COURBES PARAMÉTRÉES

CHAPITRE 8

COURBES PARAMÉTRÉES

8.1. Définition

Soit[a, b]un intervalle dansR, où(a, b)∈R²,a < b. On appellecourbe paramétrée de classeC⁰dansR^dtoute application continueγ: [a, b]→R^d. En général, sin>1est un entier, on peut définir les courbes paramétrées de classeCⁿ d’une façon récursive.

On dit qu’une application γ: [a, b]→R^d est une courbe paramétrée de classe Cⁿ si elle est continûment différentiable sur l’intérieur de]a, b[et siγ⁰s’étend par continuité en une courbe paramétrée de classe Cⁿ⁻¹.

Soitγ: [a, b]→R^d une courbe paramétrée de classeC¹. Soitxun point intérieur de[a, b]. On dit que la courbe paramétrée est régulière ent∈]a, b[siγ⁰(t)6= 0. Dans ce cas-là la tangente deγenxest définie comme la droite

γ(t) +uγ⁰(t), u∈R.

On dit qu’une courbe paramétrée est régulière si elle est régulière en tout point inté- rieur de[a, b].

8.2. Changement de paramétrisation

Soitγ : [a, b]→R^d une courbe paramétrée. Si [a⁰, b⁰] est un autre intervalle deR et si ϕ : [a⁰, b⁰] → [a, b] est une bijection telle queϕ et ϕ⁻¹ soient continues, alors γ◦ϕ: [a⁰, b⁰]→R^dest une courbe paramétrée. Le procédé d’associerγà la courbeγ◦ϕ est appelé un changement de paramétrisation (on dit aussi queϕest un changement de paramétrisation). Si la fonctionϕest de classeC¹ et si la conditionϕ⁰(u)6= 0est vérifiée pour toutu∈]a⁰, b⁰[, on dit que le changement de paramétrisation estrégulier.

On peut facilement démontrer que, si le changement de paramétrisation est régulier et si la courbeγest de classeC¹, alors il en est de même de la courbe paramétréeγ◦ϕ.

En outre, la courbeγ est régulière ent∈]a, b[si et seulement siγ◦ϕest régulière en ϕ⁻¹(t)∈]a⁰, b⁰[.

54 CHAPITRE 8. COURBES PARAMÉTRÉES

8.3. Longueur d’une courbe paramétrée

Soitγ: [a, b]→R^d une courbe paramétrée qui est régulière de classeC¹. Sit₀est un point de]a, b[, on définit une fonctions: [a, b]→R^d comme suit

s(t) = Z t

t0

kγ⁰(u)kdu.

On utilise aussi l’expression s_γ,t0 pour désigner cette fonction. C’est une fonction strictement croissante et continue sur [a, b], donc définit une bijection entre[a, b]et son image s([a, b]). En outre, la fonction s est continûment différentiable et on a s⁰(t) = kγ⁰(t)k. Si ϕ : [a⁰, b⁰] → [a, b] est un changement de paramétrisation qui est régulier, alors on a

(8.1) s_γ◦ϕ,ϕ⁻¹(t₀)=sγ,t0◦ϕ.

L’applicationsdéfinit un changement de paramétrisation pour la courbe paramétrée γ. Plus précisément, l’application composée γ◦s⁻¹ :s([a, b]) → R^d est une courbe paramétrée de classeC¹qui est régulière.

Soitγ: [a, b]→R^dune courbe paramétrée de classeC¹. On dit queγestparamétrée par longueur sikγ⁰(t)k= 1pour toutt∈]a, b[.

Proposition 8.1. — Soientγ: [a, b]→R^d une courbe paramétrée ets: [a, b]→Rla fonction de longueur associée. Alors la courbe γ◦s⁻¹:s([a, b])→R^d est paramétrée par la longueur.

Démonstration. — Par définition on a

(8.2) (γ◦s⁻¹)⁰= (γ⁰◦s⁻¹)(s⁻¹)⁰ =γ⁰◦s⁻¹

s⁰◦s⁻¹ = γ⁰◦s⁻¹ kγ⁰◦s⁻¹k, d’oùk(γ◦s⁻¹)⁰k= 1.

