Novembre 2010

PanaMaths

Novembre 2010

Soit X une variable aléatoire réelle suivant la loi de Poisson de paramètre λ . On rappelle que l’on a : ^{E X} ( ) ( ) ^{= V X = λ .}

1. Calculer les moments ^m

^{= E X} ( )

^{, m}

^{= E X} ( )

^{et m}

^{= E X} ( )

^.

2. Calculer les moments centrés μ

= E X E X

− ( )

et

( )

4

E X E X

μ =

−

.

Analyse

Quelques calculs (classiques) des premiers moments (non centrés et centrés) de la loi de Poisson.

Résolution

Question 1

On a, en tenant compte de ^{V X}

( )

( )

(

^{( )} )

( )

^{( )} ( ^{( )} )

^{( )}

2 E X V X E X 1

m = = + = +λ λ =λ λ+

Puis :

( ) _{( )} ^{( )}

( )

( ) ^{( )} ( )

( )

2 1

3 3 2

3

0 1 0

2 2

0 0 0 0

2 2

2

E X 1

! 1 ! !

2 1 2

! ! ! !

E X 2E X 1 2 1

3 1

k k k

n n n

k k k k

n n n n

m k e k e k e

k k k

k k e k e k e e

k k k k

λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ λ λ

+∞ +∞ +∞ +

− − −

= = =

+∞ +∞ +∞ +∞

− − − −

= = = =

= = = = +

−

⎛ ⎞

= + + = ⎜ + + ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤

= ⎣ + + =⎦ + + +

= + +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

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En procédant de façon similaire :

( ) _{( )}

( ) ( )

( ) ( ) ^{( )}

( ) ^{( )}

4 4 3

4

0 1

3 1 3 2

0 0

3 2

0 0 0 0

3 2

2

E X ! 1 !

1 3 3 1

! !

3 3

! ! ! !

E X 3E X 3E X 1

3 1 3 1 3 1

k k

n n

k k

n n

k k k k

n n n n

m k e k e

k k

k e k k k e

k k

k e k e k e e

k k k k

λ λ

λ λ

λ λ λ λ

λ λ

λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ λ λ

+∞ +∞

− −

= =

+∞ + +∞

− −

= =

+∞ +∞ +∞ +∞

− − − −

= = = =

= = =

−

= + = + + +

⎛ ⎞

= ⎜ + + + ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤

= ⎣ + + + ⎦

⎡ ⎤

= ⎣ + + + + + +

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

(

)

λ λ λ λ

⎦

= + + +

( )

^{( )}

2 E X 1

m = =λ λ+ , m3=E X

( ) (

)

et m4 =E X

( ) (

)

Question 2

On a :

( ( ) )

( ) ( ( ) ) ( ^{( )} )

( ) ^{( )} ( ) ( ^{( )} ) ^{( )} ( ^{( )} ) ( ) ^{( )} ( ) ( ^{( )} )

( ) ( )

3 3

2 3

3 2

2 3

3 2

3 2 3

3

3 1 2 1

2 2 3

3 2 3 2 3

E X E X

E 3E X X 3 E X X E X

E X 3E X E X 3 E X E X E X

E X 3E X E X 2 E X

3 2

3 1 3 2

3 3 3 2

X

m m m m

μ

λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

λ

⎡ ⎤

= ⎣ − ⎦

⎡ ⎤

= ⎣ − + − ⎦

= − + −

= − +

= − +

= + + − + +

= + + − − +

=

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Puis :

( ( ) )

( ) ( ( ) ) ( ^{( )} ) ( ^{( )} )

( ) ^{( )} ( ) ( ^{( )} ) ( ) ( ^{( )} ) ^{( )} ( ^{( )} ) ( ) ^{( )} ( ) ( ^{( )} ) ( ) ( ^{( )} )

( ) ( ) ( )

4 4

2 3 4

4 3 2

2 3 4

4 3 2

2 4

4 3 2

2 4

4 1 3 1 2 1

3 2 2 2 2 4

4 3 2 4 3 2 4 3 4

2

E X E X

E 4E X X 6 E X X 4 E X X E X

E X 4E X E X 6 E X E X 4 E X E X E X

E X 4E X E X 6 E X E X 3 E X

4 6 3

6 7 1 4 3 1 6 3

6 7 4 12 4 6 6 3

3 X

m m m m m m

μ

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ

⎡ ⎤

= ⎣ − ⎦

⎡ ⎤

= ⎣ − + − + ⎦

= − + − +

= − + −

= − + −

= + + + − × + + + + −

= + + + − − − + + −

= +

μ3=λ et μ₄ =3λ²+λ