Sur certains systèmes infinis d'équations linéaires (II et III)

A NNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE T ^OULOUSE

J ^EAN C ^OMBES

Sur certains systèmes infinis d’équations linéaires (II et III)

Annales de la faculté des sciences de Toulouse 4

^e

série, tome 23 (1959), p. 85-113

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Sur certains systèmes ^infinis d’équations ^linéaires (II ^et III)

par

Jean ^COMBES

Le

présent

travail constitue la fin d’un mémoire dont la

partie (I )

^a

paru dans le tome XXI de la même revue. La

partie (II), qui

^{aurait dû}

paraître

^{dans le tome}

XXII,

^est consacrée à diverses

applications

^des théorèmes

généraux qui

^{ont fait}

l’objet

du début du mémoire. La

partie

.

(III),

^{sous le} titre de «

Compléments

», contient des

exemples

^{ou contre-}

exemples

illustrant certaines

propriétés

^{des matrices infinies}

qui

^{ont été}

signalées

^{dans la}

partie (I ) .

Les renvois au texte de l’article

précédent

^ou de celui-ci seront notés de la

façon

suivante :

(I, 5) signifie partie (I), paragraphe 5 ;

^on

adjoindra

éventuellement le numéro de la page.

Quant

^{à la}

bibliographie,

les renvois seront donnés entre crochets : les numéros

[1] ]

^à

[6]

concernent les références

bibliographiques figurant

à la fin de la

partie (I),

^{les numéros}

[7] ]

^et suivants celles

qui figurent

à la fin du

présent

^article.

Enfin, lorsque

^nous considérerons des matrices

triangulaires régulières (I, 2),

^nous supposerons

toujours

que les éléments de la

diagonale prin- cipale

sont tous

égaux

^{à 1.}

II. ^- APPLICATIONS.

Cette deuxième

partie

^contient la démonstration de divers résultats, certains bien

classiques, d’autres,

^{à notre}

connaissance,

^nouveaux

(1),

^mais

qu’il

^a paru intéressant de grouper parce

qu’ils peuvent

être rattachés tous à une même

origine :

^{les théorèmes}

généraux

^{d’unicité et} d’existence démontrés aux

paragraphes

^{5 et 6 de la}

première partie.

^D’autres

appli-

cations des mêmes idées se trouvent dans l’article

déjà

cité de P. DAVIS

[4].

Nous conservons les notations

déjà employées :

^les éléments des ma-

trices considérées

appartiennent

^au corps des nombres

complexes ;

^la

matrice infinie A ⁼

(a;;),

où les indices i des

lignes et j

des colonnes

prennent

^{les valeurs}

1, 2,

^{... est dite}

triangulaire régulière

^si a~; ⁼ 0

pour j ⁱ

^{et a~~ = 1} pour tout i. Elle admet alors une matrice inverse à

gauche unique

^{B =}

(bi;), qui

^{est aussi}

triangulaire régulière.

^{X et Y sont}

deux vecteurs

(de l’espace

des suites de nombres

complexes) représentés

par les matrices à une colonne

(x;)

^et

(yz ) .

^{M étant une matrice}

quel-

conque, M’

désigne

la matrice obtenue en

remplaçant

les éléments de M par leur module.

1. Voir § 5, 6, ^7.

86

I~. 1. ^-

Étude

d’un cas

particulier.

Nous supposons pour bout

i,

^{= cn}

(n ~ 0

; c,~ ⁼

1 ) .

Il

peut n’y

avoir

qu’un

nombre fini de cn

=~ 0 ;

; ^nous laissons de côté le cas sans intérêt

où,

pour tout n >

0,

^{cn = 0.}

Les

lignes

successives de

la

matrice A ^se déduisent de la

première

par

translation parallèle

^{à la}

diagonale principale,

les éléments situés au-des-

sous de cette

diagonale

étant nuls bien entendu. On voit aisément que la matrice B ^a alors la même

propriété (I, 3,

p.

257),

et que, si l’on pose

b;,~+n ~ ~dn,

^{les relations}

qui

donnent les

dn

^en fonction des cn

expriment

que,

formellement,

Cela

permet

^une évaluation facile de l’ordre de

grandeur ^{des dn}

^dans

le cas où la

série 1

^{cn t~} converge ^{et a} pour ^somme 0 en un

point t.a

^de

module _r, et ne s’annule _pas dans le

disque Ifl

^r

^{(r est}

⁴⁼

^{0, puisque}

co ⁼

1,

^{et le} rayon de convergence dé la série ^{est au} moins

égal

^à

r).

^La

série 03A3 dn

^{tn admet alors r comme} rayon de convergence, ^ce

qui

^{entraîne ;}

lim _sup ⁼ r.

’Appliquons

^{ce résultat au}

système homogène

^{A X =} 0. ^{On sait}

(I, 5,

p.

