximale (distribution de probabilit ´es)

Mesures bas ´ees sur les variables

I Moins il y a de variables concern ´ees par l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Hunter[2002]:coherence(mod `eles quasi-classiques)

I Mesures d’incoh ´erence `a base de plans de tests[IJCAI’03]

Comment prendre en compte ces 2 dimensions ?

I [KR’06]

I Valeur d’incoh ´erence : mesurer l’incoh ´erence des formules

I Agr ´eger ces valeurs (max) pour d ´efinir une mesure d’incoh ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b ( ´equiprobabilit ´e) ¹

2 1 2

1 4

1 4

1 2

1

2 min= ¹₄

(maximal)a b c d e ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 1 ¹₂ min=¹₂

B B 1 1 1 coherence=3/5

• Mesure d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une base Mesures bas ´ees sur les formules

I Plus il faut de formules pour g ´en ´erer l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Knight[2001]:η-coh ´erence maximale (distribution de probabilit ´es)

Mesures bas ´ees sur les variables

I Moins il y a de variables concern ´ees par l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Hunter[2002]:coherence(mod `eles quasi-classiques)

I Mesures d’incoh ´erence `a base de plans de tests[IJCAI’03]

Comment prendre en compte ces 2 dimensions ?

I [KR’06]

I Valeur d’incoh ´erence : mesurer l’incoh ´erence des formules

I Agr ´eger ces valeurs (max) pour d ´efinir une mesure d’incoh ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b ( ´equiprobabilit ´e) ¹

2 1 2

1 4

1 4

1 2

1

2 min= ¹₄

(maximal) ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 1 ¹₂ min=¹₂

a b c d e

B B 1 1 1 coherence=3/5

• Mesure d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une base Mesures bas ´ees sur les formules

I Plus il faut de formules pour g ´en ´erer l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Knight[2001]:η-coh ´erence maximale (distribution de probabilit ´es)

Mesures bas ´ees sur les variables

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I Hunter[2002]:coherence(mod `eles quasi-classiques)

I Mesures d’incoh ´erence `a base de plans de tests[IJCAI’03]

Comment prendre en compte ces 2 dimensions ?

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I Valeur d’incoh ´erence : mesurer l’incoh ´erence des formules

I Agr ´eger ces valeurs (max) pour d ´efinir une mesure d’incoh ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b ( ´equiprobabilit ´e) ¹

2 1 2

1 4

1 4

1 2

1

2 min= ¹₄

(maximal) ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 1 ¹₂ min=¹₂

a b c d e

B B 1 1 1 coherence=3/5

• Mesure d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une base Mesures bas ´ees sur les formules

I Plus il faut de formules pour g ´en ´erer l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Knight[2001]:η-coh ´erence maximale(distribution de probabilit ´es)

Mesures bas ´ees sur les variables

I Moins il y a de variables concern ´ees par l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Hunter[2002]:coherence(mod `eles quasi-classiques)

I Mesures d’incoh ´erence `a base de plans de tests[IJCAI’03]

Comment prendre en compte ces 2 dimensions ?

I [KR’06]

I Valeur d’incoh ´erence : mesurer l’incoh ´erence des formules

I Agr ´eger ces valeurs (max) pour d ´efinir une mesure d’incoh ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

( ´equiprobabilit ´e) ¹

2 1 2

1 4

1 4

1 2

1

2 min= ¹₄

(maximal)a b c d e ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 1 ¹₂ min=¹₂

B B 1 1 1 coherence=3/5

• Mesure d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une base Mesures bas ´ees sur les formules

I Plus il faut de formules pour g ´en ´erer l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Knight[2001]:η-coh ´erence maximale (distribution de probabilit ´es) Mesures bas ´ees sur les variables

I Moins il y a de variables concern ´ees par l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Hunter[2002]:coherence(mod `eles quasi-classiques)

I Mesures d’incoh ´erence `a base de plans de tests[IJCAI’03]

Comment prendre en compte ces 2 dimensions ?

