{ D.M. DE MATHEMATIQUES (2)

(1)

I-Soit f la fonction définie sur]1 ;∞ [par fx=2 xsinx x−1 . 1. Démontrer que pour tout x1:

2 x−1

x−1 fx2 x1 x−1 . 2. En déduire la limite de f en∞

II-On considère la fonction f définie surℝpar :

{

^f^^x^=^x⁻1 si x1 fx=m²x²2 m x−3 si x1 .

Pour quelles valeurs de m la fonction f est-elle continue en 1?

III-Soit f la fonction définie sur[−2;2]par _f__x=E_x²_−x 1. Définir f sur l'intervalle]−1;1[.

2. Déterminer les autres intervalles tels que f puisse être définie sans la fonction partie entière.

3. En déduire les points de discontinuité de f ainsi que les intervalles sur lesquels f est continue.

4. Représenter f dans un repère orthonormée..

IV-Soit g la fonction définie surℝpar : _g_x=x³−3 x²−1. 1. Étudier les variations de g.

a. Déterminer les limites de g en−∞et∞. b. Dresser le tableau de variation de g.

c. Représenter g dans un repère orthonorméO ,i ,j (unité : 1 cm).

2. a. Démontrer que l'équation gx=0a une solution uniqueet donner un encadrement deà 10⁻²près.

b. Déterminer le signe de gxsuivant les valeurs de x.

3. Déterminer graphiquement, selon, les valeurs du réel k, le nombre de solutions de l'équation gx=k.

V-On considère la suite u_n_n0définie par u₀=

²et la relation de récurrence u_n1=

²^^uⁿ^.

1. Calculer u_{1 ,} u₂ et u₃(On donnera les valeurs approchées à₁₀⁻³près) 2. Démontrer par récurrence queu_nest croissante, majorée par 2.

3. a. Démontrer que, pour tout n1,2−u_n11

2 2−u_n. b. En déduire,par récurrence que, pour toutn1, 2−u_n 1

2 ⁿ⁻¹ .