259)

que, pour ^une solution autre que la solution banale X ⁼

0,

^B’A’X’

n’existe _pas. Or la matrice

B’A’,

^comme les matrices A’ et

B’,

^a des

lignes qui

^{se déduisent de la}

première

par translation

parallèle

^{à la}

diagonale principale,

^{et les éléments de la}

première lig,ne

^ne sont autres que ’ les coefficients successifs du

développement

^{en série du}

produit

(03A3 |cn| ^tn)

^X

(03A3 |dn| tn),

série dont le _rayon de ,con:vergence ^{est r}

(d’une part,

en

effet,

il

est ~

r ; ; d’autre

part

^le coefficient dans la série

produit est ~

^{. On retrouve ainsi un} résultat donné _par VoN KocH dès 1912

(voir,

par

exemple, [7]) :

^:

si,

pour tout

i,

a,,i+n ⁼ cn

(n 0 ;

c0 ⁼

1)

^{et si la} série 03A3 cn tn admet

t0

pour racin,e de

plus p,etit module,

^une s~o~luti,on ~a~utr~e q;ue la s~olutio~n banale du

système triangulaire homogène

^{A X = 0}

vérifie

nécessairement :

Remarquons qu’on

^a

l’égalité

pour la solution : xn ^{= ,K}

t0n.

Sans faire intervenir les racines de 03A3 cn tn

(il peut

^ne pas y ^en

avoir),

on

peut

^{énoncer un résultat}

analogue,

^bien

qu’en général

^moins

précis,

sous

la

seule

hypothèse que 03A3

cn tn ait ^un _rayon de convergence ^non nul.

Ce résultat est d’ailleurs

susceptible

^d’une

justification

^{directe tout à fait} élémentaire. C’est le suivant : si .l,e

positif

p

v~érif ie :

une solution non banale du

système

^{A X = 0}

,e.n,visagé

^ci-dessus

vérifie

nécess~airem~e~nt :

En

effet, remplaçons

^cn par

- Ic,LI

pour n >

0,

^ce

qui remplace

^{la ma-} trice _{A par} 2 1 - A’

(I, 5,

p.

260).

^Les

lignes

^de l’inverse à

gauche

^de

(2 1 - A’)

^sont form~ées des coefficients successifs de la série

dont lè rayon de convergence

est ~

p : ^: si l’on écrit cette

série 1

8n

tn,

^les 8n sont

tous ~ 0, 8.o

^{= 1}

(2 ),

^{et on sait} que, pour ^une solution ^non

banale,

^l’une

au moins des séries 1

8n Ixn+pl diverge (p

⁼

1,2 ... ) .

^D’où

l’inégalité (2).

Comme nombre _p, on

prendra,

^s’il

existe, l’unique

^.nombre

positif

^tel

que : p + ... + + ^... = 1. Ce sera notamment le cas s’il

n’y

^a

qu’un

^{nombre fini de}

cn ~ 0,

ou,

plus généralement,

^si le rayon de conver-

gence R

de 03A3

^{cn tn est}

infini ; lorsque

^{R est}

fini,

^{si 03A3}

I cnl

^{R" est infini ou}

1

fini ~ 1,

p défini comme ci-dessus _par la relation

d’égalité existe,

tandis

m

que

si Y lcnl

^R"

^1,

^on

^prendra

^{p = R.}

1

Comme il a été

dit, l’inégalité (2) peut

^se dém,ontrer directement de

façon

^très élémentaire.

Supposons

^{en effet}

qu’existe

^{une solution non}

banale _pour

laquelle

^lim

|xn|

^{1i° = À p.}

^{Soit p}

^{un nombre tel que}

À _p.

Puisque

^{~ 0 si n ~ oo et}

qu’il

y ^a nécessairement une

infinité de

xn ~ 0,

^il existe ^une suite

partielle

^{d’indices n’} pour

lesquels

le terme est non nul et

supérieur

^ou

égal

^{à tous les suivants :}

pour n >

n’, ,un-~’.

^Dès

lors,

pour l’un

quelconque

^des

n’, l’égalité

co Xn, + ci ^{+ ...} = 0 est

impossible, puisqu’on

^en déduirait :

Remarquons

^enfin que

l’inégalité (2)

^{et sa} démonstration élémentaire sont encore valables _pour un

système triangulaire régulier quelconque,

dans

lequel

^on suppose que, pour

tout 1, Iai,b+nl ^~

^{la série 1}

^ayant

un rayon de convergence ^non nul. Certains des théorèmes d’unicité _que

nous allons maintenant établir

pourraient

^n’être

exposés qu’à partir

^de

cette modeste

origine ;

par

contre,

^d’autres

problèmes,

notamment l’amé- lioration de l’évaluation de constantes

qui s’introduiront,

la résolution

d’équations

^avec seconds membres A X ⁼

Y,

^...

exigeront

^un

appel

^effec-

tif aux résultats de la

partie (I).

II. 2. -. Étude

algébrique

des zéros des séries entières.