I [KR’06]

I Valeur d’incoh ´erence : mesurer l’incoh ´erence des formules

I Agr ´eger ces valeurs (max) pour d ´efinir une mesure d’incoh ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

( ´equiprobabilit ´e) ¹

2 1 2

1 4

1 4

1 2

1

2 min= ¹₄

(maximal)a b c d e ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 1 ¹₂ min=¹₂

B B 1 1 1 coherence=3/5

• Mesure d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une base Mesures bas ´ees sur les formules

I Plus il faut de formules pour g ´en ´erer l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Knight[2001]:η-coh ´erence maximale (distribution de probabilit ´es) Mesures bas ´ees sur les variables

I Moins il y a de variables concern ´ees par l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Hunter[2002]:coherence(mod `eles quasi-classiques)

I Mesures d’incoh ´erence `a base de plans de tests[IJCAI’03]

Comment prendre en compte ces 2 dimensions ?

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I Valeur d’incoh ´erence : mesurer l’incoh ´erence des formules

I Agr ´eger ces valeurs (max) pour d ´efinir une mesure d’incoh ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

( ´equiprobabilit ´e) ¹

2 1 2

1 4

1 4

1 2

1

2 min= ¹₄

(maximal)a b c d e ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 1 ¹₂ min=¹₂

B B 1 1 1 coherence=3/5

• Mesure d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une base Mesures bas ´ees sur les formules

I Plus il faut de formules pour g ´en ´erer l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Knight[2001]:η-coh ´erence maximale (distribution de probabilit ´es) Mesures bas ´ees sur les variables

I Moins il y a de variables concern ´ees par l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Hunter[2002]:coherence(mod `eles quasi-classiques)

I Mesures d’incoh ´erence `a base de plans de tests[IJCAI’03]

Comment prendre en compte ces 2 dimensions ?

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I Valeur d’incoh ´erence : mesurer l’incoh ´erence des formules

I Agr ´eger ces valeurs (max) pour d ´efinir une mesure d’incoh ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

( ´equiprobabilit ´e) ¹

2 1 2

1 4

1 4

1 2

1

2 min= ¹₄

(maximal) ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 1 ¹₂ min=¹₂

a b c d e

B B 1 1 1

coherence=3/5

• Mesure d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une base Mesures bas ´ees sur les formules

I Plus il faut de formules pour g ´en ´erer l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Knight[2001]:η-coh ´erence maximale (distribution de probabilit ´es) Mesures bas ´ees sur les variables

I Moins il y a de variables concern ´ees par l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Hunter[2002]:coherence(mod `eles quasi-classiques)

I Mesures d’incoh ´erence `a base de plans de tests[IJCAI’03]

Comment prendre en compte ces 2 dimensions ?

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I Valeur d’incoh ´erence : mesurer l’incoh ´erence des formules

I Agr ´eger ces valeurs (max) pour d ´efinir une mesure d’incoh ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

( ´equiprobabilit ´e) ¹

2 1 2

1 4

1 4

1 2

1

2 min= ¹₄

(maximal) ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 1 ¹₂ min=¹₂

a b c d e

B B 1 1 1 coherence=3/5

• Mesure d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une base Mesures bas ´ees sur les formules

I Plus il faut de formules pour g ´en ´erer l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Knight[2001]:η-coh ´erence maximale (distribution de probabilit ´es) Mesures bas ´ees sur les variables

I Moins il y a de variables concern ´ees par l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Hunter[2002]:coherence(mod `eles quasi-classiques)

I Mesures d’incoh ´erence `a base de plans de tests[IJCAI’03]

Comment prendre en compte ces 2 dimensions ?

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I Valeur d’incoh ´erence : mesurer l’incoh ´erence des formules

I Agr ´eger ces valeurs (max) pour d ´efinir une mesure d’incoh ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

( ´equiprobabilit ´e) ¹

2 1 2

1 4

1 4

1 2

1

2 min= ¹₄

(maximal) ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 1 ¹₂ min=¹₂

a b c d e

B B 1 1 1 coherence=3/5

• Mesure d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une base Mesures bas ´ees sur les formules

I Plus il faut de formules pour g ´en ´erer l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Knight[2001]:η-coh ´erence maximale (distribution de probabilit ´es) Mesures bas ´ees sur les variables

I Moins il y a de variables concern ´ees par l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Hunter[2002]:coherence(mod `eles quasi-classiques)

I Mesures d’incoh ´erence `a base de plans de tests[IJCAI’03]

Comment prendre en compte ces 2 dimensions ?

