D2926. La cave à liqueurs
J’ai eu la chance de retrouver une vieille cave à liqueurs, avec tous les verres à l’intérieur. Malheureusement la façade a un peu souffert, à l’intérieur d’un motif ayant la forme d’un trapèze isocèle de bases 98 mm et 130 mm. En effet on observe des incrustations de fils d’argent sur les diagonales [DB] et [AC] encore bien présentes, tandis qu’hélas celles d’or sur [RU]et [EH], parallèles aux bases, sont abimées ou manquantes. Je ne suis pas spécialiste d’ébénisterie d’art et de marqueterie, mais je suis patient et j’ai le temps : je vais me lancer dans la restauration…
Je ne peux cependant m’empêcher de faire aussi un peu de maths… J’ai remarqué que les incrustations d’or seraient partagées en trois segments égaux : EF = FG = GH et RS = ST = TU par les diagonales AC et BD. Je me suis demandé si avec seulement les données précédentes, au lieu de la mesurer, on pouvait calculer quelle longueur totale de fil d’or (arrondie au mm supérieur) je devrai acheter ?
Solution
Posons pour la grande base AC = 2a = 130mm, pour la petite base DF = 2b = 98mm, pour la hauteur h (cette valeur n’intervient pas dans le résultat puisqu’un changement de l’échelle verticale ne change pas les proportions horizontales).
KB est une proportion x de la hauteur h (KB = xh) RE est une proportion y de la hauteur h (RE = yh)
Calculons OE et OB par similitude des triangles OEF et OBA : OE = bh/a+b) OB = ah/(a+b)
Calculons JL par similitude des triangles OAC et OJL : JL = 2(a-x(a+b)) Calculons IJ par similitude des triangles ADF et AIJ : IJ = 2bx
Or on veut que JL = IJ , d’où la valeur de x : x = a/(a+2b) donc IJ = JL = LM = 2ab/(a+2b) Avec le même type de raisonnement
on obtient QS = 2(b-y(a+b)) et PQ = 2ay, d’où y = b/(2a+b) donc PQ = QS = ST = 2ab/(2a+b) La longueur totale de fil d’or est : L = 3.IJ + 3.PQ
L = 18ab(a+b)/((2a+b)(a+2b)) Avec les valeurs numériques choisies : L = 223,999 arrondi à 224 mm
