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EN ROUTE VERS LE BACCALAUREAT 2021 VOIE GENERALE

Comme vous le savez, la réforme du Baccalauréat annoncée par le Ministère de l’Education nationale entre en vigueur progressivement jusqu’à l’année 2021, date de délivrance des premiers diplômes de la nouvelle formule.

A l’horizon de ce nouveau Baccalauréat, notre Etablissement, toujours attentif aux conséquences des réformes pour les élèves, s’est emparé de la question avec force énergie et conviction pendant plusieurs mois, animé par le souci constant de la réussite de nos lycéens dans leurs apprentissages d’une part, et par la pérennité de leur parcours d’autre part.

Notre Etablissement a questionné la réforme, mobilisé l’ensemble de son équipe de professeurs-auteurs, et déployé tout son savoir-faire afin de vous proposer un enseignement tourné continuellement vers l’excellence, ainsi qu’une scolarité tournée vers la réussite.

Les Cours Pi s’engagent pour faire du parcours de chacun de ses élèves un tremplin vers l’avenir.

Les Cours Pi s’engagent pour ne pas faire de ce nouveau Bac un diplôme au rabais.

Les Cours Pi s’engagent auprès de vous, et vous offrent une écoute et du conseil pour co-construire une scolarité sur-mesure.

#BAC 2021 LES GRANDES LIGNES

Vous êtes nombreux à vous interroger sur les contours du nouveau Bac. Pour être informé des évolutions telles qu’elles se présentent au fil des jours, signalez-vous par mail auprès de votre Responsable Pédagogique dont vous avez les coordonnées dans votre carnet de route.

Le nouveau Lycée, c’est un enseignement à la carte organisé autour d’un tronc commun unique, un large socle de culture commune humaniste et scientifique.

CE QUI CHANGE

• Il n’y a plus de séries à proprement parler.

• Les élèves choisissent des spécialités : trois disciplines en classe de Première ; puis n’en conservent que deux en Terminale.

• Une nouvelle épreuve en examen final : le grand oral dont les contours restent encore très incertains.

• Pour les lycéens en présentiel l’examen est un mix de contrôle continu et d’examen final laissant envisager un diplôme à plusieurs vitesses.

CE QUI NE CHANGE PAS

• Le Bac reste un examen accessible aux candidats libres avec examen final.

• Le système actuel de mentions est maintenu.

• Les épreuves anticipées de français, écrite et orale, se dérouleront comme aujourd’hui en fin de Première.

A l’occasion de la réforme du Lycée, nos manuels ont été retravaillés dans notre atelier pédagogique pour un accompagnement optimal à la compréhension. Sur la base des programmes officiels, nous avons choisi de créer de nombreuses rubriques :

• Suggestions de lecture pour s’ouvrir à la découverte de livres de choix sur la matière ou le sujet

• Réfléchissons ensemble pour guider l'élève dans la réflexion

• L’essentiel et Le temps du bilan pour souligner les points de cours à mémoriser au cours de l’année

• À vous de jouer pour mettre en pratique le raisonnement vu dans le cours et s’accaparer les ressorts de l’analyse, de la logique, de l’argumentation, et de la justification

• Pour aller plus loin pour visionner des sites ou des documentaires ludiques de qualité

• Et enfin ... la rubrique Les Clés du Bac by Cours Pi qui vise à vous donner, et ce dès la seconde, toutes les cartes pour réussir votre examen : notions essentielles, méthodologie pas à pas, exercices types et fiches étape de résolution !

MATHEMATIQUES PREMIERE Module 1 : second degré

L’AUTEUR

PRESENTATION

Ce cours est divisé en chapitres, chacun comprenant :

• Le cours, conforme aux programmes de l’Education Nationale

• Des exercices d’application et d’entraînement

• Les corrigés de ces exercices

• Des devoirs soumis à correction (et se trouvant hors manuel). Votre professeur vous renverra le corrigé-type de chaque devoir après correction de ce dernier.

Pour une manipulation plus facile, les corrigés-types des exercices d’application et d’entraînement sont regroupés en fin de manuel.

CONSEILS A L’ELEVE

Vous disposez d’un support de Cours complet : prenez le temps de bien le lire, de le comprendre mais surtout de l’assimiler. Vous disposez pour cela d’exemples donnés dans le cours et d’exercices types corrigés.

Vous pouvez rester un peu plus longtemps sur une unité mais travaillez régulièrement.

LES FOURNITURES

Vous devez posséder :

• une calculatrice graphique pour l’enseignement scientifique au Lycée comportant un mode examen (requis pour l’épreuve du baccalauréat).

• un tableur comme Excel de Microsoft (payant) ou Calc d’Open Office (gratuit et à télécharger sur http ://fr.openoffice.org/). En effet, certains exercices seront faits de préférence en utilisant un de ces logiciels, mais vous pourrez également utiliser la calculatrice).

LES DEVOIRS

Les devoirs constituent le moyen d’évaluer l’acquisition de vos savoirs (« Ai-je assimilé les notions correspondantes ? ») et de vos savoir-faire (« Est-ce que je sais expliquer, justifier, conclure ? »).

Placés à des endroits clés des apprentissages, ils permettent la vérification de la bonne assimilation des enseignements.

Aux Cours Pi, vous serez accompagnés par un professeur selon chaque matière tout au long de votre année d’étude. Référez-vous à votre « Carnet de Route » pour l’identifier et découvrir son parcours.

Avant de vous lancer dans un devoir, assurez-vous d’avoir bien compris les consignes.

Si vous repérez des difficultés lors de sa réalisation, n’hésitez pas à le mettre de côté et à revenir sur les leçons posant problème. Le devoir n’est pas un examen, il a pour objectif de s’assurer que, même quelques jours ou semaines après son étude, une notion est toujours comprise.

Aux Cours Pi, chaque élève travaille à son rythme, parce que chaque élève est différent et que ce mode d’enseignement permet le « sur-mesure ».

Nous vous engageons à respecter le moment indiqué pour faire les devoirs. Vous les identifierez par le bandeau suivant :

Il est important de tenir compte des remarques, appréciations et conseils du professeur-correcteur. Pour cela, il est très important d’envoyer les devoirs au fur et à mesure et non groupés. C’est ainsi que vous progresserez !

Donc, dès qu’un devoir est rédigé, envoyez-le aux Cours Pi par le biais que vous avez choisi : 1) Par voie postale à Cours Pi, 9 rue Rebuffy, 34 000 Montpellier

Vous prendrez alors soin de joindre une grande enveloppe libellée à vos nom et adresse, et affranchie au tarif en vigueur pour qu’il vous soit retourné par votre professeur

1) Par envoi électronique à l’adresse mail dédiée qui vous a été communiquée si vous avez souscrit à cette option

2) Par soumission en ligne via votre espace personnel sur PoulPi, pour un envoi gratuit, sécurisé et plus rapide.

