123 Centres étrangers juin 2002
christophe navarri www.maths-paris.com
Soitpun nombre premier donné. On se propose d’étudier l’existence de couples (x; y) d’entiers natu- rels strictement positifs vérifiant l’équation :
E :x2+y2=p2
1.
On posep=2. Montrer que l’équationEest sans solution.On suppose désormaisp>2 et que le couple (x; y) est solution de l’équationE.
2.
Le but de cette question est de prouver quexetysont premiers entre eux.1. Montrer quexetysont de parités différentes.
2. Montrer quexetyne sont pas divisibles parp.
3. En déduire quexetysont premiers entre eux.
3.
On suppose maintenant quepest une somme de deux carrés non nuls, c’est-à-dire :p=u2+v2 oùuetv sont deux entiers naturels strictement positifs.1. Vérifier qu’alors le couple¡¯¯u2−v2¯¯ ; 2uv¢
est solution de l’équationE.
2. Donner une solution de l’équationE, lorsquep=5 puis lorsquep=13.
4.
On se propose enfin de vérifier sur deux exemples, que l’équationEest impossible lorsquepn’est pas somme de deux carrés.1. p=3 etp=7 sont-ils somme de deux carrés ?
2. Démontrer que les équationsx2+y2=9 etx2+y2=49 n’admettent pas de solution en entiers naturels strictement positifs.
