C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007) 209–212
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Géométrie algébrique
Courbes elliptiques, fibrations et automorphismes des surfaces de Fano
Xavier Roulleau
Université d’Angers, département de mathématiques, 2, boulevard Lavoisier, 49045 Angers cedex 01, France Reçu le 23 avril 2007 ; accepté après révision le 26 juin 2007
Disponible sur Internet le 30 juillet 2007 Présenté par Jean-Pierre Serre
Résumé
Dans cette Note, nous classifions les configurations formées par les courbes elliptiques des surfaces de Fano. Nous montrons le lien entre courbes elliptiques et automorphismes d’ordre 2 d’une telle surface. Nous étudions alors la surface de Fano de la cubique de Fermat deP4.Pour citer cet article : X. Roulleau, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).
©2007 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.
Abstract
Elliptic curves, fibrations and automorphisms of Fano’s surfaces.In this Note we classify the Fano’s surfaces according to the configuration of their elliptic curves. We show the link between these curves and order 2 automorphisms of such a surface.
Then we examine the Fano’s surface of the Fermat’s cubic ofP4.To cite this article: X. Roulleau, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).
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1. Cadre théorique de l’étude
SoitS/C une surface lisse de type général dont le fibré cotangentΩS est engendré par l’espaceHo(ΩS)de ses sections globales et d’irrégularitéq >3. NotonsTS le fibré tangent,π:P(TS)→Sla projection surSdu projectivisé du fibré tangent etOP(TS)(1)le fibré inversible tel que :π∗(OP(TS)(1))ΩS. Puisque le morphismeHo(ΩS)⊗OS→ ΩSest surjectif, le morphismeHo(ΩS)⊗OP(TS)→OP(TS)(1)est surjectif et définit un morphisme :
ψ:P(TS)→P
Ho(ΩS)∗
=Pq−1
que nous appellerons l’application cotangente de la surface.
Le fibré cotangent est dit ample si les fibres de l’application cotangenteψsont finies. Sipest un point dePq−1tel que la fibreψ−1p ne soit pas finie, alorspest le sommet d’un cône etψ−1p est de dimension 1. Les composantes irréductibles de dimension 1 de l’image deψ−1pparπseront qualifiées de courbes non-amples.
Adresse e-mail :xavier.roulleau@etud.univ-angers.fr.
1631-073X/$ – see front matter ©2007 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.
doi:10.1016/j.crma.2007.06.022
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L’étude de cette application cotangente fait l’objet d’une thèse [3] ; sous la direction du Professeur Reider. La présente note classifie les configurations formées par les courbes non-amples des surfaces de Fano.
2. Courbes elliptiques des surfaces de Fano
SoitF une hypersurface cubique lisse deP4et soitSla surface de Fano qui paramètre les droites deF. La surface Svérifie les hypothèses du premier paragraphe, son irrégularité estq=5 et l’image de son application cotangenteψ est une hypersurface cubiqueFdeP(Ho(ΩS)∗)isomorphe à la cubiqueF [1] ; nous identifieronsF etF.
Lemme 1.Les courbes non-amples de la surface de FanoS correspondent bijectivement aux hyperplans deP4qui découpent la cubiqueF en un cône.
Une courbeE →Sest non-ample si et seulement si elle est lisse de genre1. En ce casEvérifie:E2= −3.
SoitE →Sune courbe lisse de genre 1, soitple sommet du côneψ∗π∗Eet soitsun point générique deS, notons Xsle plan contenant le sommetpet la droiteLs=ψ (π−1s) →F. Le planXsdécoupe la cubiqueF en trois droites : (1) la droiteLs, (2) la droiteLγE(s)(contenue dans le cône) passant par le sommetpet par le point intersection deLs
et du côneψ∗π∗E, (3) la droite résiduelleLσE(s)telle que : XsF=Ls+LγE(s)+LσE(s).
Nous avons ainsi défini deux applications rationnellesγE:S→E,σE:S→S, ces applications sont des morphismes etσE est une involution.
Proposition 1.L’automorphismeσE fixeEet27points isolés. La fibrationγE est semi-stable, invariante parσEet ses fibres sont de genre7.
