PERMANENT DES LIQUIDES, t35

•

MOUVEMENT NON

PERMANENT DES LIQUIDES, _t35

. W 48

NOT.E

sun ^LA

THÉORIE DU MOUVEMENT NON PERMANENT DES LIQUIDES

El' sun

1Son applination :à la p.:ropagati:oll ..deS' ernes .des riviéres.

'Par M.

KLElTZv inspecteur

g6néra1 dog ])Cmts ^et

chnussèes.

'(1.) Lorsqu, un cours _d'eau -est·en mouvement permanent, sa surface libre conserve ooe

^forme

invariable, abstraction faîte des petites ondulations périodiques qu'elle présente ; mais lorsque le cours d'eau est en crue,

sa.

surface libre change _à chaque instant: il y a alors monvem.ent non per­

manent. Pour résoudre lln _gr an _d nombre de problèmes d'hydraulique, notamment

_ceux

_que soulèvent les études sur les inondations, la connaissance des principes qui régissent ce mouvement varié est indispensable. La science n'est pas

assez

avancée, à _la vé.rité� potu· en donner une théorie

rigou ^...

reuse dans tous ses détails; ruais une méorie approximative, suffisante pour justifier _des formules pratiques, offrirait déjà.

une utilité très-réelle,

ue

füt-ce que pour fournir un p oint de départ _à. des investigations plus. étendues et plus

ex

ac t _e s.

J'ru fait

à

ce sujet quelques J:echerches dO'nt je viens �­

poser sommairement les résultats principaux (*) .

(*) Ces recherches ^remontent pour ^la _{plupart à} !'.époque ^où

j'étais chargé,

comme ingénieur en cher� du service spécial ^tin ·Rhône. _A ^près .l'inondation de 18S6, nous

avons

eut mes ·collaborateur$ et ^mo1, _à traiter un grand nombre de ^questions sur la propagatlon des ^crues,

.tfnnales des P. el C/t., s•

sêrie,

1• ann., s•

cah. hltu.

^{TOX!> nv. to}

. --·--

•

•

1

�4

1.lÉMOli\BS ET DOC(JMENIS.

(2) Dans un courant liquide quelconque, pourvu que son mouvement soit régulier, on peut conceyoir, à. un in­

stant donné, un: faisceau de trajectoires dont les tangentes donnent, en chaque point, 1a direction de la vitesse d' écou­

lement. On peut en outre imaginer qu'au même instant, on coupe le courant par une infinité de sections transversales dont les éléments soient sensiblement normaux aux trajec­

toires (*).

Com;idérons une tranche _ABA�' (Pl. 15, fig. 1) ^comprise

entre deu:t sections infiniment rapprochées w etw: et prenons dans cette tranche

^un

élément de volume quelconque, ayant, sw· les sections, des facettes Bw et owt, et dont les facettes longitudinales sont engendrées par des éléments de trajec­

toil'es.

A

un instant donné., toutes les forces qui sollicitent cet élément doivent être en équilibre dynamique. Ces fol·ces sont la gravité, les forces moléculaires et la force d'inertie.

Les forces moléculah·es qui agissent sur toutes les molé­

cules contenues dans un élément de volume Sv, de forme quelconque, ont une l'ésultante qui est égale et directement opposée _à. la résultante des forces duE'S _à. la gravité et

_à.

l'inertie, et qui passe, par conséquent, par le centre de ftgure de l'élément� Les force.s moléculaires peuvent être

sur _les eft'ets des endiguements et des réservoirs de rete^bue^, ainsi que ^le constatent _les documents qui ont été fournis _à l'adml­

nîstratfon pour les études sur les inondations dans le bassin du

• R,htme. Pour c_ela il fallait avoir au moins des notions générales de }a tMorie du mouvement non permanent _des Uquldes.

(•) ₁₁ n^'existe pas, en général, une famille de surfaces normales à un faisceau do lignes _à. double courbure; mals on peut toujours

disposet• les éléments superficiels des sections dont 11 s'agit,

de

manière que cette condition soit remplie approximativement.

D'ailleurs si un élément tiro est rencontré obliquement par la direction de la

vitesse

^{V, il suffit} d'imaginer que cet ^é

l

^émen

t

soit remplacé par sa projection _{normale à} la trajectoire. Celle-. cl faisant un ^ang_le " avec Ja normale de l'élément. le filet Ji ..

qui de correspond�nt _a pour section droite cos cûl(l), et pour dé_b

i

^t

tq:::::

^{V cos a:8(1) =} vôw, la composante de la vitesse suivant la nor- ^. male de la section étant désignée })ar ^v,.

•

1\IOUVBMBNT NON

P1U\MANENT DES LIQUIDES. 155

r

a )?

^portées

^à

l'unité superficielle; on le

s

^appelle

alora forces élastiques.

La résultante des forces- élastiques qui s' exer­

cent sur un élément plan� infiniment petit, mené en un poi

nt

quelconque M du milieu liquide� se décompose en une force normale, ou ^pressⁱoⁿ

N,

et en une force ^tangen­

tielle, ou force de g1issement

T.

