A NNALES DE L ’I. H. P.
J ERZY N EYMAN
Sur la théorie probabiliste des amas de galaxies et la vérification de l’hypothèse de l’expansion de l’univers
Annales de l’I. H. P., tome 14, n
o3 (1954-1955), p. 201-244
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Sur la théorie probabiliste
des
amasde galaxies et la vérification
de l’hypothèse de l’expansion de l’univers (1)
par
Jerzy NEYMAN,
Laboratoire de Statistique, Université de Californie, Berkeley, Californie.
TABLE DES MATIERES.
Pages.
1. INTRODUCTION... 202
PREMIÈRE PARTIE. -
Répartition simultanée des nombres des images des galaxies
dans deux régions différentes d’un cliché.
2. Postulats fondamentaux concernant la répartition des galaxies dans l’espace... 206
3. Postulat (vii ) établissant le rapport entre la répartition spatiale des galaxies
dans un univers en expansion et celle de leurs images sur un cliché... 210
4. Densité de probabilité conditionnelle des coordonnées apparentes d’une galaxie. 213
5. Formule fondamentale... 2i5 6. Répartition simultanée des nombres de galaxies comprises « en apparence »
dans deux régions arbitraires ... 220
7. Répartition simultanée des nombres des images des galaxies, visibles sur des
clichés photographiques pris dans deux angles solides arbitraires... 221
8. Possibilité d’une vérification ernpirique de l’hypothèse d’un univers en expansion. 222 DEUXIEME PARTIE.
Le problème de l’interpénétration des amas de galaxies.
°
9. Remarques préalables... z2 ~ 10. Problème de pénétration d’un amas déterminé, par des galaxies appartenant
à l’amas le plus voisin... , ... 228 { 1 ) Cette étude a été faite avec l’appui partiel de l’Office of Naval Research, United
States Navy.
202
Pagcs.
11. Problème de pénétration d’un amas détermine, par des galaxies d’un amas
12.
quelconque... a~o
12. Problème des amas encastrés dans un amas choisi... 23I 13. Quelques formules utiles... ~3r i
14. Nombre des galaxies du plus proche amas qui pénètrent dans un amas
déterminé... 233 15. Nombre des amas qui pénètrent l’amas déterminé et nombre des amas encastrés. 235 16. Spécialisation des formules générales... 238
17. Le degré d’interpénétration des amas de galaxies; à la lumière des résultats
empiriques actuellement disponibles... 21~0 18. Bibliographie... 244
1. . Introduction. - Dans un travail récent,
entrepris
en collaborationavec Elizabeth L.
Scott,
nous avonsdéveloppé
une théoriegénérale
dela
répartition spatiale
desgalaxies,
enpartant
del’hypothèse
que cetterépartition
peut êtrereprésentée
par la combinaison d’une multitude’
d’amas semblables dont les centres sont
répartis
au hasard dansl’espace.
Cette théoriedépend
d’unehypothèse additionnelle,
àsavoir celle d’un univers
statique.
Dans lasuite,
enparlant
de cettepublication [1],
nousl’appellerons
l’article 1(2).
Dans un travailultérieur
[2] (article II),
en collaboration avec Elizabeth L. Scott etC. D.
Shane,
nous avonsparticularisé
la théoriegénérale
de l’article 1en
adoptant
des formesparticulières
pourreprésenter
les fonctionsqui
y interviennent. Cette théorie ainsi
particularisée
a étéappliquée
auxnombres des
images
desgalaxies
identifiées par C. D. Shane etC. A. Wirtanen
[3]
sur lesphotographies prises
par ces deux astro- nomes à l’Observatoire Lick. Lamagnitude
limite dans cesplaques
està peu
près
de18,3
mag. Larégion
du ciel ainsi étudiée est unrectangle
de
93° 46°
situé auvoisinage
dupôle galactique
nord.La confrontation de la théorie avec les données d’observation
pré-
sentées dans l’article II est basée sur les valeurs des
quasi-corrélations
sériales
(conception semblable,
mais nonidentique,
à celle de corréla- tionssériales)
et l’accord est excellent.Malheureusement,
l’estimation de la constante cr,qui
caractérisel’espace occupé
par un amas degalaxies typique, dépend
despropriétés
de larépartition
de lamagni-
(2) Les chiffres entre crochets renvoient à la bibliographie à la fin du présent travail.
