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Courbes elliptiques, fibrations et automorphismes des surfaces de Fano

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Texte intégral

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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007) 209–212

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Géométrie algébrique

Courbes elliptiques, fibrations et automorphismes des surfaces de Fano

Xavier Roulleau

Université d’Angers, département de mathématiques, 2, boulevard Lavoisier, 49045 Angers cedex 01, France Reçu le 23 avril 2007 ; accepté après révision le 26 juin 2007

Disponible sur Internet le 30 juillet 2007 Présenté par Jean-Pierre Serre

Résumé

Dans cette Note, nous classifions les configurations formées par les courbes elliptiques des surfaces de Fano. Nous montrons le lien entre courbes elliptiques et automorphismes d’ordre 2 d’une telle surface. Nous étudions alors la surface de Fano de la cubique de Fermat deP4.Pour citer cet article : X. Roulleau, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

©2007 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.

Abstract

Elliptic curves, fibrations and automorphisms of Fano’s surfaces.In this Note we classify the Fano’s surfaces according to the configuration of their elliptic curves. We show the link between these curves and order 2 automorphisms of such a surface.

Then we examine the Fano’s surface of the Fermat’s cubic ofP4.To cite this article: X. Roulleau, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

©2007 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.

1. Cadre théorique de l’étude

SoitS/C une surface lisse de type général dont le fibré cotangentΩS est engendré par l’espaceHoS)de ses sections globales et d’irrégularitéq >3. NotonsTS le fibré tangent,π:P(TS)Sla projection surSdu projectivisé du fibré tangent etOP(TS)(1)le fibré inversible tel que :π(OP(TS)(1))ΩS. Puisque le morphismeHoS)OSΩSest surjectif, le morphismeHoS)OP(TS)OP(TS)(1)est surjectif et définit un morphisme :

ψ:P(TS)→P

HoS)

=Pq1

que nous appellerons l’application cotangente de la surface.

Le fibré cotangent est dit ample si les fibres de l’application cotangenteψsont finies. Sipest un point dePq1tel que la fibreψ1p ne soit pas finie, alorspest le sommet d’un cône etψ1p est de dimension 1. Les composantes irréductibles de dimension 1 de l’image deψ1pparπseront qualifiées de courbes non-amples.

Adresse e-mail :xavier.roulleau@etud.univ-angers.fr.

1631-073X/$ – see front matter ©2007 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.

doi:10.1016/j.crma.2007.06.022

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L’étude de cette application cotangente fait l’objet d’une thèse [3] ; sous la direction du Professeur Reider. La présente note classifie les configurations formées par les courbes non-amples des surfaces de Fano.

2. Courbes elliptiques des surfaces de Fano

SoitF une hypersurface cubique lisse deP4et soitSla surface de Fano qui paramètre les droites deF. La surface Svérifie les hypothèses du premier paragraphe, son irrégularité estq=5 et l’image de son application cotangenteψ est une hypersurface cubiqueFdeP(HoS))isomorphe à la cubiqueF [1] ; nous identifieronsF etF.

Lemme 1.Les courbes non-amples de la surface de FanoS correspondent bijectivement aux hyperplans deP4qui découpent la cubiqueF en un cône.

Une courbeE Sest non-ample si et seulement si elle est lisse de genre1. En ce casEvérifie:E2= −3.

SoitE Sune courbe lisse de genre 1, soitple sommet du côneψπEet soitsun point générique deS, notons Xsle plan contenant le sommetpet la droiteLs=ψ (π1s) F. Le planXsdécoupe la cubiqueF en trois droites : (1) la droiteLs, (2) la droiteLγE(s)(contenue dans le cône) passant par le sommetpet par le point intersection deLs

et du côneψπE, (3) la droite résiduelleLσE(s)telle que : XsF=Ls+LγE(s)+LσE(s).

Nous avons ainsi défini deux applications rationnellesγE:SE,σE:SS, ces applications sont des morphismes etσE est une involution.