N.B. : quel que soit le mode d’envoi choisi, vous veillerez à toujours joindre l’énoncé du devoir ; plusieurs énoncés étant disponibles pour le même devoir.

N.B. : si vous avez opté pour un envoi par voie postale et que vous avez à disposition un scanner, nous vous

engageons à conserver une copie numérique du devoir envoyé. Les pertes de courrier par la Poste française

sont très rares, mais sont toujours source de grand mécontentement pour l’élève voulant constater les fruits

de son travail.

SOUTIEN ET DISPONIBILITE

Professeur des écoles, professeur de français, professeur de maths, professeur de langues : notre Direction Pédagogique est constituée de spécialistes capables de dissiper toute incompréhension.

Au-delà de cet accompagnement ponctuel, notre Etablissement a positionné ses Responsables pédagogiques comme des « super profs » capables de co-construire avec vous une scolarité sur-mesure.

En somme, le Responsable pédagogique est votre premier point de contact identifié, à même de vous guider et de répondre à vos différents questionnements.

Votre Responsable pédagogique est la personne en charge du suivi de la scolarité des élèves.

Il est tout naturellement votre premier référent : une question, un doute, une incompréhension ? Votre Responsable pédagogique est là pour vous écouter et vous orienter. Autant que nécessaire et sans aucun surcoût.

Du lundi au vendredi :

• de 9h à 12h : pour toutes vos questions et notamment vos différents blocages scolaires;

• de 13h à 18h : sur rendez-vous, pour la mise en place d’un accompagnement individualisé, d’un emploi du temps, d’une solution sur-mesure, ou pour une urgence.

Orienter les parents et les élèves.

Proposer la mise en place d’un accompagnement individualisé de l’élève.

Faire évoluer les outils pédagogiques.

Encadrer et coordonner les différents professeurs.

Notre Etablissement a choisi de s’entourer de professeurs diplômés et expérimentés, parce qu’eux seuls ont une parfaite connaissance de ce qu’est un élève et parce qu’eux seuls maîtrisent les attendus de leur discipline. En lien direct avec votre Responsable pédagogique, ils prendront en compte les spécificités de l’élève dans leur correction. Volontairement bienveillants, leur correction sera néanmoins juste, pour mieux progresser.

Une question sur sa correction ?

• faites un mail ou téléphonez à votre correcteur et demandez-lui d’être recontacté en lui laissant un message avec votre nom, celui de votre enfant et votre numéro.

• autrement pour une réponse en temps réel, appelez votre Responsable pédagogique.

Placé sous la direction d’Elena COZZANI, le Bureau de la Scolarité vous orientera et vous guidera dans vos démarches administratives. En connaissance parfaite du fonctionnement de l’Etablissement, ces référents administratifs sauront solutionner vos problématiques et, au besoin, vous rediriger vers le bon interlocuteur.

Du lundi au vendredi, de 9h à 18h : 04.67.34.03.00

[email protected]

CHAPITRE 1 : fonctions et équations du second degré ... 4

OBJECTIFS • Découvrir la fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée. • Comprendre les notions associées de racine, signe, expression de la somme et du produit des racines. • Découvrir la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré. • Comprendre les notions associées de discriminant, factorisation éventuelle, résolution d’une équation du second degré et signe. COMPÉTENCES VISEES • Étudier le signe d’une fonction polynôme du second degré donné sous forme factorisée. • Déterminer les fonctions polynômes du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts. • Factoriser une fonction polynôme du second degré, en diversifiant les stratégies : racine évidente, détection des racines par leur somme et leur produit, identité remarquable, application des formules générales. • Choisir une forme adaptée (développée réduite, canonique, factorisée) d’une fonction polynôme du second degré dans le cadre de la résolution d’un problème (équation, inéquation, optimisation, variations). • Résolution de l’équation du second degré. 1. Fonctions du second degré ... 3

Execices ... 10

2. Equations et inéquations du second degré ... 16

Execices ... 26

Le temps du bilan ... 36

CHAPITRE 2 : compléments sur les fonctions ... 38

OBJECTIFS • Définir et connaître les principales propriétés des fonctions homographiques. • Etudier la valeur absolue sous forme de fonction. COMPÉTENCES VISEES • Connaître la représentation algébrique et graphique d’une fonction homographique. • Savoir tracer la représentation de la fonction valeur absolue. 1. Fonctions homographiques ... 39

2. Fonctions valeur absolue ... 42

Execices ... 44

Le temps du bilan ... 51

LES CLES DU BAC ... 52

CORRIGES à vous de jouer et exercices ... 56

ESSAIS

• Les maths c'est magique ! Johnny Ball

• 17 Équations qui ont changé le monde Ian Stewart

• Alex au pays des chiffres Alex Bellos

• Le grand roman des maths :de la préhistoire à nos jours Mickael Launay

• Histoire universelle des chiffres : L'intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul Georges Ifrah

• Le démon des maths. Hans Magnus Enzensberger

• A propos de rien : une histoire du zéro Robert kaplan

BANDES-DESSINEES

• Logicomix Doxiádis / Papadátos / Papadimitríou

• Les maths en BD 1 et 2 Larry Gonick

DOCUMENTAIRES AUDIOVISUELS

• L’extraordinaire aventure du chiffre 1 Terry Jones

SITES INTERNET

• www.images.maths.cnrs.fr

• www.micmaths.com

• www.villemin.gerard.free.fr

• www.therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr

• www.dimensions-math.org

Le Cours

INTRODUCTION

_________________________________________________

Dans ce module, nous allons faire l’étude complète de ces fonctions du second degré, généralisation de la fonction carrée. Connues et étudiées par les Babyloniens au XVIII

^ème

siècle av. JC puis par les mathématiciens Indiens, c’est le mathématicien Al-Khwarizmi, déjà connu pour sa résolution des équations du premier degré, qui systématise la résolution des équations du second degré. A l’issu de ce module, vous serez capable de résoudre n’importe quelle équation (polynomiale) comportant des carrés ! Dans le second chapitre, nous verrons quelques compléments sur une généralisation de la fonction inverse : les fonctions homographiques, impliquées également dans le mouvement des trajectoires des planètes avant de faire une étude fonctionnelle de la valeur absolue.