On sait que la somme des pressions ^N (rapportées à l'unité superficielle}

qui

^{sexercent sur} trois éléments or­

thogonaux menés par ^{le même} point est constante, ^quelle

que

soit l'orientation de ces

é

lémen

t

^s. Le tiers de cette somme constitue ^{la pr}ess

i

^{on moyenne -}

P,

^{au point con­}

sid�ré. Je ^regarde comme positives les fot·ces élastiques appliquées sur un élément plan du cOté des coordonnées positives et dirigées dans ^le sens de ces eoordonnées. - Dans un liquide soumis

à

des pressions extérieures, comme

la pression atmosphérique, les pressions in tél'ieu!'es sont par conséquent négatives, et c'est pour cela que la pression moyenne

P

doit être affectée du s

ign

e -. Cette pression est une fonction qui, à un instant quelconque, a une va­

leu;-

^dé

^te

^{rminée �n chaque po}

ⁱ

ⁿ

^t

de respace, mais variable d'un point

à

^{un autre.}

Par

^{le point q}

u

^elcon

qu

^{e M, menons trois} axes coordon­

nés orthogonaux,

Ms, Mq

^et

Mr,

^{dont le} premier est dirigé suivant

1a

tangente de la trajectoire.

La

pression moyenne appliquée extérieurement ^à toutes les facettes de l'élément de volume

ov,

donne lieu

à

^une résultante dont les compo­

santes, ^rap

p

^{ortées à} l'unité de volume, sont,

suivant

^les

axes coordonnés:

•

dP clP dP

- ^-_, - ^{-, - -}.

ds dq dr

La densité du liquide étant désignée par

p,

ces f01·ces, rap ^..

portées ^{à l'unité} de masse, sont:

1

dP

^t

_dP

- -

p ds

- , ^{- -}

p dq

^- ,

1

dP

- - -

p dr·

•

'

' 1 1 1

106 MtMOlRE�

El.

OOC.Ul\fE�TS.

En ret.J:nncbant

ces

mêmes forces

rt;spectivemeDt

^{des com­}

posantes, de

la

résultante de toutes.

les ^forces·

molêculaires, il reste les composantes d'une force que j'appelle

force

moléculaire dynamique.,.

pour indiquer qu'elle n'existe pas dans

r

état de repos et qu'elle se pro

dui

t seulement dans l'état de mouvement. Il importe ton

tefois

de remarquer que, dans ce de

rni

^er \}tat, la

pression

^moyen

n

^{e n,' est}

pas

égale

à. 1�

pression. hydrostatique correspondant

à r ^état

de repos

:

ce serait la pression hydrostatique dans un

état d'équilibre

fictif où

r

on ajouterait aux forces eitérieures

les

forces

moléculaires dynamiques

et les fol·ces

d'inertie.

Je désigne les composantes de ln force moléculaire dyna.-.

mique ;rapportées

à

^{l'unité . de masse, par f., .}

f" " ^{et f}

^,.

^,

^en

^sorte

que la. résultante de toutes les fore� moléculaires

aura

pour composantes

(*) :

r

'dP

^J:

dP

¹

^dP

- p ^{ds + f,}

^'

- p dq + 1'1

^�

^{-�dr+(... .}

(•) Je J;�nvole

pour

de

plus li.mples explie:J.:tions aux§§ 23,

S4, 45 et 46 de mon mémoire. du So

mai t86G, ·intitulé : Étude su1· le$

(o1·cesmoléculaires dans les ^{liquides en} mouventent

(Dunod,

éditeur}.

Je

rappellerai q

ue les

forces élastiques Net

_1' s

o n t

exprimées par

l

e

s

formules suiYantes,

qui

_ont èté

troatées pour

la

première

fois

par Poisson ou

par Navi

e

r_.,

et dont j'al donné

une

démonstra­

tion

nouvelle.

Si

l'on

considère. un parallélipipède é

l

^{émentaire dx, dy� dz, et}

qu'on

désigne' pa.r tt,

_{v, w}

les

composantes de ^{Ia vitesse} V

suivant les

axes

coorùonnés, l-es presslons sur les facettes perpendicu­

laires

a

u

_{x. x, y,} �$ont respectivement

exprimées pnr:

dtt P dv

P ,dw.

l.'l1=-P+M{lï; N2=- +��dY

N3=- +2edy'

Les forces de

glissement perpendiculaires aux œ, !1, _z sont expri- ^' mées pat':

Tr��(�+��) T�=-t(�+�) 1'3=E(�+�)·

L�

coefficjent

t est une

fonction qui, en chaque point du liquide,

a une

v

ale

ur indépendante de

la direction

d

e

s

_axes

coordonn6s,

mals q

ui varle

d'un point

_à u

n

autre.

•

MOUVEMENT

NON.

PERliAl'mN't DES LIQUID.ES. 107 En considérant la pression moyenne à part, comme je viens de

le

faire, on décompose

la.

^pr

e

^ssion totale qui s'exerce sur ^un élément plaⁿ quelconque, en deux parties:

la p

r

^e

s

^{sion moyenne ·et} la pression complémentaire ou dynamique qui n' apparatt que dans

f

^{éta.t de}

mouvement.

Je représente parI.

Iq

^{et J,., les composantes de la. force}

d'inertie,

rapportées anssi à

l'unité

^{de masse.}

Dans le mouvement non permanent, uⁿ élément de masse pôv qui parcourt une ^di

s t

ance

ds

^{dans le temps}

dt,

_pour

passer de la section ^Cù dans la section. infiniment voisine,

' ·

1 l'

^{· d ·}

du d

n acqu1ert pas seu ement accrmssement e VJ.tesse

ds ^s,

comme �i en chaque. point

la vitesse.

