Calcul avancé Examen 4
Chapitre 6 : les équations différentielles 25 % de la note finale
Hiver 2017 Nom :_________________________
1. Trouvez la solution générale de l’équation suivante.
3 10
y′′+ y′− y=x
2. Résoudre
/
xy′ = y+xey x
et trouvez la solution particulière pour y(1) = 2.
3. Trouvez la solution générale de l’équation suivante.
(
y+cosx dx)
+xdy=04. Trouvez la solution générale de l’équation suivante.
sin xy′ +y=x x
Calcul avancé - examen 3
5. Trouvez la solution générale de l’équation suivante.
(
x+2y dx)
+(
3x+6y dy)
=06. Trouvez la solution générale de l’équation suivante.
( )
2 0 yy′′− y′ =7. Trouvez une famille de courbes orthogonales à la famille y=x2+C
8. En 1974, Stephen Hawking a découvert que les trous noirs émettent une petite quantité de radiation, entrainant ainsi une lente évaporation du trou noir au fil du temps. Selon Hawking, la masse d’un trou noir varie selon l’équation différentielle suivante.
23 3
2
1, 26 10 kgan dM
dt M
= − ×
a) Trouver la solution générale de cette équation.
b) Après une supernova, il se forme un trou noir dont la masse initiale est 6 x 1031 kg.
Combien de temps faudra-t-il pour que ce trou noir s’évapore complètement ? (Attendez-vous à un temps très long…)
Calcul avancé - examen 3
Réponses
1)
y C e =
1 5x+ C e
2 −2x−
101x −
10032) 2 1
ln ln
y x
e− x
=
−
3) y C sinx x
= −
4) sinx cos C
y x
x x
= − +
5)
3 y=C− x
6)
y C e =
2 C x17) ln c
y
x
=
8) a)M = 3M03−3, 78 10× 23 kgan3⋅t b) 5,71 x 1071 ans