203
tude absolue des
galaxies.
Cetterépartition
n’étant pas exactement connue, l’article Ildonne,
au lieu d’une estimationunique
de cr, touteune série de valeurs de a~, situées dans un très
grand
intervalle et toutescompatibles
avec lesquasi-corrélations empiriques.
,Dans le troisième article
[4]
de la même série(article III),
E. L.Scott,
C. D. Shane
et Margaret D. Swanson,
ontessayé
d’établir une compa- raison visuelle entre les conclusions de l’article II et les données de l’Observatoire Lick. Dans cebut,
les auteurs ontorganisé,
effectué etcomplété
uneexpérience impressionnante
detirages
deboules,
enconformité
parfaite
avec tous les détails de lathéorie,
ycompris
leshypothèses
sur le mécanisme des erreurs commises encomptant
lesimages
desgalaxies.
Le but del’expérience
était deproduire
« unerépartition synthétique »
desimages
desgalaxies
sur uneplaque photo- graphique qui puisse
êtrecomparée
visuellement avec celle d’unephoto-
graphie réelle.
Au
premier
coupd’0153il,
les deuxrépartitions, synthétique
etréelle, paraissent semblables,
mais un examenplus
minutieux révèle une diffé-rence intéressante : la
plaque
réelle contient ungrand
nombre depetites
concentrations locales desimages
desgalaxies qui
ne sont pas visibles sur laplaque synthétique.
Plustard,
l’existence de cette diffé-rence a été confirmée par l’énumération des
images
desgalaxies
dansdes carrés de 10’ X I0’ sensiblement
plus petits
que ceux,°, qui
ont fourni le matériel
numérique
pour le calcul desquasi-corrélations
et pour
l’ajustement
des valeurs desparamètres.
On a trouvé que, pour obtenir un bon accord entre la théorie et les nombres desimages
desgalaxies
dans les carrés 10’ il faut admettre une valeur de 03C3plus petite
que celle résultant del’analyse
des carrés 1 °.Ultérieurement le Laboratoire de
Statistique
de l’Université de Cali- fornie a eu l’occasion d’étudier un cliché d’uneplus grande magnitude
limite. Ce cliché a été
pris
par M. A. G. Wilsonqui
se servait du télé-scope de Schmidt de
Ct8
pouces de l’Observatoire du Mont Palonlar.’NI. Wilson a fait une énumération des
images
desgalaxies
dans despetits
carrés 5’36" x 5~36~ et a eul’obligeance
de nouscommuniquer
ses résultats. Le Laboratoire de
Statistique
lui en est bien reconnais-sant. La
magnitude
limite de laplaque
de M. Wilson est à peuprès ig,6
mag.Quoique l’analyse
des données de M. Wilson soit encore enprogrès
204
et que le volume de ses données soit
plutôt
inférieur à celui de l’Obser- vatoire Lick(
1 cliché contre environ100),
il estmalgré
tout intéressant de constater que les chiffres de M. Wilsonindiquent
des condensations àpetite
échelle desimages
desgalaxies,
encoreplus
fortes que celles que l’on a constaté enanalysant
les carrés 10’ X 10’ sur lesplaques
del’Observatoire Lick. En
effet,
l’estimationprovisoire
dc a obtenue enpartant de l’énumération de M. Wilson semble être encore
plus petite
que celle
suggérée
par les calculs de l’article III.La théorie
implique
que la variabilité d’uneplaque photographique
àune autre doit être très
grande
et notreexpérience, qui
résulte del’analyse
des
plaques
de l’Observatoire Lick confirme cette conclusion. Donc ilest bien
possible
que les différences entre les valeursprogressivement
décroissantes de o~ obtenues dans les trois cas
~c’est-à-dire
en partantdes énumérations des
images
desgalaxies
sur lesplaques
de l’Obser- vatoireLick,
d’abord dans des carrés I ° X I °, ensuite dans descarrés I0’ et,
enfin,
dans des carrés 5’36"5’36" (énumération
deM.