Soit

f(z)

⁼ a.o ^{+ ...} + ~an zn + ... une série

e~n~tière,

^non

identique

^à

^0,

de _{rayon de} convergence R

(0 R

⁺

~).

On démontre élémentairement que

f(z)

^est

développable

^{en série au}

voisinage

^de

chaque point

^du

disque

de convergence, d’où résulte que les

zéros, simples

^ou

multiples,

^de

f (z.)

2. b~E ^{n’est autre} que (voir (I, 4) ).

sont isolés et ne

peuvent

s’accumuler à l’intérieur du

disque

^{de conver-}

gence.

Inversement,

^soit zl, ^... zp ^{... une} suite infi-ni~e de nombres com-

plexes

de module

R (0 R

⁺

oo ) ,

^telle que la suite

Izpl

soit non-dé- croissante _{et que} ~ R

lorsque

p ^{~ oo.} Nous nous proposons d’étudier les séries entières

qui

adm,ett,ent

parmi

^leurs zéros les _zp, avec un ordre de

multiplicité égal

pour chacun d’eux au nombre de fois où il est

répété

dans la suite donnée. Nous supposons, ^ce

qui

^{ne nuit} pas à la

généralité,

que zo ,est 4= 0. Nous avons laissé de côté le ^cas facile où l’on ne donnerait

qu’un

’nombre fini de zéros.

Le

problème posé

^se ramène à la résolution du

système

linéaire homo-

gène (03A3)

^formé par les

équations :

^:

)

⁼

0,

pour ^un terme zp

qui

^ne

figure qu’une

^{fois dans la}

suite,

^et

f(zp)

^{= = ... =}

f ~’~-1’

^{= 0} pour ^un terme

répété

^{m fois}

(zp

⁼ z~+1= ^{... = .} Les inconnues so~n,t les a~.

Toute solution de ce

système

autre que la solution banale fournit ^une série entière

qui

^a exactement R comme rayon de convergence ^et

répond

^{à la}

question.

Le

système

^obtenu

(~)

^n’est pas

triangulaire,

^mais

peut

^être

remplacé

par ^un

système équivalent (S) qui

^soit

triangulaire régulier (cf. (I, 7),

remarque

finale ) .

^.

Considérons d’abord le cas où les Zp siont tous distincts. Pour tout

n >

0,

^{il est}

possible

^de

remplacer

^la

(n

⁺

1) ième équation

^de

(1)

par

une combinaison linéaire v,o + ... + vn

{(Zn)

^{= 0 dans}

laquelle

^{ao, a1,}

... , an-,i ^ne

figurent

pas et ^an

figure

^{avec le} coefficient 1. Les v sont fournis par le

système

^cramérien

Le déterminant de ce

système

^{est le} déterminant de la matrice

tronquée

A ⁽ⁿ⁺¹⁾

(I, 7,

p.

264).

^{Il est clair} que vn est

=t=0,

et que le

système (,S)

^obtenu

est

équivalent

^à

(~).

^Revena,nt pour le

systèm’e (S)

^aux notations de la

partie (I),

^{on notera} les inconnues ~ao ⁼ xi, ai ^~= x2, ^{..., ,} et les coefficients

ai J

(i, j = 1, 2 ... ) .

On a : ai, p+i =

et,

pour

,p ~

n,

D’après

les relations

qui

fournissent les _{v, p+i} est le

quotient

^{de deux}

déterminants : ^en dénominateur

figure

^le déterminant de

en numérateur le même déterminant

où,

dans la dernière

ligne, l’exposant

n a été

remplacé

par p. Il en résulte _{que an+1, ~+1} est un

p,olynôm,e

^homo-

gène

^de

~de~gré

p-n par

rapport

^{aux variables} zo, ^{... ,} zn, dont tous les coef- ficients sont

positifs :

^{il suffit} pour le voir

d’appliquer

^au numérateur la même méthode de calcul déterminant de Va,ndermonde. On ^com-

mence par retrancher la

première

^{colonne aux n}

suivantes,

^et l’on met

en évidence le

produit (z1- zo)

^...

(zn - zo)

; il reste en facteur ^un ~déter- mi,nant d’ordre ^{n sur}

lequel

on recommence la même

opération,.

^’etc...

Nous avons

supposé jusqu’ici

^les 2;p tous distincts. Mais la réduction de

(.~)

à la

forme triangulaire régulière (S)

^{est ~en~c~ore}

possibl,e

^{dans Ie}

cas

~gé~n~éra~l

^{: en} effet les déterminants de toutes les matric~es

tronquées (I, 7,

p.

264)

^sont =t=0 : le déterminant de A~~’

apparaît

^en effet lors-

qu’on

^{cherche à} déterminer un

polynôme

^de

degré

^donné n, admettant 1 pour coefficient de z~ et zo, zi, ^... pour zéros. Et on voit facilement _par passage à la limite que les

expressions

des coefficients _{an+1, P+l sous} forme de

polynômes

^restent valables dans le cas

général :

^{on évite toute difficulté}

dans le passage à la limite ^en

remplaçant

^{la série}

f(z)

par ^un

polynôme (de degré

arbitrairement

élevé).

