Epreuve sur Dossier CAPES Mathématiques
G. Julia, 2014 1
ESD 2014.3c –02 : Résolution d’équations
1. Le sujet
A. L’exercice proposé au candidat
Soit f la fonction définie sur
]
−∞;2[ ]
U 2;+∞[
par :( )
2 2
−
= − x x x f
On appelle H sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
Soit m un nombre réel. On considère la droite (Dm) d’équation y=mx.
Trouver les points de H, s’ils existent, en lesquels la tangente à la courbe est parallèle à (Dm).
B. Les réponses proposées par deux élèves de première S à la question 2.
C. Le travail à exposer devant le jury
1. Analysez la réponse des deux élèves en mettant en évidence leurs compétences dans le domaine de la résolution d’équations.
2.Proposez une correction de l’exercice comme vous le feriez devant une classe de première scientifique en vous appuyant éventuellement sur un logiciel.
3. Présentez deux ou trois exercices sur le thème résolution d’équations. Vous prendrez soin de motiver le choix effectué.
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2. Eléments de correction
L’exercice propose une situation amenant à la résolution d’une équation au second degré (du type
« X2 =k ») dépendant d’un paramètre. La résolution d’équations du second degré dépendant d’un paramètre n’est pas explicitement au programme des classes de première mais il n’est pas interdit, comme le fait le professeur de la classe concernée, d’aborder les questions spécifiques à ce type d’équation à propos d’un cas concret.
Il s’agit de déterminer quelles sont, si elles existent, les tangentes à une hyperbole équilatère ayant une direction donnée.
1. Les deux élèves ont bien compris le problème posé et s’engagent dans une démarche correcte.
Tous deux identifient que la situation se ramène à la résolution de l’équation :
(
x−42)
2 =mgilbertjulia2014, l’unimplicitement l’autre en liant la propriété de parallélisme à une condition portant sur les coefficients directeurs de (Dm) et d’une tangente.
Leurs démarches se différencient au niveau de la résolution de cette équation.
Elève 1.
Réussites.
• Il s’engage dans une discussion (dans celle-ci, il est probable qu’il ait voulu dire « comme 4 et
(
x−2)
2 sont strictement positifs » plutôt que « comme m et(
x−2)
2 sont strictement positifs », il faudrait s’en assurer). Cette discussion l’amène à une disjonction de cas, distinguant le cas≤0
m dans lequel il conclue pertinemment à l’absence de tangente.
• Il reconnaît qu’une équation du type X2 =k peut être résolue sans recourir à la méthode générale de résolution d’une équation du second degré.
Erreurs
Cet élève veut utiliser le théorème : « Deux nombres positifs a et b sont égaux si et seulement si leurs racines carrées sont égales ». Il ne prend pas en compte que
(
x−42)
2 = x2−2 et non x−22. Il n’obtient en conséquence qu’une seule des deux solutions attendues.Elève 2.
Cet élève modifie l’écriture de l’équation en la transformant en une équation de la forme ax2 ++bx+c=0 Réussites.
L’élève maîtrise la méthode générale de résolution d’une équation du second degré. Il trouve une expression correcte de chacune des deux solutions de l’équation. (Il s’agit là d’un savoir faire et non d’une compétence).
Erreurs.
Cet élève ne prend pas conscience de la nécessité d’une discussion, notamment à propos du signe du discriminant, dont le signe est celui de m. Il faudrait demander à cet élève de construire les tangentes qu’il a obtenues lorsque, par exemple, m=−1 et voir dans quelle mesure il corrige lui-même sa résolution.
2. La représentation graphique de l’hyperbole est un support indispensable au raisonnement mais je ne suis pas persuadé qu’un recours à un logiciel soit utile. Aussi bien, les élèves peuvent tracer l’hyperbole « à la main » sur leur feuille de papier. On y trace aussi une ou deux droites (Dm) pour se familiariser avec la situation.
On reprend les conclusions des deux élèves : « La droite (Dm) a pour coefficient directeur m et d’autre part le coefficient directeur de la tangente à l’hyperbole en son point d’abscisse x est le nombre dérivé en ce point,
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soit
(
x−42)
2 gilbertjulia2014. ces deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficientdirecteur. Le réel m étant donné, il s’agit de savoir si on peut trouver x tel que
(
x−42)
2 =m (1)Revenir sur l’énoncé qui précise « trouver les points s’ils existent » pour préparer une correction en deux temps :
• La question d’existence de tels points
• La détermination de ces points.
Pour étudier leur existence éventuelle, on peut construire un tableau des variations de la fonction dérivée et mobiliser le théorème des valeurs intermédiaires. Il s’agit d’arriver à la conclusion que l’équation (1) à zéro ou deux solutions suivant les valeurs de m :
• Si m≤0, il n’y a aucun point de l’hyperbole où la tangente est parallèle à (Dm).
• Si, il y a deux points de l’hyperbole où la tangente est parallèle à (Dm).
Cette question d’existence étant résolue, on revient (entre autres) sur les résolutions des deux élèves.
• Pourquoi l’élève 1 n’a-t-il trouvé qu’une seule solution dans le cas m>0 ? On corrige
l’équivalence :
( )
−
− =
− =
⇔
− =
x m bien ou
x m m
x gilbertjulia
2 2
2 2
2 4
2 2014
• Pourquoi le cas m≤0 a-t-il échappé à l’élève 2 ? Le signe du discriminant doit être discuté puisqu’il dépend de m et avant cela, on doit se poser la question de savoir si l’équation transformée est bien dans tous les cas une équation du second degré (ce qui amène à se pencher sur le cas m=0).
On conclue sur la conduite à tenir lorsqu’une équation contient un paramètre. Au cours de la résolution, ce paramètre peut amener à envisager une discussion suivant ses valeurs.
Pour terminer la correction, on peut construire quelques paires de tangentes (par exemple pour les valeurs 1, 4 ou 9 du paramètre). C’est l’occasion de prêter attention aux dispositions relatives des deux tangentes d’une même paire. Leur disposition symétrique par rapport au point d’intersection des asymptotes est-elle une coïncidence ou bien résulte-t-elle d’une propriété géométrique de l’hyperbole ?
