Physique Statistique

Paris 7 PH 402

–

Physique Statistique

EXERCICES

Feuille 6 : Distribution grand-canonique, statistiques quantiques

1

Calculer le potentiel chimique du gaz parfait monoatomique dans l’approximation classique. ´Etudier son signe.

2

A la surface d’un solide se trouvent` Asites, susceptibles d’adsorber chacun au plus un atome. L’´energie d’un atome adsorb´e est−ε<sub>`</sub>.

1. Le syst`eme est en contact avec un r´eservoir (temp´erature T et potentiel chimique µ). Calculer le nombre moyen d’atomes adsorb´es sur la paroi.

2. Le solide pr´ec´edent constitue la paroi d’une enceinte de volumeV dans laquelle on introduitN atomes de gaz parfait `a la temp´eratureT. Exprimer le nombre moyen d’atomes adsorb´es sur la paroi.

3. Les atomes adsorb´es peuvent se d´eplacer librement sur la surface. Calculer le nombre moyen d’atomes adsorb´es.

3

Un solide contientAsites discernables. Chaque site est susceptible de pi´eger : – rien ;

– ou un ´electron de spin ↑qui a alors l’´energie ε_↑=ε0;

– ou un ´electron de spin ↓qui a alors la mˆeme ´energieε_↓=ε0;

– ou une paire d’´electrons de spins oppos´es qui a alors l’´energieε_↑↓ = 2ε₀+g, o`uε₀est une constante n´egative, g une constante positive qui repr´esente l’interaction de deux ´electrons situ´es sur le mˆeme site. On n´eglige les interactions entre ´electrons situ´es sur des sites diff´erents.

1. L’ensemble est en contact avec un r´eservoir d’´electrons et d’´energie, de potentiel chimique µ et de temp´eratureT. Calculer le nombre moyen d’´electrons pi´eg´es et l’´energie moyenne du solide.

2. Le nombre total d’´electrons dans le solide est en fait ´egal `aA. Calculer le potentiel chimique µet les nombres moyens N<sub>0</sub> de sites vides, N<sub>1</sub> de sites contenant un ´electron et N<sub>2</sub> de sites contenant une paire. Que valent N<sub>0</sub>,N<sub>1</sub>, et N<sub>2</sub>`a tr`es basse et tr`es haute temp´erature ?

3. Le solide est plac´e dans un champ magn´etiqueB. Soitmle module du moment magn´etique de chaque

´electron. Calculer l’aimantation moyenne du solide :

– quand il est en contact avec un r´eservoir d’´electrons de potentiel chimique µ; – quand le nombre d’´electrons est fix´e et ´egal `aA.

4

Dans une enceinte maintenue `a la temp´eratureT, on place un corps solide de N atomes identiques.

On d´ecrit le solide au moyen du mod`ele d’Einstein, et on d´esigne par ε<sub>`</sub> l’´energie de liaison (ou de lib´eration) de chaque atome (un oscillateur tridimensionnel isotrope, tout au moins aux basses excitations).

1. Calculer la fonction de partition du solide, ainsi que son potentiel chimique et son entropie.

2. Le solide s’´evapore partiellement dans l’enceinte. On assimile sa vapeur `a un gaz parfait monoatomique constitu´e de particules indiscernables de masse m qu’on traitera dans l’approximation classique.

Calculer le nombre moyen d’atomes `a l’´etat gazeux. En d´eduire la pression du gaz `a l’´equilibre avec le solide.

3. Dans la mesure o`u le volume occup´e par le solide satur´e est n´egligeable par rapport au volume occup´e,

`

a la mˆeme temp´erature, par la vapeur satur´ee, v´erifier la formule de Clapeyron pour la sublimation.

5

Deux partiqules sont en ´equilibre `a la temp´erature T. Chacune de ces partiqules a trois niveaux d’´energie (non d´eg´en´er´es) : 0,ε, 2ε. Calculer la fonction de partition dans les cas suivants :

– les partiqules sont discernables (par exemple π⁺ etπ⁻) ;

– les partiqules sont des fermions identiques (par exemple deux ´electrons) ; – les partiqules sont des bosons identiques (par exemple deux π⁰).

Et pour trois partiqules identiques ?