En

particulier,

^si zo ⁼ zi ^{= ... =} zn, les calculs se trouvent tout effec- tués _pour les

(n

⁺

1) premières équations ;

^la

(n

⁺

1)ième équation

^de

1

(S)

^’est

nl ^f

~n’

(zn)

^{= 0 et} ~+1=

~n~

^{Revenons au cas} d’une suite

(zp) quelconque, polynôme homogène

^en zo, ^{... z~} et dont tous les coefficients sont

positifs,

^{a son module}

majoré lorsqu’on remplace

^toutes les variables _{par zn,}

puisque

^{la suite}

kp!

^est non-décroissante. On a donc

toujours : C% |zn|

^P-n.

Quant

^{aux éléments}

b~~

^{de la matrice B} inverse à

gauche

^{de la ma-}

trice A du

système (S),

^{il nous} suffira de calculer ceux de la

première ligne.

^{On sait}

(I, 4)

que b1,p+1 ^est la valeur de l’inconnue _a0 ⁼ _xi

lorsque

ofp ⁼

1,

que ^{c~ =} 0 pour n > p, ^et que les p

premières équations

^{sont véri-} fiées. C’est donc le terme constant du

polynôme

^de

degré

p, dont le terme en zP a pour coefficient

1,

^et

qui

^s’annule pour zo, zi ^{... ,} zp-p

D’où : ^:

bi,

p+x ⁼

(=-1 ) p

z,o Zi ^{... ,} pour p > 0.

Dès

lors,

pour ^une solution non

banale

du

s,ystème (03A3)

^ou

(S),

^les

résultats établis dans la

partie (I)

donnent immédiatement une

forme,

moins

précis,e

mais obtenue sans calcul

intégral,

d’un résultat

classique

^:

la séri~e ~, 2n

Ian

^{zo z1 ...}

zn_1) ^{,diverge (~3)}

^.

En

effet, si,

pour cette

solution,

ao n’est _pas

nul,

nécessairement la

quantité

^notée

~lp

^’en

(I, 5,

p.

260)

^{ne tend} pas ^vers

0,

et par suite la

00 n

première

^série

(5)

^L

lanl ⁽

^I

n+.ll) ^{diverge. (Voir}

^aussi

^{(III, 3 ) ) .}

n=o k=o

3. Ceci, qui ^n’est intéressant que lorsque R==oo, explicite le corollaire 7, 3 de [4].

Or la

parenthèse

^est

majorée

par :

(3 )

.

Izoln

^{+ ... +}

Izo

^{z1 ... + ... + z1 ...}

zn-1|

qui est ~

^2"

Izo zl

^...

Zn-II, ^d’après

la valeur de la somme des coefficients du binôme. Si ao est

nul,

^{on se} ramène ^{au cas}

précédent

^{en mettant en} facteur dans la solution non banale

f(z)

^une

puissance

convenable de ^z.

Rappelons

que zo ^a été

supposé 4=

^0.

On

peut évidemment,

^{avec des}

hypothèses supplémentaires

^{sur les} zp, améliorer le résultat obtenu : _par

exemple, si,

pour tout p,

C

À

1,

on trouve que 03A3 ^K"

Ia"

^{Zo Zi ... ,}

^,diverge

^{pour tout} K > 1. Il suffit _pour le voir de

préciser

^la

majoration

faite ci-dessus _pour le

quotient

^{de l’ex-}

pression (3)

par ^: le terme contenant

Ckn

^est

majoré

par donc _par

~n-k,

^{si n-k-1}

dépasse 2q,

l’entier q

ayant

été choisi tel _{que ~q} E ; les termes pour

lesquels

^{il en est ainsi ont une}

somme inférieure à

(1

⁺

~)n,

^{et les}

autres,

^{en nombre}

fini, aussi,

^dès que

n est assez

grand.

^E

désigne

^{un nombre}

positif

arbitraire.

Mais

^,en

fait,

^{le nous venons}

d’indiquer,

^-

divergence

de 03A3 Kn

lan

^{z.o ... , pour tout K >}

^1-,

^est

^général

^{et ne auçu-}

nement

l’hypothèse supplémentaire.

On l’établit facilement _par une autre

méthode,

moins élémentaire

puisqu’elle

^utilise

quelques propriétés,

^d’ail- ,

leurs

classiques,

^{des fonctions}

analytiques.

’ La

propriété

^est d’abord évidente si R est

fini, puisque Iz"I

^{-~ R.}

^Lorsque

R est

infini,

^{c’est une}

conséquence

^de

l’inégalité

de J,ensen.

