Correction des exercices relatifs aux suites récurrentes
Exercice 58 p 183
On considère la suite (un) définie par =
=
1) Démontrons que la suite est bornée et croissante.
a) Démontrons par récurrence, que pour tout entier ≥ 1, 1 < < 3.
Soit ∈ ℕ∗, : " < < 3.
Au brouillon, je remarque que le travail par inégalités successives n’aboutit pas pour démontrer l’hérédité de la propriété ! #1 < $ < < %% &'() *++ > 3- .
Revenons à la définition de la suite.
. =
= / avec /0 = 11 définie sur [1 ; 3].
Etudions cette fonction sur [1 ; 3].
f est une fonction rationnelle donc dérivable sur [1 ; 3] et pour tout réel x, 234 =47 56 *> 8. Or le signe de la dérivée nous donne le sens de variation de la fonction donc f est strictement croissante sur [1 ; 3] (1)
Si " < 0 < 3 alors 2" < /4 < /3 c’est-à-dire ""
+ < /4 < 3 soit 1 < /4 < 3 (2)
Initialisation :
= donc = 9
9 c’est-à-dire = 9
9 donc = : et 1 < < 3. Donc " est vraie, la propriété est initialisée.
Hérédité :
Supposons la propriété vraie pour un certain rang n et montrons qu’elle est encore vraie pour le rang n+1, c’est-à-dire montrons que 1 < < 3.
La propriété est vraie au rang n donc 1 < < 3 (H.R).
1 < < 3 donc d’après (2) 1 < / < 3 soit 1 < < 3 donc " est vraie et la propriété est héréditaire.
La propriété est initialisée et héréditaire, donc d’après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout ∈ ℕ∗.
b) Montrons que la suite est strictement croissante.
Soit ∈ ℕ, ; : < < ".
Démontrons que la propriété est vraie pour tout ∈ ℕ, en raisonnant par récurrence.
Initialisation :
= et = : donc < .
La propriété est vraie au rang 0, elle est donc initialisée.
Hérédité :
Supposons la propriété vraie pour un certain rang n et montrons qu’elle est encore vraie pour le rang n+1, c’est-à-dire montrons que < .
La propriété est vraie au rang n donc < (H.R).
1 < < 3 donc d’après (1), comme f est strictement croissante sur [1 ; 3], on a
/ < / c’est-à-dire < donc ;" est vraie et la propriété est héréditaire.
La propriété est initialisée et héréditaire, donc d’après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout ∈ ℕ.
Donc la suite est strictement croissante.
2) On considère la suite = définie par = = >
a) Démontrons que cette suite est géométrique.
Soit ∈ ℕ, = =?@?@> c’est-à-dire == AB?CAB?CB?D>
B?D donc = =AB?CB?DAB?C>CB?@AB?D B?DB?DB?D
Donc = = E$>E$ c’est-à-dire F" =6GF
La suite F est donc la suite géométrique de raison 6
G et de premier termeF8= −6I . b) −1 <E$< 1 donc JKL→NF = 8.
3) Soit ∈ ℕ, = =>
donc = + 1 = − 3 d’où =− 1 = −= − 3 soit = P>P lim→N= = 0 donc JKL→N< = I.
Exercice 63 p 183
On considère la suite (un) définie par . ∈ ]0; 5]
= X5
1) A l’aide de la calculatrice, il semble que la suite est strictement croissante et convergente vers 5.
2) Démontrons par récurrence, que pour tout entier ≥ 0, 0 ≤ ≤ 5.
Soit ∈ ℕ, : 8 ≤ < ≤ 6. Initialisation :
∈ ]0; 5] Zonc 0 ≤ ≤ 5 [\ 8 est vraie, la propriété est initialisée.
Hérédité :
Supposons la propriété vraie pour un certain rang n et montrons qu’elle est encore vraie pour le rang n+1, c’est-à-dire montrons que 0 ≤ ≤ 5.
La propriété est vraie au rang n donc 0 ≤ ≤ 5 (H.R).
