Nombre d'endomorphismes diagonalisables sur un corps ni
Référence(s) :
X. Gourdon - Algèbre
S. Francinou, H. Gianella et S. Nicolas - Oraux X-ENS, algèbre 1
Soitn∈N∗; soit Fq un corps ni. On pose :
D(n, q) ={u∈GLn(Fq) :udiagonalisable} Théorème 1
|D(n, q)|= X
(n1,...,nq−1)
Pni=n
|GLn(Fq)|
|GLn1(Fq)|. . .|GLnq−1(Fq)|
Étape 1
SoitA∈ Mn(Fq). Alors, la matriceA est diagonalisable si et seulement siAq−A= 0.
⇒: On écrit A=P DP−1 oùP inversible etD=diag(λ1, . . . , λn), lesλi∈Fq. Ainsi, pour touti∈[|1, n|], λqi =λi et Dq=D doncAq=A.
⇐: Comme la matrice A est annulé par le polynôme Xq −X qui est scindé à racines simples, elle est diagonalisable.
En eet, si on noteζ1, . . . , ζq−1les éléments de F∗q, on a, pour tout16i6q−1,ζiq =ζi, et0q = 0. Ainsi, on a qracines distinctes deXq−X qui est de degré qdonc :
Xq−X=X
q−1
Y
i=1
(X−ζi)
SoitA∈GLn(Fq). Étape 2
On se ramène à des(q−1)-uplets de sous-espaces deE=Fnq.
D'après le lemme précédent,Aest diagonalisable ssiXq−1−X annuleA. Or,Xq−1−X =
q−1
Q
i=1
(X−ζi); et les(X−ζi)sont premiers entre eux ; donc si on pose pour 16i6q−1, Ei:= kerA−ζiId, on a (lemme des noyaux) :
E=
q
M
i=1
Ei
Pour touti∈[|1, q−1|], on poseni := dimEi, et on a :n1+· · ·+nq−1=n.
Réciproquement, étant donnée E1, . . . , Eq−1, l'endomorphisme A tel que A: x∈Ei 7→ζixest complètement déterminé et appartient àD(n, q).
Ainsi, on a une bijection :
f :D(n, q)→ (
(Ei)16i6q−1:
q−1
M
i=1
=E )
Ainsi
|D(n, q)| → (
(Ei)16i6q−1:
q−1
M
i=1
=E )
1
Étape 3
On partitionne
(Ei)16i6q−1:
q−1
L
i=1
Ei=E
Pour toutN = (n1, . . . , nq−1)∈Nq−1tel queq−1P
i=1
=n, on poseZN =
(Ei)16i6q−1:
q−1
L
i=1
=E et∀i,dimEi=ni
. LesZN forment une partition de
(Ei)16i6q−1:
q−1
L
i=1i
=E
, et donc :
|D(n, q)|= X
(n1,...,nq−1)
Pni=n
|ZN|
Étape 4
Dénombrement par action de groupe On considère l'action de groupe suivante :
GLn(Fq)×ZN → ZN
(q,(Ei)16i6q−1) 7→ (g(Ei))16i6q−1
Cette action est bien déni car pourg∈GLn(Fq)conserve les dimensions.
Cette action est transitive. En eet, si on prend (Ei)16i6q−1 et (Ei0)16i6q−1 dans ZN, et des bases (e1, . . . , eq−1)et(e01, . . . , e0n)adaptées à ces décompositions deE; on poseg:ei7→e0i et on a :
g∈GLn(Fq)et ∀i∈[|1, q−1|], g(Ei) =Ei0 par égalité des dimensions Ainsi, l'action dénie plus haut n'a qu'une orbite ; et si on prend(Ei)16i6q−1∈ZN :
|O((Ei))|=|ZN|= |GLn(Fq)|
|Stab((Ei))|
Soit Bune base de E adaptée àE=
q−1
L
i=1
Ei. Soit u∈Stab((Ei)). Alors, dans la baseB, la matrice deu est de la forme :
MB(u) =
M1
M2
...
Mq−1
, où lesMi∈GLni(Fq)
Ainsi :
Stab((Ei)) =|GLn1(Fq)|. . .|GLnq−1(Fq)|
Et donc nalement :
|D(n, q)|= X
(n1,...,nq−1)
Pni=n
|GLn(Fq)|
|GLn1(Fq)|. . .|GLnq−1(Fq)|
Complément : Dénombrer les endomorphismes diagonalisables de Mn(Fq)
Dans ce cas, on décompose Aen son noyau et sa partie injective :
#{A∈ Mn(Fq), Adiagonalisable}= X
(n1,...,nq
Pni=n
|GLn(Fq)|
|GLn1(Fq)|. . .|GLnq(Fq)|
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