Soit un effet

f(z)

^{_ ~ an zn une} fonction entière admettant une infinité de zéros. O~n

peut

supposer, ^{comme on} l’a vu

plus haut,

que a~ n’est _pas

nul,

^{et le}

prendre

^alors

égal

^{à 1. Soit}

(zp)

^une suite infinie formée avec

des zéros

de f (on

^ne les

prend

^pas nécessairement

tous), rangés

par ordre de module non décroissant. On sait _que, avec les notations

classiques,

zi ^...

M(r) (voir,

par

exemple,

VALIRON, [8],

p.

430).

^Dès

lors,

^{si la}

série 03A3 Kn|an z0

^...

convergeait

pour ^une valeur K >

1,

^{sa somme}

majorerait M(.Kr) /M(r) quel

que soit _r,

ce

qui, d’après

le théorème de

LIOUVILLE,

^est

impossible

pour ^une fonction entière ^non réduite à ^un

polynôme.

Remarquons

que même la forme moins

précise

obtenue élémentaire- ment

(avec

^{K =}

2) permet

de montrer

qu’une

^{fonction entière non iden-}

tique

^{à 0} et admettant une infi~nité de zéros donnés ne

peut

^{avoir une .} croissance

trop faiblie.

Avec les notations

ci-dessus,

^{et en}

posant

⁼ r,,,

on voit _{que, pour} une

infinité

^{d’indiaes ,n, on a}

l’inégalité :

^.

partons

ici de zi ^au lieu

de zo,

^ce

qui

^{est sans}

importance).

^D’où

des

inégalités

pour l’ordre et le

type

^de

f.

^Par

exemple

^l’ordre p est donné

par

--

= lim

inf - log ! a " , , 1 .

^°

^Or,

^{pour une d’indices n,}

On sait _que BOREL a donné un résultat

plus précis : -

^{est en fait}

inférieur ou

égal

à la limite

inférieure

^de

log

r",

dont

^{t on} démontre aisé- ment

qu’elle

^{est la même} que celle de

log

n (r _{lo ... n} ru) n log n )

^{: . nous ne}

retrouvons le résultat de BOREL que dans le cas où

( ou

^{du moins}

log(r1 ..rn) n log n) a

^{une limite.}

log

ⁿ

REMARQUE.

^- Nous venons, dans ce

qui précède,

d’établir des

proprié-

tés des séries entières non

identiques

^{à 0}

qui

s’annulent en au moins tous les

points

de la suite infinie

(zp).

Nous n’avons _pas montré

qu’il

^{existe de}

telles fonctions. -

Rappelons

que, dans la suite

(zp), chaque

^terme

peut

^être

répété

^{un nom-}

bre fini de fois. Si on suppose que la suite des modules des zéros

(simples

^ou

multiples)

différents est strictement

croissante,

la condition

(8)

^{mis.e en évi-} dence en

(I, 7)

^est

vérifiée,

et par suite le

système (~) qui

donne les coeffi- cients 6~ admet une infinité de solutions linéairem,ent

indépendantes :

^cela

résulte du théorème de PÔLYA

(voir (I, 7,

p.

264) ).

^{Il en} serait de même

si,

au lieu de seconds membres tous

nuls,

^on

prenait

^{des seconds membres}

arbitraires. Remarquons

que,

lorsque

^{R =} oo, ^on

peut toujours

supposer que la suite des modules des _zp distincts est strictement croissante : il suffit de

changer d’origine.

^-

ÏI. 3. ^- Dérivées successives des fonctions

analytiques

^:

problèmes

^du

type

d’Abel-Gontcharoff. ^- Généralités.

Comme il a été dit dans l’introùuction

(I, 1) (voir

^aussi

[2] ]

^et

[ 3 ] ) ,

^on

est directement conduit à un

système triangulaire régulier lorsqu’on

^cher-

che à résoudre des

problèmes d’interpolation

^du

_type

d’ABEL-GONTCHAROFF

[9],

c’est-à-dire

lorsqu’on

cherche à déterminer une fonction

analytique

connaissant une valeur de chacune de ses dérivées successives. C’est de ce

problème

^{et de}

questions

^connexes _que nous nous occuperons dans ce

paragraphe

^et les trois

suivants,

^en

employant

^{une méthode}

directe;

^les séries

d’interpolation n’apparaîtront qu’après

coup

(voir (II, 5) ).

Soit une suite

quelconque

^de

points zn

^du

plan complexe (n

⁼

0, 1, 2... ).

Soit R ⁼ sup

Supposons d’abord,

pour

simpli f ier,

que, pour tout n,

|zn|

^{R. Nous nous} proposons de déterminer une fonction

f (z), holomorphe

au moins _pour

( zf

^R

^(donc

^{entière si R =}

^{oo ) ,}

^et satisfaisant aux condi- tions

= bn (n

⁼

0, 1, 2... ). Les bn

^sont des nombres donnés. Natu- rellement

= f..

