2 Sensibilité de l’œil

INTRODUCTION AU MONDE QUANTIQUE

Données utiles :

– constante de Planck : h= 6,63.10⁻³⁴ J.s.

– constante de Boltzmann : k_B = 1,38.10⁻²³ J.K⁻¹ – vitesse de la lumière dans le vide : c= 3,00.10⁸ m.s⁻¹ – masse de l’électron : me = 9,11.10⁻³¹ kg

– constante d’Avogadro : NA= 6,02.10²³ mol⁻¹ – charge élémentaire : e= 1,60.10⁻¹⁹ C

– 1 eV= 1,60.10⁻¹⁹ J

1 Énergie d’un photon

La fréquence des ondes émises par les équipements Wi-Fi (Wireless-Fidelity) est de 2,4GHz.

1) Calculer :

– la longueur d’onde dans le vide de ces ondes ;

– l’énergie des photons associés, en Joule puis en électron-volt.

2) Comparer la valeur de l’énergie d’un de ces photons à celle d’un photon du domaine visible de longueur d’onde λ= 600 nm.

2 Sensibilité de l’œil

Pour que l’œil puisse détecter une source ponctuelle de lumière à500nm, au moins25photons par seconde doivent pénétrer dans l’œil par la pupille.

1) Quelle est la puissance associée à ce débit de photons ?

2) En supposant que la pupille a un diamètre de 5 mm, calculer l’intensité de la lumière qui éclaire la pupille (en W.m⁻²)

3) Quelle est la distance maximale (en années-lumière) à laquelle une étoile de la luminosité du soleil (P= 3,85.10²⁶ W) est visible (on suppose que toute la lumière de l’étoile est émise à 500 nm) ?

Données : surface d’une sphère de rayon R : 4πR²

1

3 Microscope électronique

Dans un microscope électronique, les électrons sont accé- lérés par une différence de potentiel d’une cinquantaine de kV, ce qui leur communique une énergie cinétique d’envi- ron 50 keV.

1) Déterminer la longueur d’onde associée à l’électron, en supposant que l’électron n’est pas relativiste.

2) Calculer la vitesse de l’électron. Que pensez-vous de l’hypothèse de l’électron non relativiste.

3) Calculer la longueur d’onde de l’électron dans le cadre de la mécanique relativiste où les formules applicables à l’électron deviennent :

– énergie : E =E_c+mc² avec E_c, l’énergie cinétique

– lien énergie et quantité de mouvement : E² =p²c² +m²c⁴

On déterminera d’abord l’expression de pc en fonction de E_c, m et c, puis on utilisera la relation de de Broglie.

4) Comparer les deux valeurs trouvées. Commenter. Conclure quant à l’intérêt par rapport à un microscope optique. Question subsidiaire : c’est quoi sur la photo ?

4 Étude d’une cellule photoélectrique au potassium

La cathode (électrode émettrice d’électrons) d’une cellule photoélectrique au potassium est éclairée par deux radiations lumineuses monochromatiques différentes de longueurs d’ondes respectivesλ₁ = 490 nm etλ₂ = 660 nm. La puissance P = 9,00.10⁻⁷ W de ces deux sources de rayonnement est la même. Le travail d’extraction d’un électron du potassium est pris égal à W₀ = 2,25eV.

1) Les deux radiations permettent-elles l’émission d’électrons ?

2) Déterminer l’expression de la vitesse maximale des électrons émis par la cathode et calculer sa valeur numérique.

3) On observe que l’intensité du courant est I = 4,00.10⁻⁸ A. Déterminer le rendement quantique de la cellule, c’est-à-dire le rapport du nombre d’électrons émis au nombre de photons reçus. On supposera que tous les électrons émis participent au courant.

5 Approche classique de l’effet photoélectrique

Des photo-électrons peuvent être émis par du sodium, même pour des intensités lumineuses aussi faibles que I = 10⁻⁸ W.m⁻². Évaluer, en utilisant un modèle continu de la lumière, le temps nécessaire pour que cette lumière puisse produire des photo-électrons. On pourra supposer que toute la lumière est absorbée par la première couche atomique et que la répar- tition de la lumière est uniforme sur la feuille de sodium. Le temps de réponse d’une cellule photoélectrique est de l’ordre de 10⁻⁹ s. Commenter.