Notons 1S le morphisme identité deS.
Proposition 2.SoitE, Edeux courbes lisses de genre1distinctes contenues dansS. L’intersection deE et deE vaut0ou1et:(σEσE)3−EE=1S. SiEE=0, alors la surface contient une troisième courbeσE∗E=σE∗E.
La fibrationγEcontracteEsi et seulement siEE=1, sinonEest une section de la fibrationγE.
NotonsAut(S)le groupe d’automorphismes deS. Ce groupe agit sur l’espaceHo(ΩS), soit : Aut (S) → GL
Ho(ΩS)∗ , τ → Mτ
la représentation duale, et soitq:GL(Ho(ΩS)∗)→PGL(Ho(ΩS)∗)le quotient naturel.
Lemme 2.Le morphismeτ∈Aut(S)→q(Mτ)est injectif et son image est le groupe Aut(F )des automorphismes de la cubiqueF →P4.
SoitE l’ensemble des courbes lisses de genre 1 contenues dansS. Pour toutE∈E, le morphisme−MσE est une réflexion d’ordre 2 ; notonsMS ⊂GL(Ho(ΩS)∗)le groupe de réflexions complexes engendré par les morphismes
−MσE, E∈E. Soitn >0 un entier, notons Σn⊂GLn(C)le groupe des matrices de permutations etA(3,3, n)⊂ GLn(C)le groupe des matrices diagonales, de déterminant 1 et d’ordre 3. Notons de plusG(3,3, n)le groupe engendré parA(3,3, n)etΣn. On notera[ ]2le groupe d’ordre 2.
Théorème 1. Si le groupeMSest irréductible, alors il est isomorphe à l’un des groupes suivants:
groupe {1} [ ]2 G(3,3,2) Σ4 Σ5 G(3,3,5)
nombre de courbes elliptiques deS 0 1 3 6 10 30
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SinonMSest isomorphe à l’un des groupes suivants:
[ ]2× [ ]2 G(3,3,2)× [ ]2 G(3,3,2)×G(3,3,2) G(3,3,3)×G(3,3,2)
2 4 6 12
Soit E, E∈E, alors on connait l’intersectionEE et, connaissant la cubique F, il est possible de donner un modèle plan de la courbeE.
Exemple.SiMS est isomorphe àG(3,3,3)×G(3,3,2), alors il existeλ∈Cet des coordonnées homogènes telles que la cubiqueF soit l’hypersurface :x13+x23+x33−3λx1x2x3+x43+x53=0. Ces cubiques permettent de construire une infinité de surfaces de Fano dont le groupe de Néron–Severi est de rang 25=h1,1.
3. Surface de Fano de la cubique de Fermat
Considérons la surface de FanoSde la cubique de FermatF:x13+x23+x33+x43+x53=0. Notonsμ3le groupe des racines troisièmes de l’unité et #T le cardinal d’un ensembleT.
Théorème 2. La surface S est l’unique surface de Fano(à isomorphisme près)qui possède 30courbes lisses de genre1. Celles-ci sont numérotées:Eijβ, 1i < j5, β∈μ3.
(a) SoitEγijetEstβ deux courbes elliptiques contenues dansS, alorsEijγEstβ =1si et seulement si#{i, j, s, t} =4.
(b) Le groupe de Néron–Severi NS(S)de la surface est de rang25=h1,1.
(c) Les30courbes elliptiques engendrent un sous-réseau de NS(S)de rang25et de discriminant320. (d) Elles sont isomorphes à la courbex3+y3+z3=0.
4. Fibrations de la surface de Fano de la cubique de Fermat
Étudions la surface de Fano de la cubique de Fermat à travers sa variété d’AlbaneseA. NotonsNS(A)le groupe de Néron–Severi deAetϑ:S→Aun morphisme d’Albanese.
Soit α une racine primitive troisième de l’unité, notons Λ∗A le sous-Z[α]-module libre de rang 5 de Ho(ΩS) engendré par les formes :xi−βxj(i < j, β∈μ3). Soite1, . . . , e5∈Ho(ΩS)∗la base duale dex1, . . . , x5, définissons le produit hermitien de deux formes, ∈Λ∗Apar :
, =
k=5
k=1
ek()ek() et la norme depar : =√
, .