Si on pose

f (z) = 03A3 00 ^{a n nT’}

^{, on} voit que, pour que

f

^soit

solution,

ⁱⁱ faut et suffit _que les an vérifiant le

système

Le

problème .posé

^est ramené à la résolution du

système triangulaire régulier (s ) .

Si l’on

admet,

dans le cas où R est fini

(et

^non

nul)

que certains ^zn aient _pour module

R,

^la résolution du

système (s) correspond

^{à un} pro- blème

légèrement

^{module : on} cherche des fonctions

f(z) holomorphes

^au

moins

pour Izi ^{R, mais, lorsque}

^{leur rayon}

d’holomorphie

^est

précisé-

ment

R,

^on suppose que, si ⁼

R,

la série de

Taylor

^de converge

encore en zn et y ^a pour ^somme bn ^:

bn

^{est d~o~nc la} limite de

lo~rsque

en vérifiant les

hypothèses

^{du théorème}

d’ABEL (4)

^.

Revenons,

pour le

systèm~e (s)

^{, aux} n~ot:ati~o~ns la

partie (I ) :

^on pose an ⁼

bn =

,yn+i; X et Y sont les vecteurs de coordonnées x; et

quant

aux éléments ai; de la matrice A de

(s ) ,

^{ils sont donnés} par zn

~ (p

^{- r}

)

^! pour p

>

^~n.

On a vu en

(I, 3)

^{comment on calcule les éléments}

bb;

^de la matrice B inverse à

gauche

^{de A.}

Chaque ligne

de B est fournie _par un

système

récurrent. Par

exemple,

pour la

première : b11= 1,

zo +

b12

⁼

0,

...,

b1,

p+1 est un

polynôme

~i~ ’ ’ ’ En

(I, 4)

^a été donnée une expres- sion des

bij

^{sous forme de}

déterminants,

ainsi

qu’une interprétation

^sim-

ple :

P+l

( p ~ n)

^est la valeur de l’inconnue an ⁼

lorsqu’on

^{réduit le}

système (s )

^aux

(p

⁺

1) premières équations

^et

(p

⁺

1) premières

^incon-

nues, et

qu’on prend

des seconds membres tous nuls sauf 1. Le _sys- tème ainsi réduit détermi~ne le

polynôme P(z)

^de

degré

p,

qui

^vérifie

=

p~(zl) _ . , , _ = 0, pc~>(z) - 1,

c’est-à-dire le

polynôme

de GONTCHAROFF

[9]

relatif à ^...

bn+1,

p+1 est le coefficient de z?t

’

p+i le terme constant dans ce

polynôme.

Notons enfin _{que les}

quantités /?,

introduites ^en

(I, 4)

^et

qui majorent respectivement

^les

Ibljl

^{sont définies par le}

^système

récurrent :

4. Bien entendu, ^{si = R a} lieu _pour une infinité de n, la série f et toutes ses

dérivées convergent absolument et uniformément dans le

disque |z|

^R.

où on a

posé |zn|

^{= rn. Ces}

^{quantités pourront}

surtout être utilisées

lorsqu’on

ne fera

d’hypothèses

que ^sur les m~o~d~u~le~s des z~, On a vu que, si la pre- mière

ligne

^{de A n’a aucun élément}

^nul,

c’est-à-dire si zo =t=

0,

^{les théorèmes} des

paragraphes (I, 5)

^et

(I, 6) peuvent

^{se traduire}

simplement

^{en intro-}

duisant les

Or,

^{dans ce}

qui suit,

^{il sera}

toujours

loisible de supposer

zo ~ 0 :

s’il n’en était _pas

ainsi,

^on raisonnerait sur une dérivée d’ordre convenable de

f.

n. 4. ^- Zéros des dérivées successives

(5 ) .

Nous supposons que, dans le

problème général posé

^au

paragraphe pré- dent,

les seconds membres

bn

^{sont tous nuls.}

Si

f (z)

^{est une solution non}

identique

^à

^0,

^{on sait que}

B’A’X’ n’existe _p~as

(1, 5 ) ,

^ce

qui

^{se traduit} par la

divergence

d’une série

(et

même d’une

inimité)

^{de la forme ~}

Àj

^{où les}

~,;

^sont fonctions des zn : les

|xj|

^ne

^peuvent

^{être «}

trop petits ».

Les résultats établis ci-dessous sont contenus dans ^ce théorème. Dès _que la suite

(zn)

^est

donnée, A, B, A’,

^{B’ sont} déterminés : c’est à

chaque

^s,uile

(Zn)

que

correspond

^une matrice B’A’ ^{donnant une}

propriété

^{des solutions}

non banales.

Mais,

^{comme le calcul}

explicite

^des

b ij

^{n’est en}

général

pas

possible,

^on

sera amené à faire des

majorations.

C’est ainsi _que, si _zo =t=

0,

^on

peut

^utili

ser les

~3; précédemment i’ntroduits,

^{et on a} l’énoncé très

simple :

^:

pour ^une solution ^non banale du ~

.