Proposition 1.L’automorphismeσE fixeEet27points isolés. La fibrationγE est semi-stable, invariante parσEet ses fibres sont de genre7.

Notons 1S le morphisme identité deS.

Proposition 2.SoitE, Edeux courbes lisses de genre1distinctes contenues dansS. L’intersection deE et deE vaut0ou1et:EσE)3EE=1S. SiEE=0, alors la surface contient une troisième courbeσEE=σEE.

La fibrationγEcontracteEsi et seulement siEE=1, sinonEest une section de la fibrationγE.

NotonsAut(S)le groupe d’automorphismes deS. Ce groupe agit sur l’espaceHoS), soit : Aut (S)GL

HoS) , τMτ

la représentation duale, et soitq:GL(HoS))PGL(HoS))le quotient naturel.

Lemme 2.Le morphismeτAut(S)q(Mτ)est injectif et son image est le groupe Aut(F )des automorphismes de la cubiqueF →P4.

SoitE l’ensemble des courbes lisses de genre 1 contenues dansS. Pour toutEE, le morphismeMσE est une réflexion d’ordre 2 ; notonsMSGL(HoS))le groupe de réflexions complexes engendré par les morphismes

MσE, EE. Soitn >0 un entier, notons ΣnGLn(C)le groupe des matrices de permutations etA(3,3, n)⊂ GLn(C)le groupe des matrices diagonales, de déterminant 1 et d’ordre 3. Notons de plusG(3,3, n)le groupe engendré parA(3,3, n)etΣn. On notera[ ]2le groupe d’ordre 2.

Théorème 1. Si le groupeMSest irréductible, alors il est isomorphe à l’un des groupes suivants:

groupe {1} [ ]2 G(3,3,2) Σ4 Σ5 G(3,3,5)

nombre de courbes elliptiques deS 0 1 3 6 10 30

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SinonMSest isomorphe à l’un des groupes suivants:

[ ]2× [ ]2 G(3,3,2)× [ ]2 G(3,3,2)×G(3,3,2) G(3,3,3)×G(3,3,2)

2 4 6 12

Soit E, EE, alors on connait l’intersectionEE et, connaissant la cubique F, il est possible de donner un modèle plan de la courbeE.

Exemple.SiMS est isomorphe àG(3,3,3)×G(3,3,2), alors il existeλ∈Cet des coordonnées homogènes telles que la cubiqueF soit l’hypersurface :x13+x23+x33−3λx1x2x3+x43+x53=0. Ces cubiques permettent de construire une infinité de surfaces de Fano dont le groupe de Néron–Severi est de rang 25=h1,1.

3. Surface de Fano de la cubique de Fermat

Considérons la surface de FanoSde la cubique de FermatF:x13+x23+x33+x43+x53=0. Notonsμ3le groupe des racines troisièmes de l’unité et #T le cardinal d’un ensembleT.

Théorème 2. La surface S est l’unique surface de Fano(à isomorphisme près)qui possède 30courbes lisses de genre1. Celles-ci sont numérotées:Eijβ, 1i < j5, β∈μ3.

(a) SoitEγijetEstβ deux courbes elliptiques contenues dansS, alorsEijγEstβ =1si et seulement si#{i, j, s, t} =4.

(b) Le groupe de Néron–Severi NS(S)de la surface est de rang25=h1,1.

(c) Les30courbes elliptiques engendrent un sous-réseau de NS(S)de rang25et de discriminant320. (d) Elles sont isomorphes à la courbex3+y3+z3=0.

4. Fibrations de la surface de Fano de la cubique de Fermat

Étudions la surface de Fano de la cubique de Fermat à travers sa variété d’AlbaneseA. NotonsNS(A)le groupe de Néron–Severi deAetϑ:SAun morphisme d’Albanese.

Soit α une racine primitive troisième de l’unité, notons ΛA le sous-Z[α]-module libre de rang 5 de HoS) engendré par les formes :xiβxj(i < j, βμ3). Soite1, . . . , e5HoS)la base duale dex1, . . . , x5, définissons le produit hermitien de deux formes, ΛApar :

, =

k=5

k=1

ek()ek() et la norme depar : =√

, .

