D144 Parcours touristique dans un village médiéval [*** à la main]
Solution géométrique
D’après l’énoncé, il apparaît que le point F joue un rôle important. En effet il figure dans toutes les relations ci-après :
OF + FC = OE (1) EF + FO = EC (2)
CFO = OFE = 2 CPO = 2a (3)
Par différence (1) - (2) ,on obtient la relation (4) : EF – FC = EC – OE = OC. Il est alors naturel de tracer le cercle de centre F et de rayon FC = a qui coupe CE au point X et EF au point Y. On a FC = FX = FY = a.
On pose : OC = b et OX = c.
D’après (1), on obtient la relation OF + a = a + c. Il en résulte que OF = c et que le triangle OFX est isocèle de sommet O.
D’après (2), on a la relation a + b + c = EX + c + b. Il en découle que EX = a. Les deux triangles FCX et XFC sont isocèles l’un et l’autre de sommets respectifs F et X.
Dès lors ECF = CXF = 2 XEF = 2XFE et OFX = CXF. D’où OFE = OFX + XFE = 3 XEF = 3 CEF
D’après (4), on a EF – FC = EF – FY = EY = OC = b.
D’après (3), FO est bissectrice de CFE. Les deux triangles FCO et FYO avec deux côtés égaux et le même angle adjacent à ces deux côtés, sont égaux. Il en résulte OC = c = OY = EY. Le triangle YOE est isocèle de sommet Y. Par ailleurs comme CFO = OFE, on peut écrire : CFE = 6 CEF et comme on a l’identité CFE + CEF + ECF = 180°,on obtient 9 CEF = 180°. D’où CEF = 20° et CFO = OFE = EFP = 60°.
Toujours d’après (3), 2 CPO = CFO. D’où, CPO = 30°. Les droites EF et OP se coupent en H. Le triangle FHP est donc rectangle en H. Comme FE est bissectrice de OFP, FOP et EOP sont isocèles de sommets F et E. On en déduit que FP = c et EP = EO = a + b = CP. Le triangle PCE est un triangle isocèle de sommet P et EP = CP = a + C.
Beaucoup d’angles peuvent être mesurés . On peut les récapituler ci-après:
CEF = XFE = YOE = 20°
ECP = CEP = CXF = OFE = 40°
CFO = OFE = EFP = 60°
CPE = 100° et CPO = 30°.
On dispose de tous les éléments pour calculer la longueur L du parcours COCFEPFO en fonction de a,b et c.
L = CO + OC + CF + FE + EP + PF + FO = b + b + a + (a+b) + (a+c) + c + c = 3(a +b + c ) = 1500 mètres.
Le parcours a été bien choisi pour qu’il soit inutile d’utiliser la moindre formule trigonométrique...