Données pour le sodium :masse volumiqueρ= 971 kg.m⁻³, masse molaireM = 23,0 g.mol⁻¹, travail d’extraction W₀ = 2,36eV.

2

6 Pression de radiation

On considère une onde électromagnétique plane monochromatique de longueur d’onde λ se propageant dans le sens des x croissants. Son flux lumineux est caractérisé par sa puissance par unité de surface φ= 1,5.10³ W.m⁻².

Cette onde se réfléchit sur un miroir plan placé perpendiculairement à l’axe Ox. L’onde réfléchie a même longueur d’onde λ que l’onde incidente et se propage dans le sens des x décroissants.

La réflexion de l’onde s’accompagne d’une force par unité de surface sur le miroir, que l’on appelle pression de radiation.

1) Rappeler l’expression de l’énergie des photons associés aux deux ondes, ainsi que leurs quantités de mouvements respectives : ~p_i quantité de mouvement des photons incidents etp~_r quantité de mouvement des photons réfléchis.

2) En vous inspirant du calcul de la pression cinétique d’un gaz, exprimer la pression de ra- diation produite par les photons en fonction de φ et c.

La pression de radiation est un moyen de propulsion envisagé pour les sondes spatiales. Voir la mission japonaise IKAROS (Interplanetary Kite-craft Accelerated by Radiation Of the Sun), mise en orbite le 20 mai 2010 et qui est passée au voisinage de Vénus le 8 décembre 2010. On peut lire sur le site des constructeurs :

"IKAROS is a space yacht that gathers energy for pro- pulsion from sunlight pressure by means of a membrane (or a solar sail.) The mission aims at verifying navigation technology using a solar sail for first time in the world. A solar sail can move forward without consuming propellant as long as it can generate enough energy from sunlight.

This idea of a solar sail was born some 100 years ago, as we often find it in science fiction novels, but it has not been realized to date. In that sense, if we can verify this navigation technology through the IKAROS it will mark the first spectacular achievement of its kind in the world.

In addition to the solar sail technology, the IKAROS will also verify power generation from thin film solar cells attached on the membrane in addition to acceleration by solar radiation.

Therefore, the demonstrator is named “Solar Power Sail” and is not just a solar sail mission.

A solar sail is technology that can generate propulsion in space without propellant as long as sunlight exists. In the case of a solar power sail, it can gain the necessary electric power using a vast area of thin film solar cells on the membrane even when the demonstrator is away from the sun."

Plus récemment, le projet Startshot a été initié. Il consiste à propulser à l’aide de laser des puces électroniques attachées à des voiles réfléchissantes. Une fois lancées on espère que certaines d’entre elles puissent atteindre notre étoile la plus proche,αdu Centaure, et envoient même des informations depuis leur destination. Beaucoup de défis technologiques restent encore à relever, mais l’objectif est fixé¹

1. Voir l’articleCap sur Alpha du Centaure, Pour la science n^◦ 476 Juin 2017, p48

3

7 Vers le zéro absolu

On considère un gaz parfait monoatomique constitué d’atomes de masse m en équilibre ther- mique à la température T.

1) Exprimer la vitesse quadratique moyenneudes atomes en fonction de la températureT du gaz. Comment interpréter la limite du zéro absolu ? Quel énoncé de la mécanique quantique se trouve alors contredit ?

2) Rappeler l’expression de λ , la longueur d’onde de de Broglie associée à une particule de quantité de mouvement p. En déduire une expression de λ, appelée aussi longueur d’onde thermique, en fonction entre autres de la températureT du gaz.

3) En notant n la densité de particules (nombre d’atomes par unité de volume) évaluer d la distance moyenne entre deux atomes. En comparant λ et d, mettre en évidence une tem- pérature seuil en dessous de laquelle des effets quantiques apparaissent. On exprimera cette température en fonction de h,kB, m et d.

4) En considérant l’hélium liquide de masse volumique µ = 125 kg.m⁻³, estimer la valeur deT_S.

Données : masse molaire de l’hélium M = 4,00g.mol⁻¹

4