Lycée Jean Perrin
Classe deTSI1 2017/2018 29/01/18 au 02/02/18
Colles : semaine 17
X Fonctions d'une variable réelle à valeurs dans R
2ou R
3XI Probabilités sur un univers ni ou dénombrable
XI.A Espaces probabilisés nis ou dénombrables
Ensemble dénombrable. Expérience aléatoire. Suite nie ou innie d'évènements ; union et intersection. Système complet d'évènements.
On appelle probabilité surΩtoute applicationP deP(Ω)dans [0,1]vériantP(Ω) = 1, et pour toute suite (Ak)k∈N d'évènements deux à deux incompatibles :
P [
n∈N
An
!
=
+∞
X
p=0
P(An)
Équivalence avec la dénition vue en première année lorsque l'univers est ni.
XI.B Indépendance et conditionnement
Probabilité conditionnelle de A sachant B. Notation : P(A|B) ou PB(A). Formule des probabilités composées.
Extension de la formule aux conditionnements successifs.
Formule des probabilités totales : siI⊂Net(Ai)i∈I est un système complet d'évènements de probabilités non nulles, alors :
P(B) =X
i∈I
P(B∩Ai) =X
i∈I
P(B|Ai)P(Ai)
Formules de Bayes.
Indépendance de deux évènements. Indépendance d'une famille nie d'évènements.
Démonstrations à connaître :
SoitP une probabilité sur un universΩni ou dénombrable : SiA, B∈ P(Ω), alorsP(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B). SiA∈ P(Ω), alors l'applicationPB est une probabilité surΩ.
Soit(Ω, P)un espace probabilisé.A1,· · ·, An des évènements tels queP(A1∩ · · · ∩An)>0. Alors : P(A1∩ · · · ∩An) =P(A1)×P(A2|A1)×P(A3|A1∩A2)× · · · ×P(An|A1∩A2∩ · · · ∩An−1)