était const�te�

mais

encore raccroissement

fe ( ^v+ � ds) ^iU

que la vitesse

a

acquis au bout

du

^temp

s dt

^{au point rencontré dans la}

section ù'aval. Comme

�(� ds) ^dt

^est un infiniment petit du second ordre, l'accélération totale suivant

la

trajectoire, l'apportée à l'unité de temps, est exprimée par:

��+� ds d' dt

.On

a d

^o

n

^c

:

ou ^hien par

v.a:;+dt dv dv

Quant aux composantes de la. force d'inertie ^perpendi­

culairement à la trajectoire, ce sont les composantes: de la force centrifuge.. Elles .sont exprimées par ^:

I =-·- et 11

_R

v�

tt

Nous sommes maintenant en mesure

œ

^établir l'équation

•

'

•

•

..

J\l�MOll\ES El' DOCUMEJ:iTS.

de l'équilibre dynamique des forces auxquelles sont soumis tous

Jes

points matériels de l'élément de volume

Swds.

Le travail de chacune de ces forces se réduit à celui de

sa composante parallèle

à

^l'élément

MM'

^de

la

tangente de la trajectoire passant au point M.

Les composantes de la gravité étant désignées par

g, gq et g,.,

la somme des travaux de toutes les forces, pendant le lemps

dt,

a pour expt·essîon

:

8wds (u -!.�dp

^{• p 8}

^{+f +I}

^{• •}

) ^xvdt.

Cette somme doit être nulle. En divisant par

vdt,

^{et en}

remplaçant I, par sa valeur indiquée ci·dessus, on a, pour la somme des projections des forces sur MM':

8tt>ds fg _Ll

1

_{_!_ �-}

p

ds ft!::.. +v� \dt ds ) ⁺ r]=o.

¹

^(l)

. .

Menons par l'élément M?t1' un plan vertical qui coupe les sections w et

w'

suivant les lignes AllB et A'M'B qui, en cha­

cun de leurs points, rencontrent normalement les trajec­

toires.

Si l'on néglige l'action de la force centrifuge, suivant les tangentes de

la

^ligne

AM,

laquelle est três�minime pow•

peu que les rayons de courbure de la trajectoil'e soient grands, on a, en cb.acun des points de cette ligne :

1

dP

gr�--d ^+fr=o.

p ,.

En désignant par

ô,-

les éléments de longueur mesu1·és sur la ligne

.Ai\1,

et par A la pression atmosphérique, on a :

�M gltr-. �(P-A) + "'-" M {,.8r _{= o,}

A

^p

�A

M' M'

� g' 8r' - _{: (P'- A)} + ^{� f 8r' =o.}

�A'

^{r p}

· "'- Al

^r

MOUVE�ŒNT �01.'{

PER�fANENT DES

LIQUU>ES.

En représentant par y et y' les différences de entre A et

i\f,

et ent1·e A' et

1\fl,

^{on a :}

�.A.

M

^{g�s,. =gy et}

et par suite :

l!.'

A! ^{' r.}

' r

g ,.or = yy,

mveau •

1 M' ^�

g(y' -y)-- _p (P'-P) ⁺ _.i:J ^{� ·} A'' ^f�Sr'- � ^� A ^f,.8r=o.

•

Dans une étude approximative, l'ensemble des deux der­

niers termes est négllgeable {*), et l'on peut poser:

g(y'- y)-! _p (P'- P)

^{= o, ou}

^bien lj__dP ds _s

⁼⁼

^{pg(y'- y).}

Supposons un plan

horizontal situé au-dessus de la sur­

face libre du courant, et appelons ^z les ordonnées des li­

gnes de niveau suivant lesquelles les

s

^e

c

^{tions w coupent}

cette surface

( **).

La pente entre les points M et

}1'

sera égale

à :

(z' ⁺ y')

^-

(

^z

^{+ y),}

(•)

Je donne dans le § 46 de mon mémoire précité, du 3o mat

1866, )'expression

^{exacte des fol'ce}

^s

molécuhdres dynamiques rap­

portées à l'unité de masse. Lorsque les rayons de courbure des trajectoires et des sec^tions sont grands. la force désignée par

fr

se réduit approximativement à la variation, suivant r, de la pres­

sion dynamique (excédant de la pression totale sur la pression moyenne), sur un élément plan normal à ln ligue MA, et à la variatio^{n, suivant s, de la} force de glissement qui s'exerce sur un

élément

plan normal à la trajectoire. On _se rend compte, les rayons de courbure étant censés très-gt·ands, que la différence

�

^M:'

^f',.ôr- }:M ^fr'ô1'

peut être négligée.

� A.'

^A

(••) En réalité les lignes qul, sur la surface libre, coupellt nor­

malement les trajectoires, ne sont pas rJgoureusement de niveau.

Indépendamment de l'action des forces centrifuges, les réslstanc<'s moléculaires donnent à ces lignes une petite concavité ou une

•

t.4o MËAIOIRES. EX DOCUMENTS.

et. ron ^a.�

u.ds= g(.i -z) + g(y' -y).

