Fonctions sinus et cosinus
I- Définitions
0 I
J
x sin(x)
cos(x) M
A tout nombre réel x, on associe un point unique M du cercle trigonométrique tel que x est une mesure en ra- dians de l’angle orienté (−−→
OI,−−−→ OM ).
Définition Rappel
Quelque soit le réelx, on appellecosinusetsinusdu réel x l’abscisse et l’ordonnée du point du cercle trigonomé- trique associé àxdans le repère (O ;#»ı , #»).
On les note cos(x) et sin(x).
Définition Cosinus et sinus
Pour tout réelx, on a :
• −16cosx61.
• −16sinx61.
• (cosx)2+ (sinx)2= 1 Propriété
♥
Nous venons de voir qu’à chaque réelx, nous pouvons associer une unique valeur de cosxet sinx. Nous allons donc pouvoir définir deuxfonctionscosinus et sinus
cos : R → [−1; 1]
x 7→ cosx sin : R → [−1; 1]
x 7→ sinx
Définition Fonctions cosinus et sinus
II- Dérivabilité
1) Limites préliminaires a) lim
x→0 sinx
x
b) lim
x→0 cosx−1
x
2) Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables surRet on a :
• (cos)′(x) =−sinx.
• (sin)′(x) = cosx.
Propriété
♥
3) Fonctions cos(u)etsin(u).
Soitu une fonction dérivable surR, les fonctionsf etg définies surRparf(x) = sin(u(x)) etg(x) = cos(u(x)) sont dérivables surRet on a :
• f′(x) =u′(x)×cos(u(x)).
• g′(x) =−u′(x)×sin(u(x)).
Propriété
♥
III- Périodicité
Les réels xetx+ 2π sont associés au même point sur le cercle trigonométrique, donc ont le même cosinus et le même sinus.
On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π.
Pour tout réelx,
cos(x+ 2π) = cos(x) et sin(x+ 2π) = sin(x)
Propriété Périodicité
♥
Remarque
On pourra donc restreindre l’étude de ces fonctions sur un intervalle d’amplitude 2πpar exemple : [−π;π].
IV- Parité
Dire qu’une fonction définie sur un ensembleD estpairesignifie que :
Pour tout nombrexappartenant àD, f(−x) =f(x)
Définition Fonction paire
La fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire.
Pour toutxréel on a :
• sin(−x) =−sin(x).
• cos(−x) = cos(x).
Propriété
♥
0
I J
sin(x)
−sin(x)
cos(x)
x
−x
V- Étude de la fonction sinus
x −π −π
2
π
2 π
Signe de
sin′(x) − 0 + 0 −
Variations de sin
0
−1
1
0
−2π −π 0 π 2π
1
−1 Cosinus
VI- Étude de la fonction cosinus
x −π 0 π
Signe de
cos′(x) 0 + 0 −
Variations de cos
−1
1
−1
−2π −π 0 π 2π 1
−1 Sinus
VII- Valeurs remarquables
0
1
− 2 1 2
π
π 3 2π
3
−
2π
3 −
π 3 p3
2
−
p3 2
π 6 π
2
5π 6
−
5π 6
−
π 2
−
π 6 p3
− 2 p3
2
1 2
−
1 2
π 4 π
2
3π 4
π
−
3π 4
−
π 2
−
π 4 p2
− 2 p2
2
p2 2
−
p2 2
VIII- Formulaire de trigonométrie
• Formules
sin2x+ cos2x= 1
sina·sinb=12·(cos(a−b)−cos(a+b)) sina·cosb=12·(sin(a+b) + sin(a−b))
0 I J
sinx
cosx x
0 I
J sin(x)
cos(x)
−cos(x)
x π−x
0
I J
sin(x)
−sin(x) cos(x)
−cos(x)
x
π+x
0
I J
sin(x)
−sin(x)
cos(x) x
−x
