Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚4
Nombres complexes et trigonom´ etrie (partie 1)
Exercice 13 (´Equations trigonom´etriques) 1. Soit (E) l’´equation
cos(3x) =−
√2 2 d’inconnuex.
(a) R´esoudre l’´equation (E) surR. (b) R´esoudre (E) sur ]−π, π].
2. R´esoudre l’´equation
cos(x) = sin(5x) d’inconnuex∈R.
3. R´esoudre l’´equation
2 sin2(x) + 5 cos(x) = 4 d’inconnuex∈R.
4. R´esoudre l’´equation
sin(2x) = cos2(x) d’inconnuex∈]−π, π].
Exercice 14 (In´equations trigonom´etriques) 1. R´esoudre l’in´equation
cos(x)≤1 2 d’inconnuex∈]−π, π].
2. R´esoudre l’in´equation
sin(2x)≥
√3 2 d’inconnuex∈i
−π 2,π
2 i. 3. R´esoudre l’in´equation
cos(x)≤
√2 2 d’inconnuex∈R.
4. R´esoudre l’in´equation
cos2(x)≤sin2(x) d’inconnuex∈[0, π].
5. R´esoudre l’in´equation
cos(x) + cos(3x)≥0 d’inconnuex∈i
−π 2,π
2 i. 6. R´esoudre l’´equation
sin(2x) + sin(4x) = sin(3x) d’inconnuex∈R.
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Exercice 15 (Primitives de produits de fonctions mettant en jeu cosinus et sinus) 1. Donner une primitive de la fonction f: R→R; x7→cos(4x) sin(5x).
2. Donner une primitive de la fonction g:R→R; x7→sin(3x) sin(7x).
Exercice 16 (Transformation d’une diff´erence de deux cosinus en un≪produit≫) 1. Soit (p, q)∈R2. ´Ecrire cos(p)−cos(q) comme un≪produit≫.
2. R´esoudre l’´equation
cos(7x)−cos(5x) = sin(6x) d’inconnuex∈R.
Exercice 17 (Tangente de l’angle moiti´e) 1. Soitθ∈]−π, π[. Justifier que le nombret= tan
θ 2
est bien d´efini et montrer que :
cos(θ) = 1−t2
1 +t2 et sin(θ) = 2t 1 +t2. 2. Soit (E) l’´equation
x2+y2=z2
d’inconnue (x, y, z) un triplet de nombres entiers naturels non nuls. Donner dix solutions de (E).
Exercice 18 (R´esolution d’une ´equation mettant en jeu des modules et forme trigonom´etrique) R´esoudre le syst`eme d’´equations
|z|= 1 z
=|1 +z| d’inconnuez∈Cet repr´esenter graphiquement les solutions.
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