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I Valeur d’incoh ´erence : mesurer l’incoh ´erence des formules

I Agr ´eger ces valeurs (max) pour d ´efinir une mesure d’incoh ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

( ´equiprobabilit ´e) ¹

2 1 2

1 4

1 4

1 2

1

2 min= ¹₄

(maximal) ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 1 ¹₂ min=¹₂

a b c d e

B B 1 1 1 coherence=3/5

• Mesure d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une base Mesures bas ´ees sur les formules

I Plus il faut de formules pour g ´en ´erer l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Knight[2001]:η-coh ´erence maximale (distribution de probabilit ´es) Mesures bas ´ees sur les variables

I Moins il y a de variables concern ´ees par l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Hunter[2002]:coherence(mod `eles quasi-classiques)

I Mesures d’incoh ´erence `a base de plans de tests[IJCAI’03]

Comment prendre en compte ces 2 dimensions ?

I [KR’06]

I Valeur d’incoh ´erence : mesurer l’incoh ´erence des formules

I Agr ´eger ces valeurs (max) pour d ´efinir une mesure d’incoh ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

( ´equiprobabilit ´e) ¹

2 1 2

1 4

1 4

1 2

1

2 min= ¹₄

(maximal) ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 1 ¹₂ min=¹₂

a b c d e

B B 1 1 1 coherence=3/5

• Mesure d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une base Mesures bas ´ees sur les formules

I Plus il faut de formules pour g ´en ´erer l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Knight[2001]:η-coh ´erence maximale (distribution de probabilit ´es) Mesures bas ´ees sur les variables

I Moins il y a de variables concern ´ees par l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Hunter[2002]:coherence(mod `eles quasi-classiques)

I Mesures d’incoh ´erence `a base de plans de tests[IJCAI’03]

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I [KR’06]

I Valeur d’incoh ´erence : mesurer l’incoh ´erence des formules

I Agr ´eger ces valeurs (max) pour d ´efinir une mesure d’incoh ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

( ´equiprobabilit ´e) ¹

2 1 2

1 4

1 4

1 2

1

2 min= ¹₄

(maximal) ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 1 ¹₂ min=¹₂

a b c d e

B B 1 1 1 coherence=3/5

• Mesure d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une base Mesures bas ´ees sur les formules

I Plus il faut de formules pour g ´en ´erer l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Knight[2001]:η-coh ´erence maximale (distribution de probabilit ´es) Mesures bas ´ees sur les variables

I Moins il y a de variables concern ´ees par l’incoh ´erence, moins celle-ci est grave

I Hunter[2002]:coherence(mod `eles quasi-classiques)

I Mesures d’incoh ´erence `a base de plans de tests[IJCAI’03]

Comment prendre en compte ces 2 dimensions ?

I [KR’06]

I Valeur d’incoh ´erence : mesurer l’incoh ´erence des formules

I Agr ´eger ces valeurs (max) pour d ´efinir une mesure d’incoh ´erence

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

¬

­

S_I^K ®

d = ( ¹₅ ¹₅ ¹₆ ¹₆ 0 ¹¹₃₀ )

Sˆ_I(K) =max =¹¹₃₀

MIV_C^K = (¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 0 1)

Id(C) =

0 si C0⊥ 1 sinon MIV_C^K(α) =P

{M∈MI(K)|α∈M} 1

|M|

=S^K_I

MI(α)

• Valeur d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une formule

Valeurs d’Incoh ´erence de Shapley[KR’06,AIJ-10]

I Utiliser une mesure d’incoh ´erenceI

I Utiliser la valeur de Shapley[1953]

S_I^K(α) =P

C⊆K

(|C|−1)!(|K|−|C|)!

|K|! (I(C)−I(C\ {α}))

I Contribution marginale moyenne de la formule `a l’incoh ´erence de la base

Valeurs bas ´ees sur les ensembles minimaux incoh ´erents[KR’08] MIV^K(α) =f(MI(K), α)

=f({¬,­,®}, α)

I Calcul pratique des MI (MUS - Gr ´egoire-Mazure-Piette[2007,2009])