Prenez un objet et jetez-le très loin devant vous… Recommencez avec un autre objet…

Recommencez avec le même objet mais en lançant plus fort… Vous constaterez que la trajectoire de

l’objet a toujours une forme de cloche inversée ! Ce mystère se cache dans les lois de la gravitation,

découvertes par Newton. La mise en équation de ces lois et leur résolution mathématique fait

apparaître des objets spéciaux : des fonctions du second degré, dont les courbes représentatives

correspondent aux trajectoires des objets que vous avez lancés précédemment !

CHAPITRE 1 FONCTIONS ET EQUATIONS DU SECOND DEGRE

Les fonctions du 2nd degré jouent un rôle important en particulier en physique classique (trajectoire d'un projectile ou de comètes, distance parcourue dans le cas d'un mouvement uniformément accéléré…) et même en physique quantique ! La fonction carrée, la plus élémentaire d'entre elles a été étudiée en 2

^nde

. Nous allons généraliser cette fonction.

OBJECTIFS

• Découvrir la fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée.

• Comprendre les notions associées de racine, signe, expression de la somme et du produit des racines.

• Découvrir la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré.

• Comprendre les notions associées de discriminant, factorisation éventuelle, résolution d’une équation du second degré et signe.

COMPÉTENCES VISÉES

• Étudier le signe d’une fonction polynôme du second degré donné sous forme factorisée.

• Déterminer les fonctions polynômes du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts.

• Factoriser une fonction polynôme du second degré, en diversifiant les stratégies : racine évidente, détection des racines par leur somme et leur produit, identité remarquable, application des formules générales.

• Choisir une forme adaptée (développée réduite, canonique, factorisée) d’une fonction polynôme du second degré dans le cadre de la résolution d’un problème (équation, inéquation, optimisation, variations).

• Résolution de l’équation du second degré.

PRÉ-REQUIS

• Bases sur les fonctions.

• Connaissance des fonctions usuelles.

• Factorisation/développement d’une expression.

FONCTIONS ET EQUATIONS DU SECOND DEGRE Fonctions du second degré

Les fonctions du 2

^nd

degré jouent un rôle important en particulier en physique classique (trajectoire d'un projectile ou de comètes, distance parcourue dans le cas d'un mouvement uniformément accéléré...) et même en physique quantique ! La fonction carrée, la plus élémentaire d'entre elles a été étudiée en 2

^nde

. Nous allons généraliser cette fonction. Pour débuter le cours, nous allons commencer par 2 activités

ACTIVITE 1.1

1) Rappelez la définition d'une fonction f strictement croissante sur un intervalle I. Quelle allure a alors la courbe ?

2) Rappelez la définition d'une fonction f strictement décroissante sur un intervalle I. Quelle allure a alors la courbe ?

3) Rappelez la définition du minimum m d'une fonction f sur un intervalle I.

4) Rappelez la définition du maximum M d'une fonction f sur un intervalle I.

ACTIVITE 1.2

Voici la courbe représentative d'une fonction f

.

1) Comment s’appelle ce type de courbe ?

2) A la courbe de quelle fonction de référence fait-elle penser ? 3) Quelles sont les coordonnées du sommet ?

4) Quelles sont les variations de f ? Faites son tableau de variations.

5) La courbe présente un axe de symétrie. Tracez-le et donnez son équation.

Première approche

SOLUTIONS DE L’ACTIVITE 1.1

1) f est strictement croissante sur I si et seulement si : si a et b sont 2 points de I, on a : a b f a f b < ⇒ ( ) ( ) <

La courbe monte.

2) f est strictement décroissante sur I si et seulement si : si a et b sont 2 points de I, on a : a b f a f b < ⇒ ( ) ( ) >

La courbe descend.

3) m est le minimum de f sur I si et seulement si : Pour tout 𝑥𝑥 de 𝐼𝐼, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 𝑚𝑚 4) M est le minimum de f sur I si et seulement si : Pour tout 𝑥𝑥 de 𝐼𝐼, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 𝑀𝑀 SOLUTIONS DE L’ACTIVITE 1.2

1) Il s'agit d'une parabole.

2) Cela fait penser à la fonction carrée.

3) S(2;-1)

4) 𝑓𝑓 est décroissante sur ] − ∞; 2] ; 𝑓𝑓 est croissante sur [2; +∞[.

5) La courbe présente la droite d'équation x=2 comme axe de symétrie.

A présent, entrons dans le cours.

EXPRESSIONS D’UN POLYNOME DU SECOND DEGRE

 Il s’agit d’une généralisation de la fonction carrée (qui est par conséquent la fonction polynôme du second degré la plus simple).

 Lorsque la fonction n’est pas donnée sous la forme f x ax bx c ( ) =

²

+ + , il faut vérifier qu’il s’agit effectivement d’une fonction du second degré.

L’ESSENTIEL

Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction f définie sur  ^qui

peut s’écrire :

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥

²

+ 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 où a, b, c sont des nombres donnés avec 𝑎𝑎 ≠ 0 .

𝑎𝑎𝑥𝑥

²

+ 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 est l’expression réduite de f.

Exemples :

on considère les fonctions définies sur  ^:

2 2

( ) 2 3 5 ( ) ( 4) ( ) ( 4)(2 )

f x = x + − x g x = + x h x = − x − x i x ( ) ( 4)(2 ) = − x − − x x

²

f est fonction du second degré.

2 2

( ) ( 4) 8 16

g x = + x = + + x x g est une fonction du second degré.

2 2

( ) ( 4)(2 ) 2 8 4 6 8

h x = − x − = − − + x x x x =− + − x x g est une fonction du second degré.

2

2 2

( ) ( 4)(2 ) 2 4 8 6 8

i x x x x

x x x x

x

= − − −

= + + − −

= −

. i n'est pas une fonction du second degré (i est affine) Exemples :

2 2 2

( ) 3 2 ( ) 2 ( 4) 2 8 ( ) 2 ( 4) 2 8

P x x = − + x Q x = x x − + =− x + x R x = x x − + + x = x P et Q sont des polynômes du second degré, mais pas 

Démonstration

Soient P x ax bx c ( ) =

²

+ + et Q x a x b x c ( ) ' =

²

+ ' + ' deux polynômes du second degré.

Si a a b b c c = '; = '; = ' alors pour tout x on a ( ) ( ) P x Q x = . Les fonctions sont égales.

Réciproquement, si les fonctions sont égales, on a : 𝑃𝑃(0) = 𝑄𝑄(0) d'où c c = '

𝑃𝑃(1) = 𝑄𝑄(1) d'où a b c a b c + + = + + ⇔ ' ' (1) a b a b + = + ' ' 𝑃𝑃(−1) = 𝑄𝑄(−1) d'où a b c a b c − + = − + ⇔ ^{' ' (2)} a b a b − = − ^{' '}

En additionnant (1) et (2), on obtient a a = ' ; en additionnant (2) de (1), on obtient b b = ' .