Wilson)]
soient entièrement dues au hasard.Cependant
il estégalement possible
que cette tendance soit due à une causeplus
pro- fonde et, notamment,qu’elle
reflète lephénomène
del’expansion
del’univers. Sans entrer dans les
détails,
on peut dire quel’hypothèse
suivant
laquelle
les amas degalaxies s’éloignent
de l’observateur avecdes vitesses croissant
proportionnellement
auxdistances,
conduit à laconclusion que sur les clichés
correspondant
à un tel univers en expan- sion on doit constater un excèsd’images
des amas lointains(donc,
unexcès d’amas de
petites
dimensionsangulaires),
par rapport à cequ’on
devrait voir dans le cas d’un univers stationnaire. On voit intuitivement que ce
phénomène expliquerait
les concentrations locales desimages
des
galaxies qu’on
constate enanalysant
les nombres de cesimages
dansles
petits
carrés. Ilparaît également probable
que le mêmephénomène expliquerait
l’intensification de cet effet sur lesplaques prises
auxplus grandes magnitudes
limites. En d’autres termes, il sembleprobable qu’une généralisation
de la théorie de l’article 1 admettant lapossibilité
que les amas de
galaxies s’éloignent
de l’observateur nous mènerait auxconclusions conformes aux tendances
remarquées
dans les donnéesdisponibles.
En conformité avec ces
idées,
lapremière partie
duprésent
travailest consacrée à une
généralisation
de la théorie de l’article I. Cette205
généralisation
admet lapossibilité
del’expansion
de l’univers. Les for- mules de la théoriegénéralisée
se réduisent àcelles
de l’article 1lorsque
les deux
fonctions,
que nous introduisons pour caractériser la récessionet
l’ex.pansion
des amas, sontremplacées
par zéro.Une remarque dans l’article II
signale
une erreur dans la démons- tration du résultatprincipal
de l’articleI,
résultatqui
estcependant
correct. La démonstration de la formule fondamentale du
présent Ouvrage corrige
donc l’erreur de la démonstration donnée dans l’article I.Nous
espérons
que les calculsnumériques
basés sur les formules de lapremière partie
duprésent
travail et lacomparaison
des résultatsavec les données
empiriques
contribueront à la solution dupassionnant problème
de savoir si l’univers est enexpansion
ou non. On sait que la méthodestatistique employée jusqu’ici
pour traiter ceproblème
reposesur la relation entre le nombre moyen des
images
desgalaxies
pardegré
carré et la
magnitude
limite d’uneplaque photographique.
Malheureu-sement, la
magnitude
limite d’uneplaque prise
avec des instruments.donnés
dépend
des conditionsatmosphériques
et est difficile à mesurer.C’est
peut-être
pour cette raison que les résultatsd’application
de laméthode des moyennes ne sont pas décisifs. La méthode d’étude
empi- rique
dérivant des résultats de lapremière partie
duprésent Ouvrage
est basée sur un autre aspect des
observations,
àsavoir,
sur ce queM.
Zwicky [5] appelle
«morphologie
non-dimensionnelle » de larépar-
tition des
images
desgalaxies. Donc,
elle fournit unepossibilité
nouvelled’utiliser les résultats d’observation
déjà
accumulés.La deuxième
partie
duprésent Ouvrage
donne certaines formulesqui
peuvent conduire à unP caractérisation de
l’image
sommaire de larépar-
tition des
galaxies
dansl’espace.
Laquestion principale
que ces formules peuvent aider à résoudre est celle du rôle de l’amas. Une despossibilités
est la suivante : en
général,
les amas degalaxies
sont desassemblages
compacts,
séparés
les uns des autres par des espacesvides,
seprêtant
aux études
dynamiques
comme dessystèmes
isolés. L’autrepossibilité
extrême est celle
qui
consiste à considérer un amas isolé comme unepure
fiction ;
en réalité nous étudions uncharnp
continu degalaxies
avec de nombreuses condensations
locales, qu’on interprète
comme« amas ».
D’après
M. Couderc[6],
les astronomescontemporains
sontdisposés
206
à croire que «
l’espace
estpavé
d’amas degalaxies...
». Uneimage pareille
estsuggérée
par M.Zwicky [7] qui parle
des amas degalaxies
«
remplissant l’espace
comme une mousse de bulles de savon ». Cesdescriptions pittoresques,
et d’autres du même genre, reflètent desimpressions qualitatives plutôt
que les résultats d’uneanalyse
numé-rique.
