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ÉNERGIE
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On représente la trajectoire d’un objet jeté en l’air. On note v la norme de son vecteur vitesse et on compare v aux points A, B et C (A et C étant situés sur une même horizontale). Quelle est la bonne proposition ? On justifiera soigneusement sa réponse.
(a) vA> vB > vC (c) vA=vC > vB (b) vA> vC > vB (d) vC > vA> vB
2 Distance de freinage
Calculer la distanceDde freinage d’une voiture lancée à la vitessev0 sur une route horizontale (µcoefficient de frottement solide entre les roues et la route). On néglige les frottements de l’air.
Application numérique : v0 = 40 m.s−1, g = 10 m.s−2, µ = 0,6 (route sèche), puisµ= 0,2 (route mouillée).
Réponses : D= 133 m ;D= 400 m.
3 Toboggan
Un adulte (m = 70 kg) descend un toboggan d’une hauteur h = 5,0 m faisant un angle α = 45◦ avec le sol. En présence de frottements solides, la norme de la composante tangentielle −→
RT de la réaction −→
R est donnée park−→
RTk=fk−→
RNk oùf est le coefficient de frottement (f = 0,4) et −→
RN est la composante normale de la réaction. On prendrag= 9,8 m.s−2.
1) Vérifier que l’angle α est suffisamment élevé pour que le glissement puisse avoir lieu.
2) Calculer la variation de l’énergie mécanique due au frottement entre le haut et le bas du toboggan.
3) Déterminer la vitesse de la personne en bas du toboggan. La comparer à celle qu’elle aurait s’il n’y avait pas de frottement.
Réponses :avec frottementsv= 7,7 m.s−1; sans frottement v= 9,9 m.s−1.
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Une balle tombe d’une hauteur ho = 1 m sur un plancher sur lequel elle rebondit. Elle repart vers le haut avec une vitesse v1 = evo, vo étant la vitesse de la balle lorsqu’elle atteint le plancher. Le coefficient de restitution eest égal à0,8. On négligera les frottements de l’air.
Quelles sont les hauteurs h1, h2.. et hn atteintes par la balle après le premier rebond, le second.. le nieme?
5 Limites de trajectoire et énergie
Une particule fixe, de charge électriqueq est placée à l’origineO d’un axe Ox(problème à une dimension axiale). On néglige le poids des particules.
1) On lance à une distanceadeO une seconde particule, de charge−q et de masse m, dans une direction tendant à l’éloigner deO. Quelle vitesse initialev0 doit-on lui communiquer pour qu’elle échappe à l’attraction de la particule fixe placée enO? On pourra justifier sa réponse à l’aide d’un graphique énergétique.
2) La particule mobile a maintenant la charge+qet sa vitesse initiale est dirigée versO. Montrer que cette particule ne peut atteindre O; calculer la distance minimale d’approcheben fonction de v0.
D’après vous, dans quel but cherche-t-on a rapprocher deux charges posi- tives ?
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6 Mouvement d’une bille sur un support
Une bille de massem est déposée à une hauteurh sur un support, dont la seconde partie est circulaire de rayonR=h/2. Aucun frottement n’est envisagé.
a) Quelle sera la vitesse maximale atteinte par la bille ?
b) Déterminer l’expression de la réaction normaleN~ du support en fonc- tion deθ.
c) En déduire pour quelle valeur de l’angleθ la bille décolle.
7 Détermination de positions d’équilibre. Étude de leur stabilité
O M
A
x
a On considère le système représenté sur la
figure ci-contre. La masse m glisse sans frottement le long de l’axe Ox. Elle est attachée à un ressort de longueur à vide
`0, de raideur k, fixé enA d’abscisse a.
1) Montrer que le mouvement est conser- vatif et exprimerEp(x), l’énergie poten- tielle de la massem. On choisiraEp = 0 lorsque la longueur du ressort est égale à sa longueur à vide (`=`0).
2) En déduire les positions d’équilibre possibles. On distinguera les trois cas suivants :
– a < `0
– a=`0
– a > `0
3) Étudier la stabilité des positions d’équilibre déterminées précédemment.