Théorème 3.La variétéAest isomorphe àE4×EE=C/Z[α]etE=C/Z[3α].

L’image du morphismeϑ:NS(A)NS(S)est un sous-réseau de rang25et de discriminant22318.

A toute forme non nulleΛA, on peut associer une fibrationγ:S→E. SiFune fibre deγ, l’intersection de Fet de la courbeEβijSvaut:

EijβF=(eiβej)()2.

La fibreFest de genre:g(F)=1+32et est connexe si les entiers|(eiβej)()|2sont premiers entre eux dans leur ensemble. Soitun second élément non nul deΛA, alors:FF= 22, , .

Exemples. Pour 1i < j 5, notons Bij le diviseur : Bij =

βμ3Eijβ. Soit i et j < r < s < t tels que {i, j, r, s, t} = {1,2,3,4,5}, les diviseursBj r+Bst,Bj s+Brt et Bj t +Brs sont les 3 fibres singulières de la fi- bration à fibres connexesγii=(1α)xiΛA.

Le diviseur

1i<j5Eij1 est une fibre de la fibration de Stein associée àγ=(1α)(x1+ · · · +x5)ΛA. Ce théorème permet également de construire une infinité de fibrations à fibres connexes possédant 9 sections.

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5. Arrangement de courbes elliptiques

Comme pour les arrangements de droites deP2[2], l’arrangement des courbes elliptiques de la surface de Fano de la cubique de Fermat permet la construction de surfaces :

Lemme 3.Soit{i, j, r, s, t} = {1,2,3,4,5},i < j, r < s < t, le diviseur canoniqueKijassocié à la2-formexixjHo(S, ωS)vérifie:Kij=2Bij+Brs+Brt+Bst.

Soitk(S)le corps de fonctions de S, pour 1i < j5, notonsfijk(S)une fonction rationnelle telle que div(fij)=KijK12(où div(f )est le diviseur associé àfk(S)). Soitn∈N, considérons l’extension :

k(S)n

f12, . . . ,n f45

à ce corps correspond une surface lisse minimaleSnet un morphismef:SnS de degrén9. NotonsΣ la somme des courbes lisses de genre 1 deS.

Proposition 3.La nombre d’Euler deSneste(Sn)=162n9−270n8+135n7et un diviseur canonique est:KSn=

3n2 2n fΣ.

6. Surface de Fano de la cubique de Klein

SoitF →P4une cubique lisse, notonsAut (F )son groupe d’automorphismes,Ssa surface de Fano etAla variété d’Albanese deS. Soitϑ:SAun morphisme d’Albanese, c’est un plongement, de plus :

Lemme 4.Il existe une polarisation principaleΘdeAtelle que la classe de cohomologie de la surfaceϑ (S)dans H6(A)soit31!Θ3[1]. Le groupe Aut(F )agit surAet préserveΘ, son ordre divise11.7.5236223.

L’unique cubique qui possède un automorphisme d’ordre 11 est la cubique de Klein : F:x1x52+x5x32+x3x42+x4x22+x2x21=0.

NotonsNS(S)etNS(A)les groupes de Néron-Severi de sa surface de FanoSet de la variété d’AlbaneseAdeS.

Proposition 4.La variétéAest isomorphe àE5E est la courbeC/Z[ν]avec ν=1+211. L’image du mor- phismeϑ:NS(A)NS(S)est un sous-réseau de rang25et de discriminant221110.

Références

[1] H. Clemens, P. Griffiths, The intermediate Jacobian of the cubic threefold, Ann. of Math. 95 (1972) 281–356.

[2] F. Hirzebruch, Arrangements of lines and algebraic surfaces, in: Arithmetic and Geometry, in: Progr. Math., vol. 36, Birkhäuser, 1983, pp. 113–

140.

[3] X. Roulleau, L’application cotangente des surfaces de type général, Thèse, Université d’Angers, 2007.

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