Remarque : ce résultat s'étend à tous les polynômes : deux polynômes sont égaux si leurs formes réduites sont identiques.

A VOUS DE JOUER 1

Pour chacune de ces fonctions, cochez les réponses exactes.

2 2 2 3

nd

( ).... 5 ( 1) 5 ( 1)

linéaire affine 2 degré

f x = − − x = x x + − x = − − x = − x = x x +

    

    

    

L’ESSENTIEL

Deux polynômes du second degré sont égaux si et seulement si leurs formes réduites sont égales.

L’ESSENTIEL

Une fonction polynôme du second degré P peut s'écrire sous la forme :

𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝛼𝛼) ² + 𝛽𝛽 avec 𝑎𝑎 ≠ 0 .

Cette forme est la forme canonique de P.

Si la forme réduite de P est : 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 ² + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 ^,

on a alors : 𝛼𝛼 = − _2𝑎𝑎 ^𝑏𝑏 𝛽𝛽 = 𝑃𝑃(𝛼𝛼)

Démonstration

Soit P x ax bx c ( ) =

²

+ + un polynôme du second degré ( a≠ 0 ).

2 2

( ) ( b )

P x ax bx c a x x c

= + + = + a + ( x

2

b x )

+ a peut être reconnu comme étant le début du développement de ( )

²

2 x b

+ a .

En effet : ( )

^{2 2}

2

^{2 2 2}

2 2 2 2

b b b b b

x x x x x

a a a a a

   

+ = + +     = + +    

Donc

²

( )

^{2 2}

2 2

b b b

x x x

a a a

 

+ = + − 

  On en déduit que :

2 2 2 2 2 2

2

( ) 4

2 4 2 4 2 4

b b b b b b ac

P x a x a c a x c a x

a a a a a a

 − 

     

=  +  − + =  +  − + =  +  − 

       

On pose : 2

b

α =− a et

²

4 4 b ac β =− ⁻ a

P s'écrit : P x a x ( ) ( = − α )

²

+ β et on peut remarquer que β = P ( ) α . Exemple :

Mettre sous forme canonique P x ( ) 2 = x

²

+ + 3 5 x

2

2

( ) 2 3 5

( ) 2( 3 ) 5 2

P x x x

P x x x

= + +

= + + On met 2 en facteur pour les membres contenant x.

3

2

9

( ) 2 ( ) 5

4 16

P x =    x + −    +

On considère ce qu’il y a entre ( ) comme le début du développement de l’identité remarquable : ( a b + )

²

= + a

²

2 ab b +

²

Il faut diviser par 2 le coefficient en x et retrancher le membre constant.

2

2

3 9

( ) 2( ) 5

4 8

3 31

( ) 2( )

4 8

P x x P x x

= + − +

= + +

On termine la mise sous forme canonique.

Remarque : on peut vérifier que 2

b α =− a

Remarque : la valeur 2

b

− a joue un grand rôle dans les polynômes du second degré.

On peut l'utiliser pour retrouver la forme canonique :

A VOUS DE JOUER 2

Mettez sous forme canonique 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥

²

+ 6𝑥𝑥 + 4 en complétant.

2 2

2 2

( ) 6 4

( ...) 4

( ...) ... 4 ( ...)

On peut vérifier que vaut ... donc 3.

P x x x

x x x

α

= − + +

= − +

= − − + +

= − −

Exemple :

Mettre sous forme canonique P x ( ) 2 = x

²

+ + 3 5 x

2

2

3 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 5 3 3 9 9 5 9 18 40 31

2 4 4 4 8 4 8 8

3 31

( ) 2( )

4 8

b f

a P x x

α =− =− α = × − + × − + = − + = ^{− +} =

= + +

ETUDE DES FONCTIONS DU SECOND DEGRE

Soit f une fonction du 2

^nd

degré : f x ax bx c ( ) =

²

+ + Cas a > 0

− ∞ − − +∞

est strictement décroissante sur ] ; ] ; est strictement croissante sur [ ; [.

2 2

b b

f f

a a

La fonction admet un minimum en 2

b

− a ^. Cas a < 0

− ∞ − − +∞

est strictement croissante sur ] ; ] ; est strictement décroissante sur [ ; [.

2 2

b b

f f

a a

La fonction admet un maximum en 2

b

− a ^. Justification du sens de variation

On se place dans le cas a>0 Soit

₁

, tels que

_{2 1 2}

2

x x b x x

− a < <

2 2

2 1 2 2 1 1

2 2

2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )[ ( ) ]

f x f x ax bx c ax bx c a x x b x x a x x x x b x x

x x a x x b

− = + + − + +

= − + −

= − + + −

= − + +

2 1

1 2

1 2 1 2

1 2 1 1 2

2

2

1

donc

et donc >

2 2

comme 0, > ( )>

On a donc est donc cr 0

( )

o

0

( ) ( ) 0 issante sur [ ; [

2 x x

b x b x x x b

a a a

a x x b a

x x

a

x x b x x b

f x f b

a

x f

a

<

− < − < + −

> + − ⇒

− >

+ +

+ −

>

⇒

−

>

+∞

−

On montre de la même manière que est décroissante sur ] ; ] 2 f b

−∞ − a

A VOUS DE JOUER 3

Mettez sous forme canonique 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥

²

+ 6𝑥𝑥 + 4 en complétant.

2

... ( ) ...

2

( ) (...) ( )

( ) ...

b f

a

P x a f

P x

α α

α

= − = =

= +

=

Justification du minimum (ou du maximum)

On utilise la forme canonique : P x a x ( ) ( = − α )

²

+ β (rappel : 2

b α = − a ) On se place dans le cas a>0

2 2

minim

0 donc .

est donc le um de la fonction . Il est atteint pour . 2

Pour tout , ( ) ( )

f b

a

x a x a x

x β β

β

≥ + ≥

− −

=

α α

α = −

Tableau de variations. Cas a>0

x −∞

2 b

− a +∞

( )

f x m

A VOUS DE JOUER 4

Répondez à cette question.

On se place dans le cas : a<0.

Que faut-il modifier dans la justification précédente ?

A VOUS DE JOUER 5

Répondez à cette question.

On se place dans le cas : a<0.

Que faut-il modifier dans la justification précédente ?

Tableau de variations. Cas a<0

x −∞

2 b

− a +∞

( ) f x

M

REPRESENTATION GRAPHIQUE

A VOUS DE JOUER 6

Complétez.