On a donc 0 ≤ 5 ≤ 25 [\ ^'_ )(\[ √0 ≤ X ≤ √25 car la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; 5] soit 0 ≤ ≤ 5.
Donc " est vraie et la propriété est héréditaire.
La propriété est initialisée et héréditaire, donc d’après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout ∈ ℕ.
3) Montrons que la suite est strictement croissante.
Soit ∈ ℕ, ; : < < ".
Démontrons que la propriété est vraie pour tout ∈ ℕ, en raisonnant par récurrence.
Initialisation :
∈ ]0; 5] et = X5. La fonction 4 → √64 est une fonction strictement croissante sur [0 ; 5]
(composée de deux fonctions strictement croissantes), donc < . La propriété est vraie au rang 0, elle est donc initialisée.
Hérédité :
Supposons la propriété vraie pour un certain rang n et montrons qu’elle est encore vraie pour le rang n+1, c’est-à-dire montrons que < .
La propriété est vraie au rang n donc < (H.R).
0 ≤ ≤ 5 [\ la fonction 4 → √64 est une fonction strictement croissante sur [0 ; 5], on a / < / c’est-à-dire < donc ;" est vraie et la propriété est héréditaire.
La propriété est initialisée et héréditaire, donc d’après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout ∈ ℕ.
Donc la suite est strictement croissante.
Démontrons que la suite converge vers 5.
a bcd cdeKfdbLbgd fehKccigdb
j<k l<l ∈ ℕ, 8 ≤ < ≤ 6 m donc d’après le théorème de convergence des suites monotones, la suite u converge vers un réel l et 8 ≤ n ≤ 6.
no 2plq 2: 4 → √64 rl plq<r <k [8; 6]
a fhgtbeub tbec ag eébJ n itbf 8 ≤ n ≤ 6 w donc f est continue en l et d’après le théorème du point fixe, l est solution de l’équation f (x) = x.
Résolvons sur [0 ; 5] l’équation f (x) = x.
f (x) = x ⟺ √50 = 0
⟺50 = 0² car √50 > 0 [\ 0 > 0 ⟺00 − 5 = 0
⟺0 = 5 z'_ 0 > 0
Par suite, on déduit que la suite u converge vers 5.
Exercice 74 p 185
On considère la suite (Sn) définie pour tout entier n≥ 1, ^'_ { = ∑}~} On considère la suite (un) définie pour tout entier n≥ 1, ^'_ = {− ln 1) Calculons les 5 1ers termes de la suite u.
<"= "− Jg" = "
<*= *− Jg* =I
* − n*
<I= I− JgI =6 I − nI
<5= 5− Jg5 =*6
"* − n5
<6= 6− Jg6 ="I+
78 − n6
2) Soit ∈ ℕ∗, − = {− ln + 1 − {+ ln
Or {− { = ∑}~}− ∑}~} = ( les gêneurs, les tueurs…)
Donc − = − ln + 1 + ln c’est-à-dire − = + # - car n > 0 et n+1 > 0.
Par suite, − = + #> - soit − = + #1 − -.
≥ 1, Zz + 1 ≥ 2 > 1 > 0 Zz < 1 par stricte décroissance de la fonction inverse sur ]0 ; +∞[ et donc − > −1.
D’après le rappel donné, on a donc −"" ≥ n #" −"" -. Donc "
"+ n #" −"" - < "" −"" et par suite, <"− < ≤ 8.
La suite u est donc décroissante.
3) On considère la suite (vn) définie pour tout entier n≥ 1, ^'_ = = − Soit ∈ ℕ∗, =− = = − − +donc
F"− F = "" + n #" −"" - −"" +"
F"− F = n #" −"" - +"
F"− F = n #
+ "- +"
F"− F = n #" ->" +"
F"− F = −n #" +"- +" car pour tout 4 > 0, Jg4>" = −n4.
"
> 0 > −1 Zz 3ojkè *. , o "≥ n #" +"- p F"− F ≥ 8 et par suite, (vn) est croissante.
4) Démontrons que ces deux suites sont adjacentes.
lim→N =− = lim→N#- = 0.