Par conséquent :

1

dP'

^,

dz

g ^ds

^{- - -}

= _g(z

^-

_z) = g- _{ds ,}

• p

ds ds0

^°

l'élément AA' étant désigné. par ds11•

J:

équation ( 1) peut donc être mise sous

la

forme sui·

vante, après avoir affecté

f.

du signe-,

pour

marquer que

r:

est une force résistante :

Au lieu

de

l'équilibre dynamique d'un élément. de 'l{O­

lume infiniment petit

8wds,

considérons maintenant

�elui

de la tranche entière comprise entre les sections w et

w'.

Concevons qu'on relie

les.

sections transversales ^ro du courant par une ligne d'axe qui leur soit normale et sur laquelle les distances

s

puissent être mesurées de manière

qu'entre deux sections queY...onques. ^w1 et ^(A).!!

le

^{volume du}

courant soit exprimé, avec une. approximation

suffis

^ante,

Ss,

par l'intégr�le

wds ..

8t

En étendant l'équation (2)

a

^{tous les. éléments}

de,

^.filets

liquides infiniltlent petjts dont

se

compose la. u·anche

md��

en représentant la vitesse moyenne dans la section ⁽¹⁾ par-u,

et !. ^f,owds

^par

^grp(J)ds,

en remarquant d'ailleurs que

g dz ^{7 cls0 a}

une valeur constante pour tous les :filets, et en

�K�So

petite. convexité suivant les cas. Mais on peut. né&lfget• _{ici c.atte}

légère détormaUan.

--

1

.

)fOUVEMEN:t NON �EBMAN�'J; DES.

UQUIDES. J4l

admettant enfin

que, pour leur ens _emb le le

rapport moyen

� ne diffère

^pas

sensiblement de _runité,

^{on o}

b _ti e

^{nt l'équa­}

tion approximatfve suivante:

d: (dn ^du )

g di wds

⁼

dt+

^·u

^di wrls. + urrwds (*},

ou

bien:

{3)

A cette équation _il faut ajouter celle qui exprime

^la

con­

ditian de _la continuité du liquide�

^DaJJs

le mouvement p

^erma

nent, cette condition est. remplie _p

^{ar e}

e

^la

seul que. le débit _{q = wu} est. constant. dans toutes les section.s

^trans­

versales. _Dans

le mouvement

non permanent,

on 1a for­

mule en disant que,

^pendant

un

^temps,

_{àt, la}

^variation

_du volume _wd$, compris entre deux sections

infiniment voisi-

(*)

^Le travail, rapporté à l'unité de temps,. de tout^es le� forces moléculaires antres que celles qui corTespondent aux p^ressions moyennes, est re

pr

^{ésenté ici par} plJ)'fUds. Il comprend : 1• le tra­

vail des forces d e glissement sur les parois entre les sections AB et A.',WI, qu'on peut exprimer comme dans le nrouvement uniforme par x.

(œu + Gu1) uds,

^{r:ous la} réserve que. les coefficients « et 6 aient des valeur& différentes, en .sorte. que la. !oree correspon­

dant à ce travail, par unité super.lici'elle

de

^{la section w, serait}

� (œu + Gut)

^{; :&0 le travail} des pressions. d,y.namique.s sur les sec-

w .

tions infiniment voiSines) lequel a. pour valeur approximative,

- CJ>U.

� (:a& �)

^{ds, E étant 1�} foll.Ction déj� mentionnée dans une note précédente; s.o le travru1 des forees xnoléonlait•es Intérieu­

res de la tranche (J)ds1 lequel: est approximativement. ·égal. à 3e

(�)

^s

^wds.

Je m e réfèl'e, .pour l'explication de ces indications,

aux §§ 63 et 6!t de mon mémoire, précité 3Q .maL 1.866 ..

(n),

^{Il faudrait. à} la rigueur, multiplier le premier terme du second. membre ,par un coefficient un. IJeu plus grnnd que l'unité;

mais on. peut e n faire abstracUo� dans. une,équat.icw. approXimative.

142 MÉM01R.ES ET DOCUMENTS.

nes, est é

g

^a

l

^{e à}

la

différence entre le débit qui entre par l'amont et celui qui soJi pa^r l'aval. Or, la vadation du vo- lume

wds

^est

_ddw dsdt,

et la différence entre

les

débits d'a-

r .

mont et d'aval est

:! ^dsdt.

Comme la première quantité doit évidemment être négative lorsque

la

seconde est po­

sitive, ou réciproquement, on

a :

•

dq dtil

-+-=o.

ds de (4)

J'aurais pu écrire immédiatement

r

équation (5) en suppo4 sant, comme on le fait ordinairement, qu'en un point quel�

copque du l

i _qu

ide^, la pre'Ssion est la même, quelle que soit l'orientation de

1'

élément superficiel sur lequel elle s'exerce, que toutes les résistances

<p

^{sont exprim}

é

^es, comme dans

'

le mouvement uⁿ�

f

^orme, par le binôme

� (au+ ôu'),

^que

les filets .tluides sont sensiblement parallèles, et en prenant d'ailleurs pour sections des plans ve1·ticaux. Mais il ne me se.rnblait pas inutile de montrer que

r

exactitude de cette équation (par approximation bien entend^u) est indépen­

dante de ces hypothèses (il<).

Quant

^à l'équation (4), elle est tellement évidente qu'elle a

cbî

être posée par tous ceux qui se sont occupés de

la

théorie du mouvement varié des Iiquicles (**).

