PSI* — 2020/2021 — Bonus probas Page 1 (Centrale) Un étang contient N poissons dont nbrochets. Un pêcheur sort des poissons un par un en relâchant à chaque fois sa prise. La pêche s’arrête lorsque tous les brochets ont mordu.
Quelle est la probabilité que la pêche s’arrête après nprises ? Aprèsn+ 1prises ? Quel est le nombre moyen de prises jusqu’à l’arrêt de la pêche ?
Solution
Il est légitime de supposer les différentes prises équiprobables (même si c’est “non dit”).
Je peux alors calculer les premières probabilités par dénombrement :
•la pêche se termine lors de la n-ième prise si et seulement si les npremières prises ont donné les n brochets, soit n!listes possibles (le nombre de permutations de la liste des numéros des brochets), cela parmi lesNn listes den prises possibles. D’où la probabilité n!
Nn .
•les listes de n+ 1 prises conduisant à la fin de la pêche lors de la (n+ 1)-ième prise sont de deux sortes (parties disjointes. . . Attention à ne pas compter deux fois certaines listes !) : d’une part celles où l’on a pris un “non brochet” lors de l’une desnpremières prises et une fois chaque brochet (n(N −n)n!possibilités) ; d’autre part celles où l’on a pris deux fois un même brochet lors des n premières prises et lesn−1autres brochets lors des autres prises ( n2 n(n−1)! possibilités). D’où la probabilité :
1
Nn+1 n(N−n)n! + n
2 n(n−1)! = n·n!
Nn+1 N−n+n−1
2 = n·n!
Nn+1 N −n+ 1 2 Noter que l’on obtient bien 0 dans le cas trivialn=N = 1!!
Ces valeurs peuvent aussi s’obtenir par des calculs (à justifier) sur des probabilités d’événements (à définir clairement).
•Soit, pour k∈[[1, n]],Bk l’événement “on pêche à lak-ième prise un brochet qui n’a pas encore été pris”. L’événement étudiéAn: “la pêche se termine lors de lan-ième prise” s’écrit alorsB1∩· · ·∩Bn et la formule des probabilités composées donne
P(An) =P(B1)PB1(B2)· · ·PB1∩···∩Bn−1(Bn) où par équiprobabilité P(B1) = n
N et de même, pourk∈[[2, n]]
PB1∩···∩Bk−1(Bk) = n−(k−1) N et l’on retrouve le résultat ci-dessus.
•Dans le même esprit, l’événement An+1 : “la pêche se termine lors de la(n+ 1)-ième prise” peut s’écrire
An+1 =
n j=1
Ek où Ej =B1∩ · · · ∩Bj−1∩Cj ∩Bj+1∩ · · · ∩Bn+1,
lesBk étant définis comme ci-dessus etCj étant l’événement “on pêche à laj-ième prise un brochet qui a déjà été pris ou un poisson qui n’est pas un brochet”. Il est clair que les Ej sont disjoints deux à deux (il n’y a qu’à la prisej que l’on ne sort pas un nouveau brochet). Par conséquent
P(An+1) = n
j=1
P(Ej)
et les P(Ej)se calculent à nouveau par la formule des probabilités composées : P(Ej) = n
N · · · n−j+ 1
N ·N −j
N ·n−j
N · · · 1
N =P(An)·N −j N . D’où en factorisant, puisque P(An) ne dépend pas dej,
P(An+1) =P(An)·
n
j=1
1− j
N =P(An)· n−n(n+ 1)
2N = n·n!
Nn+1 N−n+ 1 2 et l’on retrouve aussi le résultat obtenu par dénombrement !!
PSI* — 2020/2021 — Bonus probas Page 2 Pour l’espérance du nombre X de prises jusqu’à l’arrêt de la pêche, je note, pour k ∈ [[1, n]], Tk le temps d’attente duk-ième brochet à partir du moment où l’on en a déjà obtenuk−1distincts. Tk suit classiquement la loi géométrique de paramètre n−(k−1)
N . Or par construction X = T1 +· · ·+Tn, d’où, par linéarité de l’espérance
E(X) =
n k=1
E(Tk) =
n
k=1
N
n−k+ 1 =N
n
j=1
1 j.
Il est remarquable d’obtenir ce résultat sans avoir explicité la loi de probabilité de X.
En complément, voici un moyen d’obtenir ladite loi. Pour cela je numérote les brochets de 1 à n et j’appelle, pourk∈[[1, n]],Θk le nombre de prises nécessaires à la première obtention du brochetk. Par symétrie des rôles, les variables aléatoiresΘksuivent la même loi, mais elle ne sont pas indépendantes. . . Par construction X = max (Θ1, . . .Θn). Pour q < n, j’ai bien sûr P(X =q) = 0. Soit donc q ≥ n ; l’idée est de calculer P(X > q) (la loi de X s’en déduira par soustraction). J’ai
P(X > q) =P
n k=1
(Θk> q)
mais hélas les (Θk > q) ne sont pas incompatibles. Il faut se résoudre à utiliser la formule (classique mais hors programme. . . ) du crible de Poincaré :
P(X > q) =
n
j=1
(−1)j−1
1 i1<···<ij n
P Θi1 > q, . . . ,Θij > q .
Par chance l’événement Θi1 > q, . . . ,Θij > q est facile à interpréter : il signifie que les q premières prises ont donné un poisson autre que lesj brochetsi1, . . . , ij ; par conséquent, puisque les prises sont indépendantes,
P Θi1 > q, . . . ,Θij > q = N −j N
q
= 1− j N
q
.
De plus le nombre de j-uplets(i1, . . . , ij) de[[1, n]]tels que i1 <· · ·< ij n’est autre que n
j , d’où P(X > q) =
n
j=1
(−1)j−1 n
j 1− j N
q
et finalement
P(X=q) =P(X > q−1)−P(X > q) =
n
j=1
(−1)j−1 n
j 1− j N
q−1
j N d’où, compte tenu de la relation classique j n
j =n n−1 j−1 ,
P(X=q) = n N
n
j=1
(−1)j−1 n−1
j−1 1− j N
q−1
.
Jolie formule certes, mais difficile à exploiter !
