MPSI B Année 2013-2014 Énoncé DM 5 pour le 04/11/13 29 juin 2019
Exercice 1
Soient p et q des fonctions continues dans un intervalle I de R et à valeurs réelles qui vérient :
∀x∈I:p(x)> q(x)
On considère des équations diérentielles dont l'inconnue est une fonctiony dénie dansI.
y00+py= 0 (1)
y00+qy= 0 (2)
On se propose de prouver une certaine propriété d'entrelacement des zéros des solutions de ces équations.
On suppose qu'il existe une solutiony2de(2)et des réels a,btels que : a < b y2(a) =y2(b) = 0 ∀x∈]a, b[:y2(x)>0 On admettra que ces propriétés entraînenty20(a)≥0 ety02(b)≤0.
Soity1 une solution de(1)et W la fonction dénie par : W =
y1 y2
y10 y20 1. Calculer et simplier la dérivée deW.
2. Montrer que la proposition(∀x∈]a, b[:y1(x)>0)est fausse.
3. Montrer qu'il existe unx∈]a, b[tel que y1(x) = 0.
4. On considère un intervalle I =]0,+∞[ et une fonction pcontinue de I dans R pour laquelle il existe un réelω >0 tel que
∀x∈I:p(x)> ω2 Montrer que toute solution de l'équation diérentielle
y00+py= 0
admet une innité de zéros (prend une innité de fois la valeur0).
Exercice 2
Résoudre surR, en discutant suivant les valeurs deα, l'équation diérentielle y00−(1 +α)y0+αy=e(1+α)t
Problème
Notations
Le représentant irréductible d'un nombre rationnelxest une fraction pq telle que x= pq avecp∈Z,q∈N∗,petq sans diviseur commun. On dira alors quepest le numérateur et qle dénominateur dex.
On convient que 01 est le représentant irréductible de 0et 11 celui de1.
Si pq et pq00 sont des représentants irréductibles de nombres rationnels, on dénit le médian de ces nombres (notéµ(pq,pq00)) en posant
µ(p q,p0
q0) =p+p0 q+q0
Question préliminaire
Montrer que pq <pq00 entraine pq < µ(pq,pq00)<pq00
Partie I. Médians et suites de Farey
Pour tout entiern, on dénit par récurrence un ensembleMn de la manière suivante : M0={0,1}
Mn+1 s'obtient à partir de Mn en ajoutant le médian entre deux termes consé- cutifs.
Par exemple
M1=
0,1 2,1
On dénit aussi (pour tout entier n) l'ensemble Fn des rationnels écrits sous forme irré- ductible par :
p
q ∈ Fn ⇔0≤p≤q≤n
1. a. PréciserM2,M3,M4 et les 10 premiers éléments deM5.
b. Dans chacune des listes précédentes, pour chaqueMi correspondant, entourer les éléments deFi−1.
c. Quel est le nombre d'éléments de Mn?
2. Soient pq, pq00, pq0000 des représentants irréductibles de nombres rationnels tels quep0q− pq0= 1.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M1305E
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a. Montrer que
p q < p00
q00 <p0
q0 ⇒q+q0≤q00 b. Soitn≥max(q, q0), montrer que si
p q,p0
q0
∩ Fn=∅
c'est à dire pq et pq00 sont consécutifs dansFn, alors p
q,p0 q0
∩ Fn+1⊂
µ(p q,p0
q0)
3. Soitx < ydeux éléments consécutifs deFn+1. a. Montrer quex6∈ Fn et y6∈ Fn est impossible.
b. Montrer que si x∈ Fn et y ∈ Fn+1, il existe alorsz ∈ Fn tel que xet z soient consécutifs dansFn ety=µ(x, z). Quels sont les autres cas possibles ?
4. Montrer la proposition suivante notéePn pour tout entiern≥2. Soitx < ydeux éléments consécutifs deFn :
il existe un entieri < ntel quexety sont consécutifs dansMi x=pq etx= pq00 entrainep0q−pq0 = 1
On peut remarquer que cela entraineFn ⊂ Mn−1. 5. Soient pq et pq00 consécutifs dansFn.
a. Montrer que pq et pq00 sont consécutifs dans tous lesFrtels que max(q, q0)≤r≤q+q0−1
b. Montrer que
p q,p0
q0
∩ Fq+q0 =
µ(p q,p0
q0)
6. Soient pq et pq00 tels quep0q−pq0 = 1, montrer qu'ils sont consécutifs dans tous lesFr
pour
max(q, q0)≤r≤q+q0−1
Partie II. Cercles de Ford.
SoitC un cercle de centreC de coordonnées(x, y)et C0 un cercle de centre C0 de coor- données(x0, y0). On pourra utiliser queCetC0sont tangents si et seulement siCC0=r+r0 c'est à dire
(x−x0)2+ (y−y0)2= (r+r0)2
On s'intéresse aux cercles tangents à l'axe desxet situés au dessous de cet axe. Siuest l'abcisse du point de contact et sirest le rayon du cercle alors les coordonnées du centre sont(u,−r).
On dira qu'un tel cercle est un cercle de Ford.
Plus particulièrement, si pq est le représentant irréductible d'un nombre rationnelx, le cercle Cxest déni par son centre et son rayonle cercle de centre de coordonnées
centreCx:
p
q,−1 q2
, rayon : 1 2q2
Dans cette partie, pq et pq00 avec pq < pq00 sont les représentants irréductibles de deux nombres rationnels.
1. Donner une condition nécessaire et susante assurant queCp
q et Cp0
q0 sont tangents.
2. Préciser les cercles de Ford tangents àCp
q et Cp0
q0 (donner les coordonnées du centre) 3. On suppose queCp
q etCp0
q0 sont tangents, préciser le cercle de Ford tangent àCp
q etCp0 q0
et dont le point de contact avec l'axe desxest entre pq et pq00. 4. Comment se présentent les cerclesCx pourx∈ Fn?
Partie III. Approximation de Dirichlet
Soitxun nombre irrationnel etQun entier naturel non nul. En considérant les approxi- mations par excès et par défaut de x dans FQ, montrer qu'il existe un rationnel aq tel que
q≤Qet
x−a q
≤ 1 q(Q+ 1)
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