• Aucun résultat trouvé

Nombre d'endomorphismes diagonalisables sur un corps ni

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Nombre d'endomorphismes diagonalisables sur un corps ni"

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

Nombre d'endomorphismes diagonalisables sur un corps ni

Référence(s) :

X. Gourdon - Algèbre

S. Francinou, H. Gianella et S. Nicolas - Oraux X-ENS, algèbre 1

Soitn∈N; soit Fq un corps ni. On pose :

D(n, q) ={u∈GLn(Fq) :udiagonalisable} Théorème 1

|D(n, q)|= X

(n1,...,nq−1)

Pni=n

|GLn(Fq)|

|GLn1(Fq)|. . .|GLnq−1(Fq)|

Étape 1

SoitA∈ Mn(Fq). Alors, la matriceA est diagonalisable si et seulement siAq−A= 0.

⇒: On écrit A=P DP−1 oùP inversible etD=diag(λ1, . . . , λn), lesλi∈Fq. Ainsi, pour touti∈[|1, n|], λqii et Dq=D doncAq=A.

⇐: Comme la matrice A est annulé par le polynôme Xq −X qui est scindé à racines simples, elle est diagonalisable.

En eet, si on noteζ1, . . . , ζq−1les éléments de Fq, on a, pour tout16i6q−1,ζiqi, et0q = 0. Ainsi, on a qracines distinctes deXq−X qui est de degré qdonc :

Xq−X=X

q−1

Y

i=1

(X−ζi)

SoitA∈GLn(Fq). Étape 2

On se ramène à des(q−1)-uplets de sous-espaces deE=Fnq.

D'après le lemme précédent,Aest diagonalisable ssiXq−1−X annuleA. Or,Xq−1−X =

q−1

Q

i=1

(X−ζi); et les(X−ζi)sont premiers entre eux ; donc si on pose pour 16i6q−1, Ei:= kerA−ζiId, on a (lemme des noyaux) :

E=

q

M

i=1

Ei

Pour touti∈[|1, q−1|], on poseni := dimEi, et on a :n1+· · ·+nq−1=n.

Réciproquement, étant donnée E1, . . . , Eq−1, l'endomorphisme A tel que A: x∈Ei 7→ζixest complètement déterminé et appartient àD(n, q).

Ainsi, on a une bijection :

f :D(n, q)→ (

(Ei)16i6q−1:

q−1

M

i=1

=E )

Ainsi

|D(n, q)| → (

(Ei)16i6q−1:

q−1

M

i=1

=E )

1

(2)

Étape 3

On partitionne

(Ei)16i6q−1:

q−1

L

i=1

Ei=E

Pour toutN = (n1, . . . , nq−1)∈Nq−1tel queq−1P

i=1

=n, on poseZN =

(Ei)16i6q−1:

q−1

L

i=1

=E et∀i,dimEi=ni

. LesZN forment une partition de

(Ei)16i6q−1:

q−1

L

i=1i

=E

, et donc :

|D(n, q)|= X

(n1,...,nq−1)

Pni=n

|ZN|

Étape 4

Dénombrement par action de groupe On considère l'action de groupe suivante :

GLn(Fq)×ZN → ZN

(q,(Ei)16i6q−1) 7→ (g(Ei))16i6q−1

Cette action est bien déni car pourg∈GLn(Fq)conserve les dimensions.

Cette action est transitive. En eet, si on prend (Ei)16i6q−1 et (Ei0)16i6q−1 dans ZN, et des bases (e1, . . . , eq−1)et(e01, . . . , e0n)adaptées à ces décompositions deE; on poseg:ei7→e0i et on a :

g∈GLn(Fq)et ∀i∈[|1, q−1|], g(Ei) =Ei0 par égalité des dimensions Ainsi, l'action dénie plus haut n'a qu'une orbite ; et si on prend(Ei)16i6q−1∈ZN :

|O((Ei))|=|ZN|= |GLn(Fq)|

|Stab((Ei))|

Soit Bune base de E adaptée àE=

q−1

L

i=1

Ei. Soit u∈Stab((Ei)). Alors, dans la baseB, la matrice deu est de la forme :

MB(u) =

 M1

M2

...

Mq−1

, où lesMi∈GLni(Fq)

Ainsi :

Stab((Ei)) =|GLn1(Fq)|. . .|GLnq−1(Fq)|

Et donc nalement :

|D(n, q)|= X

(n1,...,nq−1)

Pni=n

|GLn(Fq)|

|GLn1(Fq)|. . .|GLnq−1(Fq)|

Complément : Dénombrer les endomorphismes diagonalisables de Mn(Fq)

Dans ce cas, on décompose Aen son noyau et sa partie injective :

#{A∈ Mn(Fq), Adiagonalisable}= X

(n1,...,nq

Pni=n

|GLn(Fq)|

|GLn1(Fq)|. . .|GLnq(Fq)|

2

Références

Documents relatifs

Soit ω une racine p-i` eme de l’unit´ e telle que ω −1 n’est pas une valeur propre

On suppose que les lapins se reproduisent suivant la r` egle suivante : chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple ` a compter du troisi` eme mois de son existence.. On

En déduire qu'il n'existe pas de suite de matrices diagonalisables qui converge vers

Si u admet un polynˆ ome annulateur scind´ e, alors E est somme directe de sous-espaces stables par u su chacun desquels u d´ efinit la somme d’une homoth´ etie et d’un

Elle ne peut donc pas avoir d’autre valeur propre que λ j car les sous-espaces caractéristiques sont en somme directe.... Le plus petit entier k vérifiant cette égalité est

A���������� ��. Alors les éléments de G sont co-diagonalisables. Donc G est conjugué à un sous-groupe de matrices diagonales... II.. Agrégation –

Idéal annulateur d’un endomorphisme,polynôme minimal, exemples, Ker et Im sont f-stables, lemme des noyaux, lien entre vp et racines de µ f.. Polynôme caractéristique,

Soit A i une famille de matrice diagonalisables, alors elles sont simultanément diagonalisables ssi elles commutent deux à deux3.