1)

( ) 4

2

8 11 admet un minimium en

Ce minimum vaut : ( )

f x x x m x b

f

= − + = − =

= =

 

  

x −∞  +∞

( )

f x …….

2)

( )

2

4 1 admet un ... en Ce ... vaut : ( )

f x x x M x b

M f

= − + + = − =

= = =

 

  

x −∞  +∞

( )

f x …….

L’ESSENTIEL

Courbe représentative

La courbe représentative d’une fonction du 2

^nd

degré 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 ² + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 ^est

une parabole.

• Si a>0, la parabole est tournée vers le haut.

• Si a<0, la parabole est tournée vers le bas.

Le sommet de la parabole est S (𝑆𝑆(− _2𝑎𝑎 ^𝑏𝑏 ; 𝑓𝑓(− _2𝑎𝑎 ^𝑏𝑏 )).

La courbe est symétrique par rapport à la droite 𝑥𝑥 = − _2𝑎𝑎 ^𝑏𝑏

La parabole est tournée vers le haut.

Elle admet un axe de symétrie : 2 x b

= − a .

La parabole est tournée vers le bas. Elle admet un axe de symétrie :

2 x b

= − a .

Abordons maintenant une série d’exercices, afin de vérifier vos connaissances.

Les exercices ont été classés dans un ordre d’approfondissement croissant.

Les réponses aux exercices se trouvent en fin de manuel.

Soit f x ( ) 3 = x

²

− − 6 4 x

1) Mettez f sous forme canonique.

2) f admet-elle un maximum ? Un minimum ? Déterminez-le.

x=-b/2a O

m

x

y x=-b/2a

O M

x y

A VOUS DE JOUER 7

Complétez.

( )

2

2 3

f x x = + x + a pour représentation graphique

• une ……….……….. tournée vers le ……….. ,

• d'axe de symétrie : soit ...

...

x = − b x =

• de sommet (…. ;….) car f (...) ... ... = =

Soit f x ( ) 2 = x

²

− + 3 1 x

1) Calculez les valeurs exactes de (1) ( ) ( 2) ( 3) (1 3) 1

f f 3 f − f f +

2) f Etablissez le tableau de variations (en déterminant le minimum et le maximum de la fonction).

Avec un peu de recherche et de réflexion, répondez aux questions suivantes.

1) Quelles sont les fonctions polynomiales du 2

^nd

degré paires ?

EX ERC ICES

2) Quelles sont les fonctions polynomiales du 2

^nd

degré impaires ?

Soit f x ax bx c ( ) =

²

+ + avec 0 a ≠

1) Montrez que pour tout réel x ( ) ( )

2 2

b b

f x f x

a a

− + = − − Indication : utilisez la forme canonique.

2) Quelle propriété concernant la courbe représentative de f a-t ’on montrée ?

EX ERC ICES

Déterminez l'équation d'une parabole ayant comme sommet le point S ( ;1) 5

2 et passant par le point A (3; 1) −

Déterminez la fonction f correspondant à cette courbe :

EX ERC ICES

Un petit problème d'optimisation.

Quelle est l'aire maximale d'un rectangle dont le périmètre vaut 20 cm ?

On considère pour a non nul la parabole P

_a

d'équation : y ax =

²

+ + x 1

On appelle S

_a

le sommet de P

_a

. Quel est l'ensemble des points que décrit S

_a

quand a parcourt ℝ

^*

?

EX ERC ICES

INFORMATIQUE

Programmez une fonction Python EXTR(a,b,c) donnant l'extremum d'une fonction du 2

^nd

degré et qui précise si c'est un maximum ou un minimum.

CALCULATRICE

A l’aide de votre calculatrice tracez la fonction f x ( ) 0,5 =− x

²

− + 3 2 x Déterminez graphiquement le maximum.

EX ERC ICES

FONCTIONS ET EQUATIONS DU SECOND DEGRE Equations et inéquations du second degré

Nous savons depuis le collège résoudre les équations et inéquations du premier degré : 𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 = 𝟎𝟎 Dans ce chapitre, on va apprendre une méthode générale pour résoudre les équations et inéquations du 2

^nd

degré. En maths ou en physique, les fonctions du 2

^nd

degré tiennent une grande place. Ce chapitre est donc un chapitre très important !

ACTIVITE 2

A la main on lance une balle à 1,5 m du sol. Voici la trajectoire obtenue (l'unité est le mètre).

1) Quelle est la hauteur maximale obtenue par la balle ?

2) A quelle distance tombe-t-elle ?

3) L’équation de la trajectoire est f x ( ) = − 5 x

²

+ 4 x + 1,5

Retrouvez le résultat de la question 1

4) Quelle équation faut-il résoudre pour répondre à la question 2 ?

5) Mettez f x ( ) = − 5 x

²

+ 4 x + 1,5 sous forme canonique.

Résoudre l'équation donnée en a. revient à résoudre : ( x − 0,4) 0,46 0

²

− =

6) On veut factoriser cette expression. Quelle identité remarquable peut-on utiliser ?

2 2

...

A B − =

Que vaut A ? ……… Que vaut B ? ………

7) Résolvez l’équation de la question 4. Retrouvez le résultat de la question 2.

SOLUTIONS DE L’ACTIVITE 2

1) Par lecture graphique, on obtient 2,3 m.

2) Par lecture graphique, on obtient 1,1 m

3) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −5𝑥𝑥

²

+ 4𝑥𝑥 + 1,5. Dans ce cas a =− < 5 0 donc la fonction admet un maximum en 𝑥𝑥 = −

_2𝑎𝑎^𝑏𝑏

=

₁₀⁴

=

²₅

. On calcule alors l’image de

²₅

par 𝑓𝑓 pour obtenir la hauteur maximum

𝑓𝑓( 2

5) = −5( 2

5)

²

+ 4 × 2

5 + 1,5 = −0,8 + 1,6 + 1,5 = 2,3 4) −5𝑥𝑥

²

+ 4𝑥𝑥 + 1,5 = 0

5) On utilise les calculs que vous avez utilisés dans la résolution de la question 3 pour donner la forme canonique : 𝛼𝛼 =

²₅

= 0,4 et f(0,4)=2,3 donc la forme canonique est 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −5(𝑥𝑥 − 0,4)

²

+ 2,3 6) A B

²

− = +

²

( A B A B A x )( − ) = − 0,4 B = 0,46

7) ( 0,4) 0,46 0 ( 0,4

²

0,46)( 0,4 0,46) 0 0,4 0,46 0 ou 0,4 0,46 0

0,4 0,46 0,27 ou 0,4 0,46 1,08

x x x

x x

x x

− − = ⇔ − + − − =

− + = − − =

= − ≈− = + ≈

La première valeur n'est pas valide dans le contexte du problème.