Ilparaît
intéressant de fournir les moyensthéoriques
d’une telleanalyse,
avec unepossibilité
que, en fin de compte, les amasparaîtront comparables
à unegrande
multitude de ballons lâchés unjour
de fête.Pour
distinguer
entre ces deuxpossibilités
extrêmes ou bien pouren choisir une
intermédiaire,
il ne suffit pas d’avoir des formulesthéoriques.
Ilfaut, naturellement,
des estimations aussi exactes quepossible
des diversparamètres qui
interviennent dans le modèlegénéral.
En nous servant des estimations
provisoires
de l’articleII,
nous avonspublié,
en collaboration avecÉlizabeth
L. Scott[8], quelques
valeursnumériques
desprobabilités
déduites dans la deuxièmepartie
duprésent
travail. On en trouvera ici une sérieplus complète.
Laconclusion
générale suggérée
par ceschiffres,
est que, si laplus grande
valeur de Y,indiquée
dans l’articleII,
est correcte, l’idée d’unamas isolé ne peut être
qu’un mythe.
Si la seconde valeur de crplus petite
que lapremière, suggérée
par l’articleIll,
est correcte, alors unamas isolé
joue
un rôleimportant
dansl’image générale
de larépartition
des
galaxies
dansl’espace. Enfin,
parextrapolation,
si la valeur de 03C3 est encoreplus petite,
comme lesuggère
laplaque
de M.Wilson,
alors lerôle des amas isolés est
prédominant.
Uneréponse
définitive à cettequestion
ne peut être obtenuequ’à
la suite d’uneanalyse plus
fine desdonnées
empiriques.
La théorie de lapremière partie
duprésent Ouvrage,
admettant lapossibilité
de l’univers enexpansion,
peut aiderà cette
analyse.
PREMIERE PARTIE.
RÉPARTITION
SIMULTANÉE DES NOMBRES DES IMAGES DES GALAXIES DANS DEUXRÉGIONS
D’UN CLICHÉ.2. Postulats fondamentaux concernant la répartition des galaxies
dans l’espace. - Ces
postulats
sont les mêmes que ceux de l’article I.Nous les
reproduisons,
à peuprès
sous la mêmeforme,
sauf en cequi
concerne la mention
explicite
du rôle du temps :207
(i)
Lesgalaxies
ne seprésentent qu’en
amas.(ii)
Achaque
instant T et àchaque
ensemble R mesurable-B dansl’espace (nous
ne considérons que les ensemblesmesurables-B),
ilcorrespond
une variablealéatoire ~ ( R, T) représentant
le nombre descentres d’amas
qui
au moment T sont situés en R. Pour T fixe larépar-
tition
T)
nedépend
que de la mesure deR,
soitV ( R ) = V.
Si
Ri, R2 ,
... ,Rn,
..., est une suite finie ou dénombrable d’ensemblesdisjoints,
alors les variables aléatoiresY(Ri, T), y(R2? T),
...,y(Rn, T),..., correspondant
à ces ensembles et au même instantT,
sont
indépendantes.
Si l’univers eststationnaire,
alors larépartition de "((R, T)
nedépend
pas de T. Dans le cascontraire,
elle est unefonction non-constante de T.
Désignons
parV )
= la fonctiongénératrice
des pro- babilitésT).
Dans l’article 1 nous avonssignalé
que la loi deprobabilité de y (R, T ) appartient
à la classe des lois indéfiniment divi- sibles de M. PaulLévy,
et que, si la mesureV ( R)
= V estfinie,
(1)
G,,(t
=eVh(t),
avec
6C
(2) =-
~-=1
où o et o pour k == 1, 2, ..., et où
(3)
03A3hk = h0.
Réciproquement,
touterépartition
définie par(1), (2)
et(3),
avecles
hk non-négatifs,
satisfait aux conditionsimposées
sur03B3(R, T).
Ondémontre ces faits
directement quoiqu’on puisse
les considérer commedes
conséquences
faciles à déduire de certains travaux antérieurs.M.
Brockway
McMillan a bien voulu attirer mon attention sur le faitqu’on
peut les déduire des résultats de M. Norbert Wiener[9]
etje
luien. suis bien reconnaissant.
(iii)
Soit Ri un ensemble de mesurepositive
etfinie,
et soitR2
un sous-ensemble deRi.
