D1990. Un zeste de calcul
Soit un triangle ABC dont les côtés BC,CA et AB ont pour longueurs a,b,c. Les points P et Q sont les projections orthogonales de B et de C sur la bissectrice intérieure (L) de l’angle en A.
La parallèle au côté AB passant par P coupe la parallèle au côté AC passant par Q au point R. Soit S le point symétrique de R par rapport à (L). Calculer la longueur du segment AS en fonction de a,b,c.
La bissectrice intérieure issue de A partage l’angle  en deux demi-angles .
Ces angles se retrouvent dans le triangle (PQR) :
• en Q parce que (QR)∥(AC) ;
• en P, en tant qu’angle alterne/interne entre deux parallèles (RP) et (AB).
Le triangle (PQR) est donc isocèle, et PR = QR.
Les triangles (OQR) et (OPR) sont deux triangles rectangles avec l’hypothénuse (PR=QR) et le petit côté (OR commun) identiques : il sont donc superposables, et par suite OQ=OP.
Le quadrilatère (PRQR’) a donc ses diagonales qui se coupent en leur milieu (OR=OS par construction de S) : c’est donc un parallélogramme. Ayant deux côtés consécutifs de même longueur, c’est en plus un losange.
De ce fait, (SQ)∥(AB) et (SP)∥(AC) .
J est l’intersection de (SQ) avec (AC) et K, celle de (SP) avec (AB).
2
2
On note le complémentaire de .
Dans le triangle (BKP), on trouve cet angle en B, à cause du triangle rectangle (APB). On trouve également 2 en K en raison du parallélisme de (SP) et de (AC). Le dernier angle en P est donc égal à , et par suite le triangle (BKP) est isocèle de sommet K. D’où BK=KP.
Dans le triangle (AKP), outre l’angle défini en A, ce même angle se retrouve en P (les
diagonales d’un losange étant aussi ses bissectrices). Le triangle (AKP) est donc isocèle de sommet K, et par suite KP=KA.
On en tire KA = KB. K est donc le milieu de AB.
La droite (SP), parallèle à (AC) qui passe par le milieu de AB, doit passer nécessairement par le point I milieu de BC (théorème de Thalès).
Dans le triangle (QJC), l’angle en Q vaut en raison du parallélisme de (SQ) et (AB) coupé par une même droite (CQ). L’angle en J est 2, même parallélisme avec une sécante (AC). On en déduit que l’angle en C vaut également , et que par suite le triangle est isocèle de sommet J, et donc que JC=JQ.
Dans le triangle (QJA), l’angle en Q vaut , car il est complémentaire de défini ci-dessus en Q.
Le triangle est donc isocèle de sommet J et par suite, JQ = JA.
Il vient donc JA=JC. J est le milieu de AC, et toujours par application de Thalès, la droite (SQ), parallèle à (AB) qui passe par le milieu J de (AC) doit passer nécessairement par le point I, milieu de BC.
Les droites (SQ) et (SP) possèdent donc le point S en commun, et on vient de démontrer qu’elles ont aussi le point I en commun. Comme manifestement, elles ne sont pas confondues car parallèles respectivement à deux droites de directions distinctes, il s’ensuit que les points S et I sont
confondus. La droite AS est la médiane du triangle issue de A, et sa longueur est donnée par le théorème de la médiane :
2⋅AS2=AB2+AC2−BC2
2 , soit AS=
√
2⋅b2+2⋅c2−a22