Théorème 3.La variétéAest isomorphe àE4×EoùE=C/Z[α]etE=C/Z[3α].
L’image du morphismeϑ∗:NS(A)→NS(S)est un sous-réseau de rang25et de discriminant22318.
A toute forme non nulle∈Λ∗A, on peut associer une fibrationγ:S→E. SiFune fibre deγ, l’intersection de Fet de la courbeEβij→Svaut:
EijβF=(ei−βej)()2.
La fibreFest de genre:g(F)=1+32et est connexe si les entiers|(ei−βej)()|2sont premiers entre eux dans leur ensemble. Soitun second élément non nul deΛ∗A, alors:FF= 22− , , .
Exemples. Pour 1i < j 5, notons Bij le diviseur : Bij =
β∈μ3Eijβ. Soit i et j < r < s < t tels que {i, j, r, s, t} = {1,2,3,4,5}, les diviseursBj r+Bst,Bj s+Brt et Bj t +Brs sont les 3 fibres singulières de la fi- bration à fibres connexesγioùi=(1−α)xi∈Λ∗A.
Le diviseur
1i<j5Eij1 est une fibre de la fibration de Stein associée àγoù=(1−α)(x1+ · · · +x5)∈Λ∗A. Ce théorème permet également de construire une infinité de fibrations à fibres connexes possédant 9 sections.
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5. Arrangement de courbes elliptiques
Comme pour les arrangements de droites deP2[2], l’arrangement des courbes elliptiques de la surface de Fano de la cubique de Fermat permet la construction de surfaces :
Lemme 3.Soit{i, j, r, s, t} = {1,2,3,4,5},i < j, r < s < t, le diviseur canoniqueKijassocié à la2-formexi∧xj∈ Ho(S, ωS)vérifie:Kij=2Bij+Brs+Brt+Bst.
Soitk(S)le corps de fonctions de S, pour 1i < j5, notonsfij ∈k(S)une fonction rationnelle telle que div(fij)=Kij−K12(où div(f )est le diviseur associé àf ∈k(S)). Soitn∈N∗, considérons l’extension :
k(S)n
f12, . . . ,n f45
à ce corps correspond une surface lisse minimaleSnet un morphismef:Sn→S de degrén9. NotonsΣ la somme des courbes lisses de genre 1 deS.
Proposition 3.La nombre d’Euler deSneste(Sn)=162n9−270n8+135n7et un diviseur canonique est:KSn=
3n−2 2n f∗Σ.
6. Surface de Fano de la cubique de Klein
SoitF →P4une cubique lisse, notonsAut (F )son groupe d’automorphismes,Ssa surface de Fano etAla variété d’Albanese deS. Soitϑ:S→Aun morphisme d’Albanese, c’est un plongement, de plus :
Lemme 4.Il existe une polarisation principaleΘdeAtelle que la classe de cohomologie de la surfaceϑ (S)dans H6(A)soit31!Θ3[1]. Le groupe Aut(F )agit surAet préserveΘ, son ordre divise11.7.5236223.
L’unique cubique qui possède un automorphisme d’ordre 11 est la cubique de Klein : F:x1x52+x5x32+x3x42+x4x22+x2x21=0.
NotonsNS(S)etNS(A)les groupes de Néron-Severi de sa surface de FanoSet de la variété d’AlbaneseAdeS.
Proposition 4.La variétéAest isomorphe àE5oùE est la courbeC/Z[ν]avec ν=1+√2−11. L’image du mor- phismeϑ∗:NS(A)→NS(S)est un sous-réseau de rang25et de discriminant221110.
Références
[1] H. Clemens, P. Griffiths, The intermediate Jacobian of the cubic threefold, Ann. of Math. 95 (1972) 281–356.
[2] F. Hirzebruch, Arrangements of lines and algebraic surfaces, in: Arithmetic and Geometry, in: Progr. Math., vol. 36, Birkhäuser, 1983, pp. 113–
140.
[3] X. Roulleau, L’application cotangente des surfaces de type général, Thèse, Université d’Angers, 2007.