Soit ai, ... , am une combinaison arbitrairede m
1 nombres choisisparmi
1 , 2, ..., II > m. Considérons le cas où l’on sait que Ri contient exactement n centresd’amas,
soient ci, e~, ..., c,, .208
Nous supposons que la
probabilité
conditionnelle pour que R2 contienne les m amas Cal’ Ca9’ ... , Cam’ et pasd’autres,
nedépende
pas de la combi- naisonparticulière
ai, ... , am, mais seulement des nombres m,, n et,naturellement,
des mesures de Ri et de Rs.(iv)
Le nombre v desgalaxies appartenant
à un amas donné est une variable aléatoirenon-négative.
Cette variable v estindépendante
detoute autre variable aléatoire
qui
intervient dans leschéma,
et sarépar-
tition est la même pour tous les amas.
(v)
Considérons unsystème
de coordonnéesrectangulaires
ayant sonorigine
aupoint
où se trouve l’observateur.Désignons
par ui, u2, U3les coordonnées d’un
point
où se trouve le centre d’un amasparticulier
au moment T.
Désignons
aussi parXi Xs, Xg les
coordonnées au même moment T d’unegalaxie
appartenant à cet amas. Nous supposons queXi, X2, X3
sont des variables aléatoires avec une densité deproba-
bilité conditionnelle que nous
désignons
parf * (~1
~2, ~3),
les us, u2, u3étant donnés. Nous supposons de
plus
que cette densité est une fonction continue des arguments .ni = ~~- u~,(i
= 1 , 2,3),
où x1représente
unevariable
réelle,
valeurparticulière
de Xi.Enfin,
nous supposons que, lespositions
de tous les centres d’amas étantfixés,
lestriplets
descoordonnées de toutes les
galaxies
sontindépendants
les uns des autreset sont aussi
indépendants
de toutes les autres variables aléatoires du schéma.Remarque.
- Dans les articles antérieurs on asupposé
que la fonc- tionf *
nedépendait
que de la distance1
(4)
~ = {~21 + ~22 + ~23}2.
Cependant
cette restriction n’est d’aucune utilité.Les
cinq postulats
ci-dessus déterminent la structuregénérale
de larépartition spatiale
desgalaxies
à un moment donné T. Pour obtenirun modèle
spécial,
il suffit departiculariser
les lois deprobabilité de y(R, T),
de v et celle deXi, X2, X3 .
Un des résultatsgénéraux
de l’article 1 est que, tantqu’on n’impose
aucune restriction sur larépar-
tition de v, on ne restreint pas la
généralité
du modèle en supposant . quey(R, T)
est une variable dePoisson,
de sorte que(5)
où 03BB
désigne
le nombre moyen des centres d’amas par unité de volume.209
Les trois
répartitions
dont nous avonsparlé
ne sont pas directement observables. Leproblème
central de la théorie consiste à établir unerelation entre ces
répartitions
non-observables et larépartition
desimages
desgalaxies
observable sur un clichéphotographique.
Pourrésoudre ce
problème
dans le cas de l’univers stationnaire il nous a été nécessaired’accepter
lepostulat supplémentaire
que voici :(vi) Étant
donné unegalaxie
de coordonnées x1, x2, x3 fixes et étantdonné un nombre il existe une
probabilité
conditionnellefJ(~, 77~)
pour que la
magnitude apparente
de cettegalaxie
soitplus petite
que ni.Cette
probabilité 0(~, m)
nedépend
que du nombre na et de la distance (6) 03B6 = {x21 + x22 + x23 }1 2entre la
galaxie
et l’observateur. Si m est lamagnitude
limite d’uncliché et si la
magnitude apparente
d’unegalaxie
estplus petite
que m,l’image
de cettegalaxie apparaîtra
sur le cliché. Dans ce cas, il nous sera commode de dire que lagalaxie
est « visible » sur le cliché. Onpostule
encore que, si unegalaxie
estvisible,
elle est visible dans la direction déterminée par les coordonnéesEnfin,
onpostule
que,
lorsque
les distances~i, ~~, ... , ~;,
de sgalaxies
arbitraires sontdéterminées,
la « visibilité » d’unequelconque
de cesgalaxies
est indé-pendante
de celles des autres. Cette dernièrehypothèse irnplique
quenous
négligeons
lapossibilité
des nuages absorbantsqui pourraient
augmenter à la fois les
magnitudes
deplusieurs galaxies
voisines.Le résultat
principal
de l’article 1 est la fonctiongénératrice
desprobabilités
de deux variables aléatoiresNj
J etN2 définies
comme suit.