(3) Au lieu d'une Lraoche comprise entre deux sections infiniment voisines, considérons une portion d1;1 courant

li m

^it

^é

^e

^par

deux sections éloignées l'une de l'autre pat· une

(*)

Je renvoie pour une Mmonstration détaillée au chapitre X de mon mémoire sur les !orees moléculaires .

•

(•*J

^M. Dupuit l'a mentionnée dans ses

Atudes thé01·iques et � wa­

hqUe3

^5ur

fe mO'Uvement

^{des eauw}

(ll�

éd1t1on, § 102, page

11J9 ) ·

•

MOUVEMENT NON PERMANENT DES LIQUIDES.

145

distance finie. Je

supposerai que l'axe central qui r^el

i

_e

les sections transversales, et sur le qu ^e

^l

sont mesm·ées

_les

distances

_s,

reste invariable

_p

end

_a

n

_t

toute ]a durée du mo11vement varié

e

t

que les sections w

conservent les mêmes p

o

s ^itio

^{ns, sauf à}

^ê

^t

^r

^e

^étendues

^ou

rétrécies suivant que le volume

�wds

du

courant

croit ou décroit.

Dans cette hypothèse la surface

w d'une section quel­

conque,

la vitesse d'écoulement

moyenne

u

_{et le}

_débit q

sont des fonctions de 1a distance s ^m

^e

s

^u

^{r é e}

^à

partir de la section d'origine wo,

^et

^d

^u

^temps

^l

^compté

^à

^partir d'un

instant donné.

En remplaçant,

dans

l'équation (4), _q par wu, ^e ll

^{e peut}

être m

_i

s

e sous la

forme:

d'où l'on tire:

,du dw dw

<0.,�^-

ds +

^u

ds

^{- =- -}

dt

^,

(!s bis)

d�� u"' dw

^u

dw

U-=--

^-

--

^-

ds w ds

^<u

dt'

et 1• ^équation (5) ^devient:

(5)

On

voit ainsi q u

^'elle

diffère de l'équation connue

_du

mou­

vement permanent (en

outre

_{de la.}

valeur différente de cp) par l'addition du binôme

�(�-?:�) ^{g dt}

^ttl

^dt

•

qui représente l'influence

du mouvement non permanent sur la valeur de la force d'inertie.

,

Pour la solution de certaines questions, il peut êtn�.

- - - - - -�

-

�44

l!lÉMOinES E.T DOClUMEm'S.

commode de remplacer

^u

par !1.

₍₁₎

et <récrire !"équation (5)

comme

il suit:

dz

¹

(dq ?.q dw)

¹

qt dw

iiS=g; dë--;;di' -g-;ï _'th ^+ce·

Les valeurs de q et de

⁽¹⁾

ét-ant données par deux fonctions de s ^{et de t,} on peut imaginer quet soit éliminé entre elles et que q soit e.xprimé par une fonction de

^w

et de

^s.

dq -

Alors _ddt

_w

devient égal à

^.

d!!!J.

_w

^{et l'on}

^a:

-

dt

{5 ter)

Je ne m'arrêterai pas à examiner comment on peut appli­

quer les équations précédentes à divers problèmes d'hy­

draulique en

substituant

aux différentielles des différences finies. J'ai ici principalement en vue l'étude du mouvement de propagation des crues des cours d'eau.

Pour dégager ce travail des complications qui résulte­

raient de la division d'une rivière en plusieurs bras ou de ses débordements sur de larges plaines, je supposerai d'a­

l:>ord que son

^lit

soit partout disposé de manière qu'il ne s'x forme qu'un seul courant, et je considérerai une. crue simple qui,. dans une localité quelconque

⁾¹

s'élève graduel­

lement jusqu'à un maximum unique pour s'abaisser ensuite régulièrement jusqu'à ce que la rivière soit revenue à .son état initial. Au commencement et à la fin de la crue, la rivièreest d'ailleurs censée être· partout en régime perma­

nent et avoir le même débit dans toutes les sections trans·

·versales.

Si l'on examine le flot qui constitue cette crue simple dans le sens longitudinal, la pto1ll instantané de ses hau-

•

MOUVEME�T NON l'ERMA�ENT DES

LIQUIDES. lfi5

t

eu'TS

p

e

^{ut ne pas} offrir 1a. même Tégu

1

^ar

ité à ca u

se des largeurs vatiable5 du lit. Par �e motif il est l.Jréferable de

rep1·

^é

se n t

^e

r _]a. cr

ue au moyen des débits qui �

p

^rodu

i

^sen

t

dans �es diverses sec

t

io

n

s transversales. Alors le profil lon­

gitudinal des débits instantanés sera régulier -comme

les

courbes qui

d

on

n

ent les débits

da n

_s

chaque

l

o c

alit

é

pw·

dant toute la durée de la crue.

lmàginons qu'on cons

t

rui

s

e

la.

^{surface do}

nt

les ordonnées verticales donnent les

va

leur

s

de

q

-en fonction de $ et de t

dont les valeurs sont po

r

tées sur deux axe

s

perpendiculaires entre eux

t

ra

c

és sur un plan horizontal.

·

Les

sections faites dans œtte surface, parallèlement à l'axe des t,

donnent

les

c

ou

r

b

es

des débits variables dans une même localité; . celles

qui

^so

n

t parallèles à l'axe

d

^es

s

^do

n

ne

n

t les courbes des d

é

b

i

^ts instantanés dans les diffé ..

rentes localités. J'appellerai les premières�

courbes des dé·

bits locautt,

^{et les se}

^c

^onde

^s

^,

profils irMtantanès des débits.

