Devoir no9 - Applications du Produit Scalaire - Suites - 1S 28 mars 2014 - 2 h
Exercice 1 (3 pts) : Dans un rep`ere orthonorm´e du plan, on donne la droite D d’´equation 2x−5y+ 3 = 0.
1. D´eterminer un vecteur directeur de D.
2. D´eterminer une ´equation de la droite ∆ perpendiculaire `a D passant par le pointA(−1; 6).
3. D´eterminer une ´equation du cercle C de diam`etre [AB] avec B(1; 1).
4. Justifier que C etD sont tangents.
Exercice 2 (6 pts) : Dans un rep`ere orthonorm´e (O;#–
i ,#–
j) du plan, on donne les pointsA(2; 1) etB(−1; 4).
Pour tout point M(x;y), on poseh(M) = 2M A2+M B2. 1. V´erifier que h(M) = 3(x2+y2−2x−4y+ 9).
2. On note Ek l’ensemble des points M tels queh(M) =ko`u k est un r´eel donn´e.
a) Montrer queE9 est l’ensemble vide.
b) Montrer queE27 est le cercle C de centreE(1; 2) de rayon √
5, puis le tracer.
3. D´eterminer une ´equation du cercle C′ de centreF(−4; 2) de rayon √
10) ; tracer C′. 4. D´eterminer les coordonn´ees des points I etJ intersections des cercles C etC′.
Exercice 3 (3 pts) : SoientA etB deux points du plan tels queAB= 5.
On cherche `a d´eterminer l’ensembleE des pointsM du plan tels que M A2−M B2 = 10.
1. On note I le milieu de [AB] ; d´emontrer que M ∈E ⇔−−→ AB.−−→
IM = 5.
2. Soit H le projet´e orthogonal du pointM sur (AB) ; montrer queM ∈E ⇔IH= 1.
En d´eduire la nature de l’ensemble E.
Exercice 4 (3 pts) : Les deux questions sont ind´ependantes.
1. Montrer que pour tout r´eel x : cos(x−π
6) = sin(x+π 3) 2. On donne cosx=
p2−√ 2
2 etx∈[−π 4; 0].
Calculer sinx, puis sin 2x; en d´eduire la valeur exacte de 2x, puis celle dex.
Exercice 5 (5 pts) :
1. (un) est une suite arithm´etique de premier termeu0 et de raisonr telle queu5 = 13 etu11= 31.
D´eterminer u0 etr.
2. Calculer S=−5−3−1 + 1 +· · ·+ 43 + 45 en utilisant une suite arithm´etique `a pr´eciser.
3. Etudier les variations des suites suivantes : a) (un) d´efinie par un = 3n
n pour n∈N∗.
b) (vn) d´efinie parv0 =−4 et vn+1=vn+n2−n+ 3 pour n∈N.