Soient c~~ et 0)2 deux
angles
solidesarbitraires,
ayant leurs sommetsau
point
où se trouve l’observateur.Supposons qu’on
prenne deux clichés auxmagnitudes
limites mi et m2. Le iième cliché estpris
demanière
qu’il
contienne laprojection
del’angle
solide Cette pro-jection
de sur le cliché seradésignée
par le mêmesymbole
c~~.Alors,
pardéfinition,
la variable aléatoire Ni est le nombre desgalaxies
« visibles » dans
03C9i(i
= I2).
La formulepubliée
dans l’articleI, repré-
sente la fonction
t~ )
comme une fonctionnelledépendant
desfonctions arbitraires
Gv ( t), f *
et 0(~~ m).
L’article II donne unespécia-
lisation du modèle
général
obtenue en supposant que la variable 1)possède
un certain nombre de moments finis et suitpeut-être
une2I0
loi binomiale
négative. Aussi,
dans l’article II a-t-on admis que les variables YJ1, ~3 sontindépendantes
et suivent la même loi deproba-
.bilité
normale,
avecl’espérance mathématique
zéro et avec une varianceinconnue a2.
Enfin,
on asupposé
que lafonction ~ ~~,
a laforme
indiquée
par les résultats des recherches de Hubble et de 3/1. Humason[10], [11]. Premièrement,
l’article II admet que lamagni-
tude absolue M d’une
galaxie
est une variable aléatoire normale avecune
espérance mathématique Mo
et une variance03C32M. Deuxièmement,
ona admis que la
magnitude
apparente ni d’unegalaxie,
samagnitude
absolue l~T et sa
distance )
sont liées par la formule (7) m = ~1-:~ -+- 5 + :~; Ig. ~c~-‘’"où le dernier terme
représente
lephénomène
de «déplacement
vers lerouge »
(«
red shift»)
et ladistance )
est mesurée en parsecs. Ledépla-
cement vers le rouge est traité comme un
phénomène
établiempiri-
quement,
sans aucuneinterprétation physique.
Il est clair que, si l’on
prend garde
den’appliquer
lespostulats (i)
à
(v) qu’aux positions
simultanées desgalaxies à
un moment déter-miné
T,
cespostulats
ne contiendront rien de contradictoire àl’h;po-
thèse que l’univers est en
expansion.
Aucontraire,
lepostulat (vi) dépend
del’hypothèse
que l’univers est stationnaire et, si l’on veutconstruire une théorie pouvant
s’appliquer
à l’univers enexpansion
aussi ibien
qu’à
l’universstationnaire,
il doit êtreremplacé
par unpostulat plus général.
Pour formuler cepostulat
nouveau, nous commençons parune
analyse
desconséquences
del’hypothèse
del’expansion
de l’univers’sur la « visibilité des
galaxies
sur des clichésphotographiques.
C’estce que nous faisons dans le
chapitre
suivant en supposanttoujours
unespace euclidien et en admettant la
mécanique
newtonienne. - 3. Postulat(vii)
qui établit la relation entre la répartition des galaxiesdans un univers en expansion et la répartition des images de ces galaxies
sur une plaque photographique. - Suivant les idées
contemporaines
sur
l’expansion
del’univers,
nouspostulons
que le centre d’un amas arbitraire degalaxies s’éloigne
de l’observateur avec une vitesse propor- tion’nelle à sa distance. On a doncoù T
désigne
le temps et h~(z~
est un coefficient deproportionnalité non-négatif qui peut dépendre
dutemps,
mais est le même pour tous les amas degalaxies.
Les formules
(8)
entraînent(9) ui(03C4)
= ui(o)H1(03C4),
OÙ
(10)
( ( ’’o F
/~A.j(~)~~ ) )
-est une fonction non-décroissante de T.
L’origine
dont on mesure r étantarbitraire,
nous laplacerons
dans « leprésent »,
c’est-à-dire au moment où l’onprend
unephotographie
du ciel. Lesrépartitions
considérées dans lespostulats (ii), (iii)
et(iv) s’appliqueront
à cetteépoque parti- culière,
« leprésent » .