On

_aura nne représentation très-nette de la. propagation de la crue, soit au moyen des courbes des débits locaux pou

l

^'

des localités peu distantes les unes des autres, soit au moyen des profùs

i ⁿ

^sta

ⁿ

^tanés des débits pour des instants

un pen

r

app

r

ochés^.

Lorsqu'on

veut définir la p

r

opa

ga

^t

i on ^d'une

c

r

ue^, on le fait ordinairement en mes

u r

an

t

l'intervalle de temps qui sépare la px·oduction du maximum de hauteur dans

deux localités situées à

^u

n

e distance

co

n

n

ue. On admet d'ail­

leurs qu'au maximum de hauteur co

lT

e

s

po

n

d le maximum ' du débit local, en

sorte qu'on

aurait également la vitesse

de propagation du d

éb

it maximum de la crue.

De pa^te

ill

^es èonstatations sont .aJune u^t

i

^lité considérable;

mais elles ne suffisent pas à résoudt·e les

qu

^e

s

t

i

^on

s

relatives aux

i

^nondations

.

S'il s'agit, par

e

xemple^, d^'apprécie

r

l'jn­

ftuence d'une modification apportée aux débits

v

ar

i

^a

^b l

^es

qui

se pr

o

duis^ent en

un

point A de la région supérieure d'un bas

s

in^, sw·le déb

i

t maximum en un point

B

de la ré-

•

lriÉMOIRES ET DOCUMENTS,

gion infédeure, un ou plusieurs affluents existant entre

ces

deux points, _il est bien évident qu'il faut connattre comment se propagent les débits antérieurs au maximum en

A,

parce que ce sont eux qui concourent _à former le débit maximum en

B.

Lorsqu, en effet ce dernier maximum

a

lieu, les débits voisins du maximum en

A

ne se sont pas encore propagés jusqu'au point

B.

Il est donc nécessaire de considérer le

pbé n _Qm

èⁿ

e de la erne dans son ensemble et de rechercher les vitesses de propa.gation de tous les débits et non pas seu­

lement celle du débit maximum.

(IJ) Supposons que sur la surface q = ^F (s, t) on trace des courbes d'égal débit. _Il équation différentielle de ces courbes sera

^:

dq dq

-d ds +

^"7'

_dt

⁼ o.

If cd

(6)

Soit ^MNP (fig. 5) la projection horizontale de celle de ces courbes qui correspond _à un débit quelconque q.

Les courbes _0�1' et

^ON'

représentent deux cow·bes de débits locaux pour deux valeurs de

s

infiniment rappro­

chées s"' ^et st\; les courbes _OM" et ^ON" représentent deux profils instantanés des débits _à deux instants infiniment rap­

prochés

^l,.

et

t,..

On voit que le débit q se propage

à

la distance s",s" _dans un temps tmt,. ^{et que}

^1a

vitesse de propagation �on�"

_Ill!'

^{est égale}

à la valeur de � ^{tirée de l'é qu}

^a

^{t io}

ⁿ

^(6).

'

En la désignant par

w,

elle a pour expression

^:

-

dq

w - ^-

dt

dq'

-

da

MOUVEMENT NON PEI\�IANENT DES LlQUIDES. 147 ou, en vertu de l'équation de continuité (4) et de

q

=

uro:

dq

_-

.

_w

dt�

dt dt

-

W = _-

dw = «- +

_-

^{dw • (?)}

dt dt

La vitesse de propagation d'un débit

q

est essentielle­

ment distincte de la vitesse d'écoulement

u

correspondant à ce débit.

En

^effet,

it

ne s�agit pas du transport d'un vo­

lume déterminé de molécules de l'amont à l'aval, mais de la production successive drun même débit dans deux loca­

lités différentes.

I.�a

vitesse de propagation w dépend de la, variation plus ou moins rapi

d

e du débit par rapport à celle de la section. Si cette section était invariable, comme dans une conduite forcée, w serait infini,

qu

^elle que fût la variation du débit. ^w· est, au contraire, d'autant plus petit que la sec

t

_ion est susceptible de

s'

accroitre davantage avec le temps. 0

Un fait bien constaté par l'expérience, c'est que le flot produit par une crue simple s'affaisse de plus en plus, en s'allongeant, lorsqu'il se propage sur une partie de cours d'eau qui ne reçoit aucun affluent. Ainsi la courbe des

dé-

bits locaux étant représentée par

O�IN (fig. 4 )

^{pour une}

localité donnée, celle qui appartient à une localité située en aval doit avoir une forme analogue

à.

^O'M'N'.

En effet, en négligeant les pertes dues à l'évaporation et aux infiltrations, le volume du flot qui constitue la crue dans toute son étendue reste invariable. '

Or,

ce volume est égal à l'excédant de volume qui s'écoule, dans une localité quelconquet depuis que la erue y commence jusqu'à sa fin,

en sus du volume qui se serait écoulé sans la ct·ue.

6et excédant de volume est égal à

(tn

'

) (q-CJ0)dt.

t.

..

