Licence Informatique S2
Contrôle Continue 1 (Logique, 2019-2020)
Durée : 2 heures. Documents non autorisés.
N.B. : Le barème est donné à titre indicatif.
Exercice 1 Question de cours (4 points)
1. Quel est la taille de la table de vérité d’une formule construite sur 1 variable propositionnelle ? (Justifier avec la table de vérité)
2. Combien existe t-il de formules non équivalentes construites sur 1 variables propositionnelle ? (Justifier avec la table de vérité)
3. Donner une formule équivalente à p → q avec comme seuls connecteurs ¬ et ∨. (Justifier avec la table de vérité)
4. Si la formule A est une tautologie, que peut-on dire de la formule ¬A ?
Exercice 2 (6 points)
Montrer la séquence suivante en appliquant les raisonnements basés sur la déduction naturelle, la table de vérité, et l’arbre de décomposition :
p → (q → r) ⊢ (p ∧ q )→ r
Exercice 3 (4 points)
Montrer que {¬, →} est suffisant pour exprimer toute formule logique (Ici, il suffit de montrer que l’on peut représenter ∧ et ∨ par {¬, →}).
Exercice 4 (6 points)
Une personne cherche un trésor dans 3 coffres numérotés de 1 à 3. Un seul de ces coffres contient le trésor. Sur chaque coffre il y a une instruction :
(1) Le trésor est dans ce coffre.
(2) Le trésor n’est pas dans ce coffre.
(3) Le trésor n’est pas dans le coffre 1.
Questions.
On introduit des variables propositionnelles P1 pour représenter le fait que le trésor est dans le coffre 1 et P2 pour représenter le fait que le trésor est dans le coffre 2.
1.Donner une formule qui utilise les variables P1 et P2 et qui est vraie exactement lorsque le trésor est dans le coffre 3.
2.Donner une formule qui utilise les variables P1 et P2 et qui représente le fait que le trésor est exactement dans un des coffres.
3.Sachant qu’une seule des instructionsest vraie, en déduire dans quel coffre est caché le trésor.