En
plus
dupostulat ci-dessus,
concernant lephénomène
de récession des amas degalaxies,
nousadopterons
unpostulat
semblable concernantl’expansion
des amas. Soitx~2 (T), .~~ (z~
les coordonnées autemps T
d’unegalaxie particulière appartenant
à un amas dont le centrepossède
les coordonnéesv1(03C4), u2(03C4), u3(03C4).
Nous admettons que ces fonctions de temps sont liées par leséquations
d d03C4
[xi(03C4) - ui(03C4)] = [xi(03C4) - ui(03C4)]h2(03C4) (l = I, 2, 3),où
h2(03C4)
est un coefficient deproportionnalité non-négatif, qui peut
dépendre
de temps, rnaisqui
est le même pour toutes lesgalaxies
etpour tous les amas. On a
(I:~) ,x~( ~) - + ~,~~(o) - ui(o)) H~ ( ~)
_ ~~(o) ui(o)~ H,( ~)- H~( ~)),
où
H2 (-r)
est liée àh~(i)
par une formuleanalogue
à(10).
On voit que si h j
(03C4)
= h2(03C4)
= o, l’univers est stationnaire. Dans lecas
contraire,
il y aexpansion.
_Si
h1 (z~ _ ~t2 (T~ ~ o,
nous dirons que la loi del’expansion
del’univers et des amas est la même. Si h~
(z)
= h2(~r)
-- lz = const., nousparlerons d’expansion
« uniforine ».Les formules
impliquent
que les coordonnées d’unegalaxie
déterminée sont des fonctions certaines du temps T
qui dépendent
descoordonnées au temps zéro de cette même
galaxie
et de celles du centre212
d’amas
correspondant.
Il s’ensuit que le caractère aléatoire des coordonnéesxi(03C4)
d’unegalaxie
au temps arbitraire z se ramène aucaractère aléatoire des coordonnées au
temps
z = o de cette mêmegalaxie
et du centre d’amasauquel
cettegalaxie appartient.
Jusqu’à présent
nous n’avons considéré que les coordonnéespré-
sentes d’une
galaxie (c’est-à-dire
cellescorrespondant
àz = o )
etles coordonnées de cette
galaxie
à un moment arbitraire z. Il nousfaudra considérer maintenant les coordonnées d’une
galaxie
que nousappellerons
les coordonnéesapparentes
et que nousdésignerons
par yl, y2, y3.
Désignons
par -z* le moment dans lepassé
où unegalaxie
déterminée a émis la lumièrequi
arrive à l’observateur au moment z = o. La coordonnéeapparente
~~I de cettegalaxie
est définiepar y; =
x~ (- z* ~ ( z =
~ , 2,3).
. En d’autres termes, les coordonnéesapparentes
d’unegalaxie
sont les coordonnées de laposition occupée
par cette
galaxie
aumoment -03C4*,
où la lumièreenregistrée
par laplaque photographique
a été émise par lagalaxie.
La relation entre les coordonnées
apparentes
et les coordonnéesprésentes
d’unegalaxie
est biensimple.
Soit c la vitesse de la lumière. Letemps
nécessaire pour que lesignal
lumineux émis aupoint (y1,
y2,y3)
arrive àl’observateur,
soitz*,
est donné par (I3) 03C4* = {y21 + y22 + y23} 1 2. cDonc, d’après
les formules(11),
14) Xi==- xi(o) == {yi - ui(H1 - H2)}
H2
:. (i == 1,2,3),
où,
pourabréger
lesformules,
ui(o) et
H~(-
~*)( j
= 1 , 2 ).Pour
compléter
lagénéralisation
de la théorie de l’article 1 au cas où. l’univers
peut
être enexpansion,
remarquons que,quelle
que soit la fonction8(~, m) postulée
dans(vi),
la distance «présente » ) qui y
intervient doit être
remplacée
par la distance «apparente »,
soit (z5)03B6* = {y21 + y22 + y23} 1 2.
Nous arrivons donc à la formule suivante du
postulat (vii) :
(vii) Étant
donnée unegalaxie qui,
au moment où l’on fait une2I3
photographie
duciel, possède
les coordonnées ~~, X2, X3 et, étant donnée lamagnitude
limite rn de laplaque,
il existe uneprobabilité
conditionnelle
0(03B6*, m)
pour que cettegalaxie
soit visible. Cetteproba-
bilité ne
dépend
que de m et de la distanceapparente
de lagalaxie
déterminée par
( ~ 5 ~, ( I 4~
et( t 3 ).