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

¬

­

S_I^K ®

d = ( ¹₅ ¹₅ ¹₆ ¹₆ 0 ¹¹₃₀ )

Sˆ_I(K) =max =¹¹₃₀

MIV_C^K = (¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 0 1)

Id(C) =

0 si C0⊥ 1 sinon MIV_C^K(α) =P

{M∈MI(K)|α∈M} 1

|M|

=S^K_I

MI(α)

• Valeur d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une formule Valeurs d’Incoh ´erence de Shapley[KR’06,AIJ-10]

I Utiliser une mesure d’incoh ´erenceI

I Utiliser la valeur de Shapley[1953]

S_I^K(α) =P

C⊆K

(|C|−1)!(|K|−|C|)!

|K|! (I(C)−I(C\ {α}))

I Contribution marginale moyenne de la formule `a l’incoh ´erence de la base Valeurs bas ´ees sur les ensembles minimaux incoh ´erents[KR’08]

MIV^K(α) =f(MI(K), α)

=f({¬,­,®}, α)

I Calcul pratique des MI (MUS - Gr ´egoire-Mazure-Piette[2007,2009])

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

¬

­

S_I^K ®

d = ( ¹₅ ¹₅ ¹₆ ¹₆ 0 ¹¹₃₀ )

Sˆ_I(K) =max =¹¹₃₀

MIV_C^K = (¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 0 1)

Id(C) =

0 si C0⊥ 1 sinon MIV_C^K(α) =P

{M∈MI(K)|α∈M} 1

|M|

=S^K_I

MI(α)

• Valeur d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une formule Valeurs d’Incoh ´erence de Shapley[KR’06,AIJ-10]

I Utiliser une mesure d’incoh ´erenceI

I Utiliser la valeur de Shapley[1953]

S_I^K(α) =P

C⊆K

(|C|−1)!(|K|−|C|)!

|K|! (I(C)−I(C\ {α}))

I Contribution marginale moyenne de la formule `a l’incoh ´erence de la base Valeurs bas ´ees sur les ensembles minimaux incoh ´erents[KR’08]

MIV^K(α) =f(MI(K), α)

=f({¬,­,®}, α)

I Calcul pratique des MI (MUS - Gr ´egoire-Mazure-Piette[2007,2009])

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

¬

­

S_I^K ®

d = ( ¹₅ ¹₅ ¹₆ ¹₆ 0 ¹¹₃₀ )

Sˆ_I(K) =max =¹¹₃₀

MIV_C^K = (¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 0 1)

Id(C) =

0 si C0⊥ 1 sinon MIV_C^K(α) =P

{M∈MI(K)|α∈M} 1

|M|

=S^K_I

MI(α)

• Valeur d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une formule Valeurs d’Incoh ´erence de Shapley[KR’06,AIJ-10]

I Utiliser une mesure d’incoh ´erenceI

I Utiliser la valeur de Shapley[1953]

S_I^K(α) =P

C⊆K

(|C|−1)!(|K|−|C|)!

|K|! (I(C)−I(C\ {α}))

I Contribution marginale moyenne de la formule `a l’incoh ´erence de la base

Valeurs bas ´ees sur les ensembles minimaux incoh ´erents[KR’08] MIV^K(α) =f(MI(K), α)

=f({¬,­,®}, α)

I Calcul pratique des MI (MUS - Gr ´egoire-Mazure-Piette[2007,2009])

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

¬

­

S_I^K ®

d = ( ¹₅ ¹₅ ¹₆ ¹₆ 0 ¹¹₃₀ )

Sˆ_I(K) =max =¹¹₃₀

MIV_C^K = (¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 0 1)

Id(C) =

0 si C0⊥ 1 sinon

MIV_C^K(α) =P

{M∈MI(K)|α∈M} 1

|M|

=S^K_I

MI(α)

• Valeur d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une formule Valeurs d’Incoh ´erence de Shapley[KR’06,AIJ-10]

I Utiliser une mesure d’incoh ´erenceI

I Utiliser la valeur de Shapley[1953]

S_I^K(α) =P

C⊆K

(|C|−1)!(|K|−|C|)!

|K|! (I(C)−I(C\ {α}))

