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Combien de z´eros def(z) se trouvent `a l’int´erieur du parall´elogramme fondamental? Exercice 2

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Academic year: 2022

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Exercices sur les fonctions elliptiques

Exercice 1. D´eterminer les positions des pˆoles de la fonction elliptique f(z) = a℘2(z−α|ω1, ω2) +b℘(z−β|ω1, ω2)

et donner leurs ordres. Combien de z´eros def(z) se trouvent `a l’int´erieur du parall´elogramme fondamental?

Exercice 2. La fonction

g(z) =℘(2z|ω1, ω2) +℘(z+ 1|3ω12 3 ) est-elle elliptique? Si oui, trouvez ses p´eriodes.

Exercice 3. Exprimer la d´eriv´ee seconde ℘00(z) en fonction de ℘(z):

1. en utilisant l’´equation diff´erentielle pour ℘(z);

2. en utilisant les propri´et´es analytiques de ℘(z) (p´eriodicit´e, pˆoles, parit´e, etc).

Exercice 4. Montrer que l’´equation ℘(z) = const a au plus 2 solutions `a l’int´erieur du parall´elogramme fondamental. Donner les valeurs de ℘(z) de multiplicit´e 2.

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