Deplus,
si unegalaxie
estvisible,
elle l’est dans la direction de sa
position apparente,
aupoint y3).
Enfin,
étant donné les distancesapparentes ~1, ~?, ..., ~00FF
de huitgalaxies différentes,
les « visibilités » de cesgalaxies
sontindépen-
dantes.
Désormais,
la distanceprésente 03BE
d’unegalaxie
définie par la for- mule(6),
n’interviendraplus
dans nos raisonnements. Au lieude )
nousaurons constamment à considérer la distance
apparente 03BE*
définiepar
( i 5 ~ . Donc,
poursimplifier
lesformules, l’astérisque
utilisé dans la formule( i ~ ~
sera abandonné et la distanceapparente
d’unegalaxie
seradésignée simplement
par~.
4. Densité de probabilité conditionnelle des coordonnées apparentes d’une galaxie. - Partant de la densité conditionnelle
f *
des coordon- néesprésentes Xi, X~, X3
d’unegalaxie qui appartient
à un amas dontle centre
possède
les coordonnéesprésentes
ui, u2, u3, calculons la densitéconditionnelle,
soitf(y1, y2, y3
; u1, u2,u3),
des coordonnées apparentesYi, Y~, Y3
de la mêmegalaxie.
Les valeurs
particulières
~^s, Ji 2, desYi, Y2, Y 3
sont liées auxvaleurs
particulières
xi, x~~, ~;; deXi , X~,
X3 par les formules(14).
Suivant la méthode bien connue, pour obtenir ~.r~, y3; Mi, u~,
u~~y
on substitue dans
f’*
à laplace des Xi
leursexpressions
en fonctionsdes y, et l’on
multiplie
le résultat par la valeur absolue dujacobien
dela transformation. A cause de la forme
spéciale
de la fonctionf*,
on a(16) ,Ye y3; u1, u2, u;3)
= f*(~1, ~2,
~3)I
yoù
(17) ~i = xi - ui = yi - H1 ui H2
et
2I4
Dans les formules
( 17)
et( 18) l’argument
des fonctionsH,
et de leursdérivées
H’j ( j _-__
1 ,2 )
estégal
à- 03BE c
,où (
est définie par( i 5 ) .
Les formules
( 16), (I7)
et(I8) peuvent être
utiles dans le cas où _quelque
théoriephysique suggérerait
les formesspéciales
des fonctionsHi (z)
etH2 (z).
En l’absence de tellesthéories,
ou devraprobablement s’appuyer
sur les résultatsempiriques
de Hubble et de M.Humasson,
àsavoir que, pour les valeurs de T entre zéro et, environ 5oo millions d’années dans le
passé,
la valeur de h1(03C4)
est à peuprès
constante.Donc,
si l’on veut confronter la théorie avec lesobservations,
il faudraprobablement
poserhi (r)
= h* = const. de Hubble etadopter,
en outre,une
hypothèse
convenable concernant la fonctionH~ (T). L’hypothèse
laplus simple
est queH~(~).
Il existe une autre
hypothèse simplificatrice qn’il
faudraprobablement adopter lorsqu’on
travailleempiriquement.
Elle concerne la densité deprobabilité f *.
Au lieud’admettre,
comme on a faitplus haut,
que cette fonctiondépend
de trois arguments r~~, onpourrait
se limiterprobablement
au cas où il n’existequ’un
seul argument, soit1
~ == (~21 + ~22 + ~23)2 ,
la distance entre la
galaxie
et le centre de l’amasauquel
elleappartient.
En admettant ces trois
hypothèses simplificatrices,
on tire desformules
( i 4 )
(19) yi eg03BE (i = I, 2, 3),
où, pour
abréger,
on aposé g == 2014’
c . La formule( 18 )
se réduit à(20) J = + g 03BE).
Dans ce
qui
suit on aura besoin de la formulereprésentant
la
probabilité conditionnelle,
soitI u),
pourqu’une galaxie
’
déterminée appartenant à un amas dont le centre a la
position présente z~
== u2,u3 ),
soit visible dans un domaine c~ d’uneplaque photographique
àmagnitude
limite in. Endésignant
par la même lettrec~