M�MOJnES ET DOCUftiENTS�

11

est représenté, pour la localité d'amont, par la sur­

face O.M.N, et pour celle d'aval par la surface O'�{'N'. Ces deux su^rfaces étant équivalentes, le sommet M' est néces­

sairement plus bas que le sommet

:M.

^On voit d'ailleurs que les surfaces Oi\HO'O et IM:'N'N sont aussi équivalentes;

la première indique la différence entre le volume fourn

i

^par

la. crue

qui

^a passé par la. section d'amont pendant le temps

tt-tv

^et

^celui

^{qui a} passé, pendant le même temps, par Ja section ffaval, on bien l'accrOissement que le vo­

lume d u cours d'eau a pris entre les deux sections de •

t0

^{à l, .}

La seconde repr

és

^ente la diminution du volume du ^COW'S d

ep

^{uis le moment t,, où}

il atteint

son maximum jusqu'à la fin de la. crue.

L'accroissement de volume représenté par la surface

·oMIO'O est ce

q

^u'on appelle l'emmagasinement maximum,.

entre les deux sections

considérées,

pendant Ja pé

ri

^ode

croissante de la crue. On. voit. que le débit maJt:imum dans la section d'aval est d'autant plus abaissé que

l

^'emmaga­

sinement e.st plus considérable.

Si,.

dans une

^{localité, on diminue} cet emmagasinement par des travaux d'endiguement, on augmente nécessaire­

ment le débit

m..·l..:rimum

^{dans les} localités d'aval. Cette con­

séquence si évidente paraît, avoir passé longtemps inaper­

çue; car c'est lors des inondations de

!856

seulement que le danger des èligues insubmersibles a été s

i

^gn

a

^lé.

Dès que le débit maximum dé^cr

ot t

_d'une quan

t

ité finie entre deux localités éloignées. l'une de l'autre à une

dis­

tance 'finie,

il s'ensuit que

les débits maxima, dans deux sections séparées par une ilista.nce infiniment pe

ti

^te

ds,

^dif­

fèrent ent

re eux

d'une quantité

infiniment

petite du même ordre. Si donc on p^ro

j

_ette sur le même plan deux aourb.es de débits locaux infiniment voisines, (fig,

6),

^la Tigne M�l', qui joint le^w

·

^s sommets, fait avec l'horizontale un angle fini. Le point

:M'

est donc situé en dedans de la courbe d'amont OMI, et il faut" que les distances

ml et m'I

^soient

�IOUVEMENI NON PE.lUtfANE.Nl' DES

LIQUIDES, ¹⁴⁹ des quantités finies;

^car

si ^{elles étaient} infiniment petites,

mM

et m'M'

^seraient

des infiniment petits du second ordre, ainsi que

mm',

tandis que

?tlm- M'm'

serait du

tro

isi

ème

d L

!fm-

^{M'n� .}

1 .

^{fi .}

_t ^.

or 1·e. e

rapport , serrut

a ors m mmen petit.

mm

En

conséquence,

il y

^a

un intervalle de t

e^mps fini entre rinstant où se

p

r

od

u

i t le débit

maximum Mt"'

et celui qui

c o

^{r resp}

o

ⁿ

^d

^{au point}

d'intersection 1 ^d

^es

^deux

^c

^o

^ur

^b

^es

,

c'est-à-dire

à. l

^'in

^s

^tan

^t où le débit

est

le même dans l�s

deux sections iofmiment rapprochées. A ce

dernier

instant, on

dq

^·

_. ^dw

C' _{d .). l''}

a

^:

di ^{= o, et, pat· su1te, dt}

^{= o. e}

^{st one}

^{4 mstant}

marqué

par

le temps

ti

que la surface

^w at

t ^e _i

^{nt son}

_maxi­

mum, et la crue sa

^plus

g

^ran

d e hauteur,

^dans la

localité où la courbe des débits

est

représentée par

^OPMIN.

^{D'où il} suit

que, dans

une localité quelconque, le maximum dll débit q

p^réc

è de le

maximum

de la

^s

ec

t

i o n w, _et

_{que ces}

deux

maxima ne

peuvent co ï

ⁿ

ci ^de

^{r si la}

co ^u

^rb

e des débits

a

un rayon de c o

^ur

^b

^ure

fini à ^s

^on

sommet. Quant au maxi­

mum de

la vitesse m

oy ^en

ⁿ

^e

^u,

il a nécessairement lieu

é . t ^.

d

^.

'dq ^{elu +}

ant neuremen

au mmmum e q, _pmsque dt= ^w ëfi

dw dq

+

^u

at, ^{et que} dt ^ne

^p�ut

^ètre

^nu.l

(� dt .étant encore

po- s

itif)

^,

^q

^u'

^a

^u

^t

^an

^{t que} � ^est

^né

^ga

^t

ⁱ

^f

^l*).

{�)

^{On peut se rendre} compte approximativement de l'inter- . valle de temps qui sépare les maxima deq et de b>, dans la mèmB localité.

SOient MI

(fig. 2),

^la partie supérieure de la courbe des dé­

bits, et

mi

celle de la. courbe des hauteurs de la crue.

Désignons pat• f la. flèche que cette dernière courbe pl·é..c:ente,. à son sommet pour une corde égale à �6, et par L la largeur du plan d'eau à l^'instant du maximum des hauteurs 11 de la crue aq-dcssus de l'ètlage. On

peut

admettre que la partie

mi

de cette même courbe soit une parabole ayam pour paramètre

7,

6' ^et pout• é(]ua.-

�nnalea dea P. et Clc. ^- MblotnES. ro•n� xtv. 11

•

•

J 5o

MÉMO

^IRES

ET DOCITM'ENTS.