Rappelons

^{d’où cela}

provient.

^{A étant une matrice}

triangulaire régulière

et B ^son inverse à

gauche,

^on

peut majorer

^{B’ comme suit}

(voir ^{(I, 4)}

^et

(I, 5) ) :

^il suffit de

remplacer

^A par

(~

^{=21 -}

A’ ;

^{on a}

(~’

⁼

A’ ; l’inverse ?

de

(~

^{a ses}

éléments>

⁰

{ ~ _ ffi ’)

^et

majore

^{la matrice}

^B’, chaque

^élément

de ? majorant

^{l’élément}

homologue

dé B’. De

plus ~‘~ _

⁼

^{2~ - I.}

La

première ligne ^{de ?}

^{est formée des}

f3i;

^{s’ils sont tous}

^{$ 0} (c’est-à-dire

ici si

zo ~ 0),

^{la ième}

ligne

^a des éléments

majorés

par les

R;/ fi~.

^{Dès lors}

^si,

au lieu

d’exprimer

la non-existence de

B’A’X’,

^on

exprime

^celle

^{de ?}

on aboutit ^au résultat

indiqué.

Remarquons que ?

^et

a’ majorent respectivement

^{non seulement 1e~}

matrices B’ et A’

correspondant

à la suite

(zn) considérée,

^{mais les matri-}

ces

analogues correspondant

^{à toute suite}

qui

^{vérifie C’est}

évident

pour (f’. Quant

^aux ’éléments de ce sont des

polynômes

^à

coefficients >

0 des éléments de

(~’ (6).

^La

propriété

^{établie -}

divergence

5. Nous développons ^ici des calculs esquissés ^{dans les} deux notes [3].

6. On pourrait ^aussi remarquer que chaque ^élément

b~

f de B est ^un polynôme pal

rapport à certains zri. ^{Si les} zn ^sont astreints à varier dans des disques Pn, ^le maximum de t est atteint à la frontière, pour des valeurs telles que ⁼ Pn. Donc, plus généralement, ^{si une matrice C majore} la matrice B’ correspondant à toute suite qui ^vérifie

|zn|

^{= elle majore} la matrice B’ pour toutes les suites qui ^vérifient

Pn. ^’

de 03A3 pn+i |an|

^{pour une solutio,n non banale - est} donc valab.le non pour la seule suite

(zn) ,

^mais pour toute suite

(In)

telle que

)§n] ^# )zn].

EXEMPL.ES.

^-

a) Sup.poso>ns

que, pour tout n,

#

^1.

D’après

^ce

qui

vient d’être

dit,

^on

peut

supposer

)zn]

^{= 1 et} utilise.r les

p;

calculés dans cette

hypothèse.

^{Ils sont définis} par le

systèm,e pi

⁼

1,

^{... ,}

(.) ^- 1 1 +

j5 r~2

+ +

{3

^{...fi l,. ~ (.) ’n}

’

03B2p+1 =

^{+ ... +}

PP> ... qui signifie

^{que ’a}

03B2n+1

^{tn est}

de 1-

t 1!

^{° °}

- t" n! - ...

^° = 2 - et. Comme 1 2-et=1 2(log2-t)+03C6(t),

,

~ l

03C6(1) ayant

^un rayon de convergence >

log 2,

^{on voit} que

pn

^oo

2(log 2)n.

Donc,

^si

f(z) = ) ^z)5

^Ù s’annule ainsi _que chacune :dé ses dérivées dans ie

disqUe izi ^i, È jl§’£); ^diverge.

Il en résulte en

particulier

que, pour ^une infinité de valeurs de n,

|an|

^>

(log 2)n p2

_n ^, et que par suite f esl au moins ,du

type log

^{2 d’e l’ordre 1-.}

,

On retrouv,e ainsi _que la constante ,de Whittaker

West> log

^{2 =}

0,69... :

^{iV est le}

plus grand

d,e;s nombres ^T tels _que la seule fonction

holomorphe

^{dans le}

disqu,e ^unité,

y

présentant

^un z,éro ainsi _que chacu.ne de ses dérivées

successives,

^{et de} croissance moindre _que

(ordre 1, type T) ,

soit

identique

^{à 0}

(voir

par

exemple [9]

^et

[10] ).