On retient donc 𝑥𝑥 = 0,4 + √ 0,46, ce qui est cohérent avec la question 2.

DISCRIMINANT

( )

2

P x ax bx c = + +

Revenons à la forme canonique : P x a x ( ) ( = − α )

²

+ β et au calcul fait dans le chapitre précédent.

2 b

α =− a et ( )

²

4 4 b ac

f a

β = α =− ⁻

On voit dans la démonstration précédente que l'expression ∆= − b

²

4 ac apparaît :

2

4

4 4

b ac

a a

β =− ⁻ =− ^∆

Ce nombre Δ va avoir une grande importance dans l'étude des fonctions et équations du second degré.

Remarque : la forme canonique de P peut donc s'écrire : ( )

²

2 4

P x a x b

a a

  ∆

=   +   − Exemple :

Déterminer le discriminant de P x ( ) 2 = x

²

+ + 3 5 x

2

4 3 4 2 5 31

2

b ac

∆= − = − × × =−

RESOLUTION D’UNE EQUATION DU 2 ^ND DEGRE, RACINES D’UN POLYNOME

Soit P x ax bx c ( ) =

²

+ + un polynôme du second degré ( a ≠ 0 _).

L’existence de solutions de l'équation P x ( ) 0 = dépend du signe de son discriminant

∆ = b

²

− 4 ac _:

• Si ∆ > 0 : P x ( ) 0 = admet 2 solutions distinctes S b 2 ∆ ; b 2 ∆

a a

 

 

 

 

 

− + − −

=

• Si ∆ = 0 : P x ( ) 0 = admet 1 solution unique S 2 b a

 − 

=  

 

• Si ∆ < 0 : P x ( ) 0 = n’a pas de solution.

 On parle de racines d'un polynôme ou de solutions de l'équation P x ( ) 0 = .

A VOUS DE JOUER 8

Déterminez le discriminant de P x ( ) 2 =− x

²

+ + 2 1 x .

2

... ... 4 ... ... ... ... ...

2

b

∆ = − = − × × = + =

L’ESSENTIEL

Soit 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥

²

+ 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 un polynôme du second degré ( 𝑎𝑎 ≠ 0 ).

Le réel 𝛥𝛥 = 𝑏𝑏

²

− 4𝑎𝑎𝑐𝑐 est le discriminant de P.

L’ESSENTIEL

Soit 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥

²

+ 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 un polynôme du second degré (𝑎𝑎 ≠ 0 ).

Les solutions de l'équation 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 0 sont appelées racines de P.

On a donc :

0 admet 2 racines distinctes.

0 admet 1 seule racine.

0 n'admet pas de racine.

P P P

∆ >

∆ =

∆ <

Démonstration

Soit P x ax bx c ( ) =

²

+ + un polynôme du second degré ( a≠ 0 ).

On reprend l'expression de la forme canonique en remplaçant par β son expression en fonction de Δ.

2 2

(1) ( ) ( ) ( )

2

2 4 2 4

b b

P x a x a x

a a a a

∆  ∆ 

= + − =   + −   Dans la suite on suppose que a>0 (pour a<0, il suffit de résoudre ( ) 0 − P x = ).

Si ∆ > 0 , la racine carrée de ∆ est définie. On reconnaît alors dans l’expression entre crochets l’identité remarquable m n

²

− =

²

( m n m n + )( − ) et ( ) P x peut se factoriser.

2

2 2 2

( ) ( )

2 4 2 4 2 4

( ) 0 0

2 2

b b b

P x a x a x x

a a a a a a

b b

P x x x

a a

  

∆ ∆ ∆

 

=   + −   =    + −    + +   

 − ∆  + ∆ 

= ⇔ +       +    =

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.

On en déduit les solutions :

( ) 0 ou

2 2

b b

P x x x

a a

− + ∆ − − ∆

= ⇔ = =

Si ∆ = 0 , l’expression (1) devient ( ) ( )

²

( ) 0

2 2

b b

P x a x P x x

a a

= +

soit

= ⇔ =−

Si ∆< 0 , l’expression (1) est composée d’un terme positif (le carré) et d’un terme strictement positif. La somme est donc toujours strictement positive. L’équation n’a pas de solution.

Exemple 1 :

Résoudre 2 x x

²

− − = 6 0

On calcule le discriminant : ∆= − ( 1) 4 2 ( 6) 49

²

− × × − =

Le discriminant étant strictement positif, l’équation admet deux solutions distinctes.

1

( 1) 49 1 7 3

1

( 1) 49 1 7 2

2 2 4 2 2 2 4

x = − − − = − =− x = − − + = + =

× × ^Donc 3;2

S = −   2  

 

Exemple 2 :

Déterminer les racines de P x ( ) 2 = x x

²

− + 6 On calcule le discriminant : ∆= − ( 1) 4 2 6

²

− × × =− 47

Le discriminant étant strictement négatif, le P n’admet pas de racine.

A VOUS DE JOUER 9

Complétez.

1

2

2

( ) 5 4 9

... .... ...0 donc admet .... racine(s).

( ) 4 9

... .... ...0 donc admet .... racine(s).

...

..

P x x x

P

P x x x

P x b

= + −

∆ = = ∆

= + −

∆ = = ∆

= − − 4 ...

₂

... 4 ...

.... ... ... ...

x b

− − − + − +

= = =

Remarques : il n'est pas toujours nécessaire de calculer le discriminant.

En particulier, si l’un des coefficients a, b ou c est nul, le discriminant est inutile.

SOMME DES PRODUITS DES RACINES ET RACINES EVIDENTES

Démonstration

Soit P x ax bx c ( ) =

²

+ + un polynôme du second degré ( a≠ 0 ).

Si P admet les racines x x

₁

,

₂

on peut le factoriser.

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( )( ) ( )

P x a x x x x = − − = ax ax x ax x ax x ax a x x x ax x − − + = − + + En identifiant les coefficients, on obtient :

1

2 2 2 1 2

1 1

( ) et soit x x b et x x c

b a x x c a

ax x a

= − + = + =− =

Le résultat est valable si le polynôme admet une solution unique ( x x

₁

=

₂

).