On

peut immédiatement déduire de

la. fig. 6

fexpression de la. vitesse de propagation w,. donnée par l'équation (7).

En effet , un débit quelconque Pt, met un temps PP' pour se propager _à la distance

ds

qui sépare les deux courbes de

débits. Or, la vitesse de propagation w étant la distance à

tlon, en prenant le point _i pour" origine ^des axes ^{du temps} _t, et de

l'ordonnée z du niveau. de l'eau en contre-bas d'un plan horiZontal mené par le sommet :

t, ^_- os ^_

f

_.,. ^....

La décroiSsance du débit maximum estreprésentée.psz-Ia valeur

dq dw dq

que prend

ds

^ou

- dt,

^lorsque

di

^{= o. Or à l'instant tt. corr.es-}

pondant au maximum de

q,

^{la valeur de}

��

est égala à.Lmultlplié par la tangente de la courbe. des llauteur,s au point

m.

L'expression générale de cette tangente ètant

�

⁼

li�/.

^la

valeur au point m. s'obtient en. faisant _t = �. On _a donc �

d'où. l'on

tire :

J:Lqffl>

^-- L

'.1.{:&

a�

^{-- n: '}

0'

dqnao

� = ^--=-

2{.

�

L • ds •

L& ra. yon de courbure au sommet i de f� .courbe des hauteurs étant égal

à�,

et :lyant pour expression en (onction de ces bau-

. 1 (d•Jtr )

tau.rs comptées au-dessus ^du plan ^d'étiage-

Th.'

^dt1 est négatif , l'équation précédente devient:

œ=

•

dq,, ds

d" ft"

r.

dt1

cJ,t!

On voit ainsi que rintervalle de temps qnJ sépa)'e daDs- Je même lieu l'instant du débit maximum de celui où la 'hauteur de la crue atteint sa ^plus gr�de hauteur, est proport.lonnel à la décroissance par

unité

^de distallce, du débit ma-ximum

et

^au �yon de cour-

MOUVEMENT"

NÔN

PElllt.A.Nmq-t Ï>SS LIQUIDES.

t5t

laquelle ^le débit se propage dans l'unité de temps ; il en résulte que la durée de

la

propagation à une distance

ds

'

est égale à

� ^{ds. On}

a donc PP' ^;:;;;:

.!.

ds. La distance verti-

w w

bute du sommet de la conrbe des hauteUrs dela craéldlvisé. p-ar

la. 1arge'llr du pJa'W d'eau ....

11 est du reste à remarquer que la décroissance du débit

maxi­

mum est plus faible,.lor�que ce rayon de courbure a.ugment& ..

Pour fi.xer les idées, je prendrai un exemple.

Supposons une crue qui ait, dans une localité donnée, un débit maximum de 5.ooo mètres cubes par seconde^, et qui occupe alors

"Une largeur de 3oo mètres nu plan œea.u.

Admettons que le sommet de la. courbe des hauteurs ait une flèche de o•;2o pour une corde égale à vingt-quatre heures. (Dans la crue extraordinaire du RhOne de t856, les courbes des hauteurs tint présenté, pour une corde. de vingt ... qllAtre heures, une flèche de o"',3o C.t Lyon,. en amont du confluent de la Saône. et de o•, 16 .à Tournon. En aval de cette dernière ville les .flèches ont été bien moindres.)

on aura ainsi• �

et

0!

(ll!. x 3.6oo"}1 (\4fl x5.6oo) ><

^� _{6 , _ 1. �}

3

^{6 ,,}

f 1

^{� 4 11: =} ü. 00 = �·V20 X ^{• 00 ,}

2 ^• u 0_, 0 X uOO 1 20

La décroissance du débit maximum est diflicila à établir, à cause àes incertitudes que présente l'évaluation de ce débit. Sur la. Loire, qui ne reçoit pas d'nftluent de quelque importance

entre

le Bec-d'Allier et l'embouchure du Cher, ce phénomène peut

être

mieux observé que-sur nos autres grands fleuves. On trouve, dans le.Mpport de

M.

^Gomoy, sur les études telatives aux. inondations de la Loire

(3

^c décembre 186o et 28 février 1861), les évaluations cl--après du débit maximum de la. crue de 1856 : ,

-

t..O OA tl TÉS.

� Bee·d'AlUer ^{• • • • • •} Bt·iarc, ^{.. • •' • . ..} , . • .

lesue du val d'O:rlèaDs.

, Tdurs. ^{• .}

.

, . • . • • . .

'

DWlTS. DISTANCtS.

mèt. çubes. kUomètr�s.

9.� ! 91

' . 8.6G:S

1 92'

"1.281

1

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' '

OJJSll"UV ^• .\.'.l'l 0�.

.

Entre la Dec·d.'A\liar ^et Driare ^il

eûsfe tres·peu diJ Q.igues, ^{ct le}

remplis �e

^{dés pltines s'ést}

fait ré�u èrerueQ\ e\ complé·

ielli�ot .

1

Pour la crue de 182.&,

la· pflu-torŒ d'e

^ce siècle, <fui n'a.' �as

'

/

•