4) Déterminer la période des petites oscillations au voisinage des positions d’équilibre stables dans le cas oùa < `0 eta > `0.
5) On se place dans le casa=`0. Le développement limité à l’ordre 4de Ep(x) au voisinage dex= 0s’exprime alors sous la forme :
Ep(x) =
d4Ep
dx4
x=0
x4
4! avec
d4Ep
dx4
x=0
= 3k a2
Établir l’équation du mouvement au voisinage de la position d’équilibre stable. Montrer que l’on n’obtient plus d’oscillations harmoniques. On note T, la période des oscillations et x0 leur amplitude. Établir une relation intégrale entreT etx0.
Il pourra être utile pour faire cet exercice de consulter le site :
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/
Meca/Oscillateurs/ressort_bifur.html
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8 Éruption volcanique sur Io.
A - Préambule
A.1. On considère la force de pesanteur m~g = −mg ~ez. Déterminer l’ex- pression de l’énergie potentielle dont dérive cette force, à une constante additive près. Déterminer cette constante dans le cas particulier où on choisitEp= 0 en z= 0.
A.2. On considère un point matérielM de masse m, placé dans le champ gravitationnel d’un astre à symétrie sphérique de masseM0et de centreO.
On admettra que cet astre est assimilable à un point confondu avec son centreO et de masse M0. On note−−→
OM =r ~er.
A.2.a. Donner l’expression de la force gravitationnelleF~ qui s’exerce sur la massemen coordonnées sphériques, en fonction dem,M0,G constante gravitationnelle,r et~er vecteur unitaire des coordonnées sphériques.
A.2.b. Rappeler l’expression du déplacement élémentaire d−−→
OM en coor- données sphériques. En déduire l’expression du travail élémentaire de la forceF~.
A.2.c. Déterminer l’expression de l’énergie potentielle dont dérive F~, à une constante additive près. On choisit Ep nulle à l’infini. En déduire la valeur de la constante.
B - Étude du panache volcanique
À partir des données envoyées par l’engin spatial Voyager 1 en 1979, l’ingénieure Linda Morabito a découvert sur Io, un des satellites de Jupiter, la première ac- tivité volcanique extra-terrestre. Le panache de l’éruption s’élevait à une altitude h = 280 km environ (on considèrera que cette donnée comporte deux chiffres significatifs). Io ne possède quasiment pas d’atmosphère, on négligera donc toute force de frottement. On suppose le référentiel lié à Io (i.e dans lequel Io est fixe) galiliéen.
B.1. Sachant que le champ de pesanteur à la surface de Io vautg0 = 1,8 m.s−2 et en supposant qu’il reste constant sur toute la hauteur du pa- nache, déterminer la vitesse v à laquelle les débris étaient projetés de la surface de Io. On exprimera tout d’abordv en fonction deg0 eth puis on fera l’application numérique.
B.2. Io est un satellite de forme sphérique, de masse M0, de rayon
R0 = 1,82.103 km. Il pourra être assimilé à une masse ponctuelleM0 pla- cée en son centre. On rappelle que champ de pesanteur~gest lié à la force gravitationnelle F~ s’exerçant sur une massem par la relationF~ =m~g.
B.2.a. On note ~g0 = −g0~er le champ gravitationnel à la surface de Io.
Exprimerg0 en fonction de G constante gravitationnelle,M0 etR0. B.2.b. On note~g=−g ~er le champ gravitationnel à l’altitudeh. Exprimer gen fonction deG,M0,R0 eth, puis en fonction deg0,R0 eth. Calculer le rapport g
g0.
B.2.c. Que pensez-vous de l’approximation faite au 1. ? A-t-elle conduit à surestimer ou à sous-estimer la vitesse d’éjection des débris ? On fournira une réponse argumentée, mais ne comportant pas de calcul.
B.3. On tient désormais compte de la variation de g avec l’altitude.
En utilisant une méthode énergétique, déterminer la vitesse v0 d’éjec- tion des débris à la surface de Io. On exprimera v0 en fonction de G, M0,R0 ethpuis en fonction deg0,R0eth. Faire l’application numérique.
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