Exemple 1 : ( ) 2

2

6 P x = x x − −

On a trouvé précédemment les racines :

𝑥𝑥

₁

= −

³₂

et 𝑥𝑥

₂

= 2 𝑥𝑥

₁

+ 𝑥𝑥

₂

= −

³₂

+ 2 =

¹₂

= −

⁻¹₂

= 𝑥𝑥

₁

𝑥𝑥

₂

= −3 =

⁻⁶₂

Exemple 2 :

Résoudre 4

10 x y xy

 + =

 =− 

Cela revient à résoudre : x

²

− − = 4 10 0 x

A VOUS DE JOUER 11

Résolvez en complétant.

Résoudre

Cela revient à résoudre :

L’ESSENTIEL

𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥

²

+ 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

Si un polynôme a des racines :

• le produit des racines est égal à ^𝑐𝑐 𝑎𝑎

• la somme des racines est égale à − ^𝒃𝒃 _𝒂𝒂 . A VOUS DE JOUER 10

Complétez.

5

2

0 Calcul de utile/inutile ...

Résolution : ...

...

x − = x ∆

2

.. ...

3 9 0 Calcul de utile/inutile ...

Résolution : ...

...

S x

=

− = ∆

... S = ...

Application utile : connaissant une racine évidente, trouver l’autre racine.

On teste généralement les valeurs : 1 ; −1 ; 2 ; −2 Exemple :

( ) 2

2

5 3 P x = x − + x

1 est racine de P. Le produit des racines vaut 3

2 . Donc l’autre racine vaut 3 2 . 1 3

( ) 2( )( 2 ) ( 1)(2 3) P x = x − x − = − x x −

 L'utilisation des racines évidentes est une méthode efficace pour trouver les racines et factoriser un polynôme.

Avant de calculer un discriminant, il est préférable de vérifier qu’il n’y a pas de racines évidentes !

FACTORISATION D’UN POLYNOME DU SECOND DEGRE ET SIGNE



Factorisation

Démonstration

Elle s’appuie largement sur la résolution théorique d’une équation du second degré vue à la page précédente.

2 2

(1) ( ) ( ) ( )

2

2 4 2 4

b b

P x a x a x

a a a a

∆  ∆ 

= + − =   + −  

Cas ∆ > 0 ( ) P x se factorise en : P x a x x x x ( ) ( = −

₁

)( −

₂

)

où

₁

₂

2 2

b b

x x

a a

− + ∆ − − ∆

=

_et

=

sont les racines de P.

Cas ∆ = 0 ( ) P x se factorise en : ( ) ( )

²

(

₀

)

²

2

P x a x b a x x

= + a = −

où 2

x b

=− a

0

est la racine de P.

Cas ∆< 0 ( ) P x ne peut pas se factoriser. En effet, si on pouvait factoriser ( ) P x , P aurait des racines, ce qui contredit que son discriminant est négatif. Il s’agit d’un raisonnement par l’absurde.

A VOUS DE JOUER 12

Complétez.

( )

2

5 6 P x x = − − x

Parmi ces valeurs, quelle est celle qui est racine de P : 1 1 2 2 − − ? ………..

Le produit des racines vaut ……….. ; l’autre racine vaut donc ………..

L’ESSENTIEL

Soit 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥

²

+ 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 un polynôme du second degré (𝑎𝑎 ≠ 0).

• 𝛥𝛥 > 0 : P admet donc deux racines distinctes 𝑥𝑥

₁

, 𝑥𝑥

₂

( 𝑥𝑥

₁

< 𝑥𝑥

₂

). Il peut être factorisé.

𝑷𝑷(𝒂𝒂) = 𝒂𝒂(𝒂𝒂 − 𝒂𝒂

_𝟏𝟏

)(𝒂𝒂 − 𝒂𝒂

_𝟐𝟐

)

• 𝛥𝛥 = 0 : P admet donc une seule racine 𝑥𝑥

₀

. Il peut être factorisé.

𝑷𝑷(𝒂𝒂) = 𝒂𝒂(𝒂𝒂 − 𝒂𝒂

𝟎𝟎

)

^𝟐𝟐

• 𝛥𝛥 < 0 : P n’admet pas de racine. Il ne peut pas être factorisé.

Même si la démonstration utilise le discriminant, on peut factoriser dans certains cas sans le calculer.

Pour factoriser un polynôme du 2

^nd

degré :

• Un des coefficients nuls : soit on ne peut pas le factoriser, soit il se factorise simplement.

Exemple 1

Factoriser P x ( ) 2 = x

²

+ 6

On a pour tout x : 2 x

²

≥ 0 et 6 0 > donc 2 x

²

+ > 6 0 P n'a pas de racine donc ne peut pas être factorisé.

Exemple 2

Factoriser P x x ( ) = +

²

4 4 x +

On reconnaît une identité remarquable. P x ( ) ( 2) = + x

²

• On détermine les racines éventuelles x

₁

et x

₂

On trouve une racine évidente ; l'autre se calcule à partir du produit. Le polynôme se factorise.

Exemple 3

Factoriser P x ( ) 2 = x

²

+ + 5 7 x

1 est une racine évidente. L'autre racine est donc ⁷ 2 . P(x) = 2(x − 1)(x − 7

2) = (x − 1)(2x − 7)

On calcule le discriminant : suivant le signe, on peut ou non le factoriser.

Exemple 4

Factoriser P x ( ) 2 = x x

²

− − 6

On calcule le discriminant : ∆= − ( 1) 4 2 ( 6) 49

²

− × × − =

Le discriminant étant strictement positif, P admet 2 racines distinctes.

− − − − − − + +

= = =− = = =

× ×

1

( 1) 49 1 7 3

1

( 1) 49 1 7 2

2 2 4 2 2 2 4

x x

Donc ( ) 2( = + 3 )( 2) −

P x x 2 x que l’on peut également écrire : P x ( ) (2 3)( 2) = x + x − Exemple 5

Factoriser 2 x x

²

− + = 6 0

On calcule le discriminant : ∆= − ( 1) 4 2 6

²

− × × =− 47

Le discriminant étant strictement négatif, P ne peut pas se factoriser.

A VOUS DE JOUER 13

Complétez.

1. Factorisez si possible 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥

²

− 5𝑥𝑥 + 1

A-t-on une factorisation évidente (un des coefficients est nul) ? OUI/NON ………

A-t-on une racine évidente ? OUI/NON ……… Laquelle ?...

Quelle est l'autre racine ?...

( ) 4(...)(...) (...)(...)

P x = =

2. Factorisez si possible P x ( ) 2 = x

²

− 6 x + 1

A-t-on une factorisation évidente (un des coefficients est nul) ? OUI/NON ………

A-t-on une racine évidente ? OUI/NON ………

On calcule donc le discriminant.

1 2

... ...