2 Paris 7, Phy. Stat. 6 : distribution grand-canonique, statistiques quantiques.

6

1. Etablir les expressions de la densit´e ´energ´etique d’´etats stationnaires d’une partiqule relativiste dans´ une caisse `a 1, 2 et 3 dimensions. Que deviennent ces expressions dans le cas non-relativiste ? Et dans le cas ultra-relativiste ?

2. On consid`ere un gaz de partiqules identiques, ind´ependantes, non relativistes, `a 1, 2 et 3 dimensions.

Trouver les relations entre l’´energie moyenne et le grand potentiel dans l’approximation thermody- namique (taille macroscopique, nombre de partiqules ´elev´e) dans les cas :

– de fermions ; – de bosons ;

– de l’approximation classique (temp´erature ´elev´ee, faible densit´e).

3. Qu’en est-il du cas relativiste ? Et du cas ultra-relativiste ?

7

On assimile les ´electrons de conduction d’un m´etal `a un gaz parfait d´eg´en´er´e deN ´electrons enferm´es dans un volumeV et on cherche `a calculer l’aimantation de spin de ces ´electrons lorsqu’ils sont plac´es dans un champ magn´etique uniformeB et maintenus `a la temp´eratureT.

1. Calculer les densit´es d’´etat ρ+(ε) et ρ₋(ε) correspondant respectivement aux valeurs +1/2 et−1/2 du nombre quantique de spin Sz (on appellera µB le module du moment magn´etique de spin des

´electrons).

2. D´eterminer le potentiel chimiqueµ₀ `a temp´erature et champ nuls.

3. Donner les expressions int´egrales des nombres moyens N₊ etN₋ en fonction de µ_B,T,µet B.

4. D´eterminer le potentiel chimiqueµet l’aimantation moyenneM `a temp´erature nulle et dans la limite o`u µ_BB ¿ µ₀. Consid´erant que, typiquement, dans le cuivre, la densit´e d’´electrons de conduction vautN/V ≈8,5×10²²cm⁻³, ´evaluerµ₀. Pour quelles valeurs de B le calcul pr´ec´edent est-il valable (µ_B= 5,8×10⁻⁵eV/Tesla) ? En de¸ca de quelle valeur de la temp´erature est-il raisonnable de consid´erer celle-ci comme nulle ?

5. Calculer l’aimantation `a temp´erature finie dans l’approximation classique. ´Etudier la limitemB¿kT. Comparer cette aimantation avec celle trouv´ee `a la question pr´ec´edente.

8

A temp´erature nulle, la bande de valence du semiconducteur` intrins`eque est pleine et la bande de conduction est vide. On appelle “gap” la diff´erence d’´energieε_g=^dfε_0c−ε_0v entre le bas de la bande de conduction et le haut de la bande de valence. La valeur du gap ε_g est typiquement de 0,5 `a 1 eV.

1. Montrer qu’`a temp´erature nulle le potentiel chimique est ind´e- termin´e. On le calculera donc comme limite de sa valeur `a temp´erature finie.

2. A temp´erature finie, des ´electrons peuvent passer dans la bande` de conduction, laissant des trous dans la bande de valence.

Lorsqu’un ´electron passe d’un ´etat de vecteur d’ondek, ´energie

εv(k) =ε0v−¯h²k²/2mv, dans la bande de valence `a un ´etat de vecteur d’ondek⁰, ´energieεc(k⁰) =ε0c+

¯

h²k⁰²/2mc, dans la bande de conduction, l’´energie du syst`eme augmente deεg+¯h<sup>2</sup>k<sup>02</sup>/2mc+¯h<sup>2</sup>k<sup>2</sup>/2mv, o`u les masses effectivesm_cetm_v sont des mesures des courbures des bandes d’´energie. Il est commode de consid´erer le syst`eme comme form´e d’´electrons d’´energies ε_g+ ¯h²k⁰²/2m_c et de trous, d’´energie

¯

h²k²/2m_v, ind´ependants et en nombres ´egaux.

i) Montrer que, en pratique (kT ¿ε_g), on peut traiter les ´electrons et les trous dans l’approximation de Maxwell-Boltzmann.

ii) D´eterminer la valeur du potentiel chimique des ´electrons. Quelle est sa limite lorsqueT tend vers z´ero ?

iii) D´eterminer les nombres d’´electrons libres et de trous.