I Contribution marginale moyenne de la formule `a l’incoh ´erence de la base

Valeurs bas ´ees sur les ensembles minimaux incoh ´erents[KR’08] MIV^K(α) =f(MI(K), α)

=f({¬,­,®}, α)

I Calcul pratique des MI (MUS - Gr ´egoire-Mazure-Piette[2007,2009])

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

¬

­

®

S_I^K

d = ( ¹₅ ¹₅ ¹₆ ¹₆ 0 ¹¹₃₀ )

Sˆ_I(K) =max =¹¹₃₀ MIV_C^K = (¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 0 1)

Id(C) =

0 si C0⊥ 1 sinon

MIV_C^K(α) =P

{M∈MI(K)|α∈M} 1

|M|

=S^K_I

MI(α)

• Valeur d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une formule Valeurs d’Incoh ´erence de Shapley[KR’06,AIJ-10]

I Utiliser une mesure d’incoh ´erenceI

I Utiliser la valeur de Shapley[1953]

S_I^K(α) =P

C⊆K

(|C|−1)!(|K|−|C|)!

|K|! (I(C)−I(C\ {α}))

I Contribution marginale moyenne de la formule `a l’incoh ´erence de la base

Valeurs bas ´ees sur les ensembles minimaux incoh ´erents[KR’08] MIV^K(α) =f(MI(K), α)

=f({¬,­,®}, α)

I Calcul pratique des MI (MUS - Gr ´egoire-Mazure-Piette[2007,2009])

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

¬

­

®

S_I^K

d = ( ¹₅ ¹₅ ¹₆ ¹₆ 0 ¹¹₃₀ ) Sˆ_I(K) =max =¹¹₃₀

MIV_C^K = (¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 0 1)

Id(C) =

0 si C0⊥ 1 sinon

MIV_C^K(α) =P

{M∈MI(K)|α∈M} 1

|M|

=S^K_I

MI(α)

• Valeur d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une formule Valeurs d’Incoh ´erence de Shapley[KR’06,AIJ-10]

I Utiliser une mesure d’incoh ´erenceI

I Utiliser la valeur de Shapley[1953]

S_I^K(α) =P

C⊆K

(|C|−1)!(|K|−|C|)!

|K|! (I(C)−I(C\ {α}))

I Contribution marginale moyenne de la formule `a l’incoh ´erence de la base

Valeurs bas ´ees sur les ensembles minimaux incoh ´erents[KR’08] MIV^K(α) =f(MI(K), α)

=f({¬,­,®}, α)

I Calcul pratique des MI (MUS - Gr ´egoire-Mazure-Piette[2007,2009])

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

¬

­

S_I^K ®

d = ( ¹₅ ¹₅ ¹₆ ¹₆ 0 ¹¹₃₀ )

Sˆ_I(K) =max =¹¹₃₀

MIV_C^K = (¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 0 1)

Id(C) =

0 si C0⊥ 1 sinon MIV_C^K(α) =P

{M∈MI(K)|α∈M} 1

|M|

=S^K_I

MI(α)

• Valeur d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une formule Valeurs d’Incoh ´erence de Shapley[KR’06,AIJ-10]

I Utiliser une mesure d’incoh ´erenceI

I Utiliser la valeur de Shapley[1953]

S_I^K(α) =P

C⊆K

(|C|−1)!(|K|−|C|)!

|K|! (I(C)−I(C\ {α}))

I Contribution marginale moyenne de la formule `a l’incoh ´erence de la base Valeurs bas ´ees sur les ensembles minimaux incoh ´erents[KR’08]

MIV^K(α) =f(MI(K), α)

=f({¬,­,®}, α)

I Calcul pratique des MI (MUS - Gr ´egoire-Mazure-Piette[2007,2009])

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

¬

­

®

S_I^K

d = ( ¹₅ ¹₅ ¹₆ ¹₆ 0 ¹¹₃₀ )

Sˆ_I(K) =max =¹¹₃₀

MIV_C^K = (¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 0 1)

Id(C) =

0 si C0⊥ 1 sinon MIV_C^K(α) =P

{M∈MI(K)|α∈M} 1

|M|

=S^K_I

MI(α)

• Valeur d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une formule Valeurs d’Incoh ´erence de Shapley[KR’06,AIJ-10]