... ... ... ...

( ) 2(...

x x

P x

∆ = =

= = = =

= .)(...)

3. Factorisez si possible P x ( ) 2 = x

²

− 6 x + 5

A-t-on une factorisation évidente (un des coefficients est nul) ? OUI/NON ………

A-t-on une racine évidente ? OUI/NON ………

On calcule donc le discriminant. ∆ = ... ... =

Conclusion : ………..



Conséquence : signe d’un polynôme du 2

^nd

degré

Démonstration :

• Cas ∆ > 0

Comme on l’a vu précédemment, ( ) P x se factorise en P x a x x x x ( ) ( = −

₁

)( −

₂

) On peut faire un tableau de signes :

x −∞ x

₁

x

₂

+∞

x x −

1

− 0 + | + x x −

2

− | − 0 +

1 2

( x x x x − )( − ) + 0 − 0 + Si a > 0 , est du signe de ( x x x x −

₁

)( −

₂

) _.

P est positif à l’extérieur des racines et négatif entre les racines.

Si a < 0 , est du signe opposé de .

P est négatif à l’extérieur des racines et positif entre les racines.

• Cas ∆ = 0

Comme on l’a vu précédemment, ( ) P x se factorise P x a x x ( ) ( = −

₀

)

²

. Comme pour x x ≠

₀

, ( x x −

₀

) 0,

²

> ( ) P x est du signe de a.

• Cas ∆< 0 ( )

P x n’a pas de racine ; il est de signe constant donc du signe de (0) P = c .

Comme a et c sont de même signe (sinon le discriminant serait positif), P est du signe de a.

Exemple 1 :

Signe du polynôme : P x ( ) 2 = x

²

+ + 3 1 x On calcule le discriminant : ∆= − × × = 3 4 2 1 1

²

Le discriminant étant strictement positif, l’équation ( ) 0 P x = admet 2 solutions distinctes.

1

3 1 1

2

3 1 1

2 2 2 2 2

x = − − =− x = − + =−

× ×

Le coefficient a est positif.

( ) 0

P x > à l’extérieur des racines donc sur ] ; 1 [ ¹ ; 2

 

−∞ − ∪ − +∞     . ( ) 0

P x < entre les racines donc sur 1; 1 2

 − − 

 

  . ( )

P x

P x ( ) ( x x x x −

₁

)( −

₂

)

L’ESSENTIEL

On considère un polynôme de second degré 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥

²

+ 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 (𝑎𝑎 ≠ 0 ).

• 𝛥𝛥 > 0 : P admet donc deux racines distinctes 𝑥𝑥

₁

, 𝑥𝑥

₂

( 𝑥𝑥

₁

< 𝑥𝑥

₂

). Il peut être factorisé.

𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥

₁

)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥

₂

)

Cas 𝑎𝑎 > 0 : P est positif à l’extérieur des racines et négatif entre les racines.

Cas 𝑎𝑎 < 0 : P est négatif à l’extérieur des racines et positif entre les racines.

Autrement dit, P est du signe de a à l’extérieur des racines et opposé à celui de a entre les racines.

• 𝛥𝛥 = 0 : P admet donc une seule racine 𝑥𝑥

0

. Il peut être factorisé.

𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥

₀

)

²

P est du signe de a sauf en 𝑥𝑥

₀

où 𝑃𝑃(𝑥𝑥

₀

) = 0 .

• 𝛥𝛥 < 0 : P n’admet pas de racine. P est toujours du signe de a.

Exemple 2 :

Signe du polynôme : P x ( ) 2 =− x x

²

+ − 1

On calcule le discriminant : ∆= − × − × − =− 1 4 ( 2) ( 1) 7

²

Le discriminant étant strictement négatif, ( ) P x est du signe de a donc P est toujours négatif.

Remarque : si le polynôme est factorisé, on obtient directement les racines, donc le signe du polynôme.

De même, s'il y a des racines évidentes, le calcul du discriminant est inutile.

Exemple :

] [ ] [

] [

2

( ) 3( 2)( 4)

Les racines sont 2 et 4. Le coefficient en est positif.

( ) 0 sur ; 4 2;

( ) 0 sur 4;2

P x x x

x P x

P x

= − +

−

> −∞ − ∪ +∞

< −

A VOUS DE JOUER 14

Complétez.

2

2

( ) 5 4 9

... .... ...0 donc est du signe de ...

( )....0 pour ...

( ) 3 18

...

P x x x

P P x

P x x x

= + −

∆ = = ∆

= + −

∆ =

1 2

.... ...0 donc admet .... racine(s).

... ... ... ... ... ...

... ... ... ...

Comme ...0, est ...

P

b b

x x

a

= ∆

− − − +

= = = = = =

... à l'extérieur des racines et ... ent Donc :

Si ... , ( ) 0 . Si ... , ( ) 0 .

x P x

x P x

∈ >

∈ <

A VOUS DE JOUER 15

Complétez.

Signe de : P x ( ) = − + x

²

3 x − 2

A-t-on une factorisation évidente (un des coefficients est nul) ? OUI/NON ………

A-t-on une racine évidente ? OUI/NON ……… Laquelle ?...

Quelle est l'autre racine ?...

Comme ...0, est ... à l'extérieur des racines et ... entre les racines Donc :

Si ... , ( ) 0 . Si ...

a

x P x

x

∈ >

∈ ... , ( ) 0 . P x <

Abordons maintenant une série d’exercices, afin de vérifier vos connaissances.

Les réponses aux exercices se trouvent en fin de manuel.

Donnez la forme canonique des polynômes : P, Q et R.. Lequel de ces polynômes n'admet aucune racine ?

2 2 2

( ) 6 5 ( ) 2 7 9 ( ) 8 12

P x x = − − x Q x =− x + − x R x = x − x

Résolvez les équations suivantes en ne calculant le discriminant que si nécessaire.

a) x

²

− + = 6 8 0 x b) 2 x

²

− + = 5 8 0 x c) 5 x

²

+ = 8 0

d) x

²

− 5 5 0 x − = e) x

²

− + = 4 4 0 x f) 2 x

²

− + = 9 7 0 x

EX ERC ICES

Déterminez si les polynômes suivants peuvent être factorisés en faisant un minimum de calculs.

a) P x ( ) 3 = x

²

− + 8 5 x b) Q x ( ) 2 = x

²

− − 3 8 x c) R x ( ) =− − x

²

7

Résolvez les équations suivantes :

a) x 2 8 0

− + = x b) 2 x

³

− 6 x

²

+ = 8 0 x c) x

⁴

− 4 x

²

+ = 3 0

EX ERC ICES