< rl épkqolr F rl pkqolr
JKL→N F− < = 8 donc u et v sont deux suites adjacentes.
u et v sont deux suites adjacentes donc elles convergent et convergent vers la même limite.
Leur limite commune est appelée la constante d’Euler et on la note . 5) Déterminons un encadrement à 10> de .
On sait que pour tout ∈ ℕ∗, = ≤ ≤ . Pour = "8, <− F = "8" = "8>"
Donc F"8 ≤ ≤ <"8 avec <"8 ≃ 0,626 et F"8 ≃ 0,526.
Exercice 75 p 185
1) On définit pour tout entier naturel n> 0, ' )(\[ Zé/(([ ^'_ = [\ ' )(\[ = Zé/(([
^'_ = =?@ .
a) Soit ∈ ℕ, > 0, = =?@ donc = = ²?@ ײ c’est-à-dire = = ²² soit F ="*#" +*+²"-.
Or JKL→N#" +*+²"- = " p JKL→NF ="* .
b) Soit ∈ ℕ, > 0, F ="*#" +*+²"- [\ > 0 '()( ² > 0; Zz " +*+²" > 1 et par suite, F >"* .
c) Soit ∈ ℕ, > 0, F <I
5 ⟺ + " *
** < I 5 ⇔ #" -*<I*
⇔" < I* car la fonction racine carrée réalise une bijection strictement croissante de ]0 ; +∞[ sur ]0 ; +∞[
⇔" < I* ⇔ + " < I* ⇔ > "
I*>"
Or "
I*>"≃ 5, 56 donc N=5.
Si ≥ 6, F< I5.
d) Soit ∈ ℕ, > 0, Z3'^_è) z , si ≥ 5, = <: c’est-à-dire?@
< : et comme > 0, '
<" < I5< .
2) On pose, pour tout entier naturel ≥ 5, { = E+ + ⋯ + . a) Soit ∈ ℕ, ≥ 5, &&) : <≤ #I5->6<6.
Initialisation :
#:-E>EE = E Zonc 6 est vraie, la propriété est initialisée.
Hérédité :
Supposons la propriété vraie pour un certain rang n ≥ 5 et montrons qu’elle est encore vraie pour le rang n+1, c’est-à-dire montrons que ≤ #:->:E.
La propriété est vraie au rang n donc ≤ #:->EE (H.R).
k 3ojkè ". , cK ≥ 6, <" < I5<; p <" ≤I5× #I5->6<6 soit <"≤ #I5->5<6 .
Donc " est vraie et la propriété est héréditaire.
La propriété est initialisée et héréditaire, donc d’après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout ∈ ℕ, ≥ 6.
b) Soit ∈ ℕ, ≥ 5, démontrons que { ≤ 1 +:+ #:-+ ⋯ + #:->E E .
On vient de démontrer que pour tout entier naturel ∈ ℕ, ≥ 6, < ≤ #I5->6<6 Or = ∑~6<.
Donc par « sommation des inégalités » pour k allant de 5 à n, on a :
≤ ∑~6#I5->6<6 c’est-à-dire ≤ ∑~6#I5->6 <6 soit
≤ " +I5+ #I5-*+ ⋯ + #I5->6 <6 .
On peut aussi démontrer ce résultat par récurrence.
c) Soit ∈ ℕ, ≥ 6, " +I5+ #I5-*+ … + #I5->6 est la somme des (n-4) premiers termes de la suite géométrique de raison I
5 et de premier terme 1.
Donc +I5+ #I5-*+ … + #I5->6 = ">#I5-
5
">I5 = 5 " − #I5->5 ≤ 5 . Et on peut donc conclure, pour tout ∈ ℕ, ≥ 6, ≤ 5<6 .
3) Soit ∈ ℕ, ≥ 5, "− = <" > 0 donc 6 est strictement croissante.
De plus, on vient de démontrer qu’elle était majorée par <6 , donc d’après le théorème de convergence des suites monotones, 6 converge vers un réel l (l≤ 5<6).
Voilà, maintenant que vous avez fait ces exercices avec brio (enfin tout seul …), vous êtes prêt(e) à affronter le devoir surveillé.