8.4. Courbure

Soit γ : [a, b] → R^d une courbe paramétrée. On choisit t₀ ∈]a, b[ et définit la fonction de longueurs: [a, b]→Rcomme

s(t) = Z t

t0

kγ⁰(u)kdu.

Pour toutt∈]a, b[, on définit lacourbure deγ entcomme κγ(t) :=k(γ◦s⁻¹)⁰⁰(s(t))k.

Remarque 8.2. — Cette définition ne dépend pas du choix de t0 car le choix d’un autre point entraîne la difference de la fonction s par une constante. En outre, la relation (8.1) montre que la fonction de courbure est invariante sous changement de paramétrisations régulier. Autrement dit, siϕest un changement de paramétrisation régulier, alors on aκγ◦ϕ=κγ◦ϕ.

8.4. COURBURE 55

Il est utile de donner la formule générale pour calculer la courbure.

Théorème 8.3. — Soit γ : [a, b]→R^d une courbe paramétrée. Pour tout t ∈]a, b[, on a

κ_γ(t) = 1 kγ⁰(t)k² ·

γ⁰⁰(t)−hγ⁰⁰(t), γ⁰(t)i kγ⁰(t)k² γ⁰(t)

Démonstration. — D’après (8.2), on a (γ◦s⁻¹)⁰⁰= (γ⁰◦s⁻¹)⁰

kγ⁰◦s⁻¹k − kγ⁰◦s⁻¹k⁰

kγ⁰◦s⁻¹k²(γ⁰◦s⁻¹)

= γ⁰⁰◦s⁻¹

kγ⁰◦s⁻¹k²− kγ⁰◦s⁻¹k⁰

kγ⁰◦s⁻¹k²(γ⁰◦s⁻¹) En outre, on akγ⁰◦s⁻¹k=hγ⁰◦s⁻¹, γ⁰◦s⁻¹i^1/2. Donc

kγ⁰◦s⁻¹k⁰= 1

kγ⁰◦s⁻¹khγ⁰◦s⁻¹,(γ⁰◦s⁻¹)⁰i=hγ⁰◦s⁻¹, γ⁰⁰◦s⁻¹i kγ⁰◦s⁻¹k² . Par conséquent, on a

κγ = 1 kγ⁰k² ·

γ⁰⁰−hγ⁰⁰, γ⁰i kγ⁰k² γ⁰

8.4.1. Formules de Frénet. — Dans ce sous-paragraphe, on considère les courbes paramétrées dansR². On fixe une courbe paramétréeγ: [a, b]→R²de classeC²qui est supposée êtreparamétrée par longueur.

Définition 8.4. — Pour touts∈]a, b[, on désigne parT(s)le vecteur tangent deγ ens, défini commeT⁰(s).

Proposition 8.5. — Pour tout s∈]a, b[, le vecteurT⁰(s)est orthogonal àT(s). En outre, la longueur deT⁰(s)estκγ(s).

Démonstration. — On a kT(s)k²=hT(s), T(s)i= 1. Donc 0 = d

dskT(s)k²= 2hT(s), T⁰(s)i.

Enfin

kT⁰(s)k=kγ⁰⁰(s)k=κ_γ(s).

Définition 8.6. — Pour touts∈]a, b[, on désigne parN(s)le vecteur 1

κ_γ(s)T⁰(s).

Proposition 8.7 (Formule de Frénet). — On a N⁰(s) =−κγ(s)T(s).

56 CHAPITRE 8. COURBES PARAMÉTRÉES

Démonstration. — On a déjà vu que N(s) est orthogonal à T(s), c’est-à-dire hN(s), T(s)i= 0, d’où

hN⁰(s), T(s)i+hN(s), T⁰(s)i= 0.

CommeT⁰(s) =κ_γ(s)N(s), on obtient

hN⁰(s), T(s)i=−κ_γ(s).

En outre, commekN(s)k= 1, on obtient queN⁰(s)est orthogonal à N(s), donc est proportionnel àT(s). On obtient alors que

N⁰(s) =−κγ(s)T(s).