I Utiliser une mesure d’incoh ´erenceI

I Utiliser la valeur de Shapley[1953]

S_I^K(α) =P

C⊆K

(|C|−1)!(|K|−|C|)!

|K|! (I(C)−I(C\ {α}))

I Contribution marginale moyenne de la formule `a l’incoh ´erence de la base Valeurs bas ´ees sur les ensembles minimaux incoh ´erents[KR’08]

MIV^K(α) =f(MI(K), α)

=f({¬,­,®}, α)

I Calcul pratique des MI (MUS - Gr ´egoire-Mazure-Piette[2007,2009])

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

¬

­

®

S_I^K

d = ( ¹₅ ¹₅ ¹₆ ¹₆ 0 ¹¹₃₀ )

Sˆ_I(K) =max =¹¹₃₀

MIV_C^K = (¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 0 1)

Id(C) =

0 si C0⊥ 1 sinon

MIV_C^K(α) =P

{M∈MI(K)|α∈M} 1

|M|

=S^K_I

MI(α)

• Valeur d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une formule Valeurs d’Incoh ´erence de Shapley[KR’06,AIJ-10]

I Utiliser une mesure d’incoh ´erenceI

I Utiliser la valeur de Shapley[1953]

S_I^K(α) =P

C⊆K

(|C|−1)!(|K|−|C|)!

|K|! (I(C)−I(C\ {α}))

I Contribution marginale moyenne de la formule `a l’incoh ´erence de la base Valeurs bas ´ees sur les ensembles minimaux incoh ´erents[KR’08]

MIV^K(α) =f(MI(K), α)

=f({¬,­,®}, α)

I Calcul pratique des MI (MUS - Gr ´egoire-Mazure-Piette[2007,2009])

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

¬

­

®

S_I^K

d = ( ¹₅ ¹₅ ¹₆ ¹₆ 0 ¹¹₃₀ )

Sˆ_I(K) =max =¹¹₃₀

MIV_C^K = (¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 0 1)

Id(C) =

0 si C0⊥ 1 sinon

MIV_C^K(α) =P

{M∈MI(K)|α∈M} 1

|M|

=S^K_I

MI(α)

• Valeur d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une formule Valeurs d’Incoh ´erence de Shapley[KR’06,AIJ-10]

I Utiliser une mesure d’incoh ´erenceI

I Utiliser la valeur de Shapley[1953]

S_I^K(α) =P

C⊆K

(|C|−1)!(|K|−|C|)!

|K|! (I(C)−I(C\ {α}))

I Contribution marginale moyenne de la formule `a l’incoh ´erence de la base Valeurs bas ´ees sur les ensembles minimaux incoh ´erents[KR’08]

MIV^K(α) =f(MI(K), α)

=f({¬,­,®}, α)

I Calcul pratique des MI (MUS - Gr ´egoire-Mazure-Piette[2007,2009])

Mesure de l’incoh ´erence

a, ¬a, b∧c, b∧d, e, ¬b

¬

­

®

S_I^K

d = ( ¹₅ ¹₅ ¹₆ ¹₆ 0 ¹¹₃₀ )

Sˆ_I(K) =max =¹¹₃₀

MIV_C^K = (¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ 0 1)

Id(C) =

0 si C0⊥ 1 sinon

MIV_C^K(α) =P

{M∈MI(K)|α∈M} 1

|M|

=S^K_I

MI(α)

• Valeur d’incoh ´erence :mesurer l’incoh ´erence d’une formule Valeurs d’Incoh ´erence de Shapley[KR’06,AIJ-10]

I Utiliser une mesure d’incoh ´erenceI

I Utiliser la valeur de Shapley[1953]

S_I^K(α) =P

C⊆K

(|C|−1)!(|K|−|C|)!

|K|! (I(C)−I(C\ {α}))

I Contribution marginale moyenne de la formule `a l’incoh ´erence de la base Valeurs bas ´ees sur les ensembles minimaux incoh ´erents[KR’08]

MIV^K(α) =f(MI(K), α)

=f({¬,­,®}, α)

I Calcul pratique des MI (MUS - Gr ´egoire-Mazure-Piette[2007,2009])