J155. Comment changer les + en – J. Jeux de plateaux
Problème proposé par Raymond Bloch
Chaque case d’un quadrillage 100 x 100 contient un signe plus (+).
On peut inverser tous les signes d’une ligne ou d’une colonne, autant de fois qu’on le souhaite.
Peut-on obtenir 2020 signes moins (–) ?
Si oui, quel est le nombre minimum d’inversions nécessaires ?
Solution de Paul Voyer
Par renumérotation des lignes et des colonnes, on peut toujours se ramener à 4 rectangles x.y, x.(100-y), (100-x).y, (100-x).(100-y), deux d'entre eux contenant des (+), les deux autres des (-).
x représente le nombre de lignes inversées un nombre pair de fois, 100-x le nombre de lignes inversées un nombre impair de fois, idem y pour les colonnes.
Le nombre de (-) est x*(100-y)+y*(100-x) 2020 = 100(x+y)-2xy
Pas de solution (tableau EXCEL exhaustif).