Dans la démonstration

qui ^précède,

nous av.ons

r.emplacé

^les

|zn|

^par

^1,

et utilisé les

Q;,

c’est-à-dire

remplacé

A par

et

^{= 21 -} A’. Cette

matrice,

dont la

première ligne

^est

g

^l

-q;

^--

1 2! .. ,

^{et dont les autres s’obtien-}

nent par translation

parallèle

^{à la}

diagonale principale,

^n’est

égale

^{à la}

matrice A _pour ^aucune

répartition

^{des zn dans le}

disque

unité. La

majora-

tion faite est

trop forte,

^ce

qui e.xplique

que le minorant

log

2 .o.btenu _pour W soit

trop faible;

^il s’obtient d’ailleurs de

façon

élémentaire _{par la} démonstration directe donnée à la fin de

(II, 1 ),

^{et il}

convient,

^{non s,eule- ,}

ment aux solutions du

systèm,e (s),

^mais à ce.lles du

systême

^{o,btenu en}

modifiant de

façon

arbitraire les

argum.e.nts

^{d.es a;;.}

Pour trouver u,n meilleur minorant de

iV,

^il faut améliorer la

maj.ora-

tion des

b;; lorsque

^{les z,,}

appartiennent

^au

disque

unité. Considérons la

première lign,e

^{de B,}

bi,

p+i est la valeur à

l’origine

^du

polyn.ôme

^{de GONT-}

CHAROFF relatif _{à zo, z1} ^... Ces valeurs ont été étudiées _par

LEVINSON, puis

par

’Mime.

^MACINTYRE

[10] qui

^a montré |b1, n+1|

kP,

^{avec k =}

1,3îî5 (j>

^>

0) .

Dès lors les éléments successifs de ^la

première ligne

^{de B’ A’ sont}

1 . J;

° ° °

’ P ! ~lP-1)! ~

^{° ° ° ~}

^~~~~’

^{° ° ° On fait de}

même _pour les autres

lignes (7). Et,

par

suite,

pour ^une solution ^non

banale, 03A3 kn |an| diverge,

^ce

qui

^entraîne que

W > 1/k

^>

0,7259. (Mime

^MAC-

INTYRE a aussi

établi,

à l’aide de

contre-exemples,

que W

0,7378).

^Notons

que, dans notre

présentation

par les

systèmes

^infinis

d’équations ^linéaires,

comme dans la

présentation classique

^{par les séries}

d’interpolation,

^{la dif-}

ficulté

qu’on

rencontre pour obtenir de meilleurs minorants de W est exactement la même : c’est l’évaluation ^des c’est-à-dire des coefficients des

polynômes

de GONTCHAROFF.

b)

^Soit

(rn)

^{unie suite}

non

décroissante de nombres

positifs,

^{et considé-}

rons les

~3;

^définis par les formules

(4)

^de

(II, 3)

Si on pose ^...

~3’p+1,

^{on voit}

qu’on

^{a :}

D’après

les calculs faits au

a)

^ci-dessus

(pour

^{le cas où on a le}

signe

⁼

au lieu

de ~ ),

^on voit que, K étant une constante

numérique convenable,

on a les

inégalités :

Dès lors

si,

pour la

fonction

entière f non

identique

^à

0, chaque dérivée

s’annule dans le

disque |z|

^rn,

03A3 | an | rn ri ... rn-1 (log 2)n diverge.

. j

[

.

Si,

par

exemple, ~ = (n

⁺

1)" (o:

>

0),

~y, diverge : f

^ne

peut

/

¹

^(log2yB

être de croissance moindre

que

^{ordre p =}

^type

^{On traite-}

rait de même le cas où 7B ⁼

C(n

⁺

1)" (03B2p+1

^{est alors}

multiplié

par

CP)

^et celui où lim _sup

7B/no’=C (voir [3]).

c)

maintenant rn ⁼

1 (n +1)03B1 avec 0 03B1

^1.

Les

~j correspondants

^{sont définis} par :

Soient K et À deux nombres

positifs (K

>

1,

À

1)

^tels que

l’inégalité

T~

03B2n+1

n!)03B1

soit vérifiée _{pour n} ⁼

0, 1,

^... p ²⁰¹⁴

1,

^{et cherchons si l’iné-}

7. Dans chaque ligne, après ^les premiers éléments nuls, ^comme situés au-dessous de la diagonale principale, ^{on retrouve} évidemment les mêmes majorations 1, ¹ + ~ ^....

Cela tient à ce que tous les ~ ^sont soumis à la même condition 1.

galité

^{a encore lieu} pour ^{n =} p. Il suffit _pour cela _que l’on ait :

On voit facilement _que,

lorsque

p ~ ~, le

premier

^{membre tend vers}

£ -

^{= ea -1. On}

^peut

^{en effet le} considérer comme une série entière

en ~,,

où,

pour ⁿ

don~né,

^le coefficient de

~,~,

nul pour ⁿ > p, tend 1

vers -

_n.

^lorsque

^{p ~ ~.} Ce coefficient est d’autre

part

^maximum

lorsque

« ~ 1 et p ^{= n :} il vaut alors

1 ;

^{or la} série 1 ~,n converge

puisque À 1.

,Si on a

pris

^{À tel} que ea - 1

1,

c’est-à-dire 03BB

log 2,

^{on voit} quc

l’inégalité (5)

^{aura lieu} pour p ^assez

grand, et,

^K étant convenablem~ent

choisi,

^{on aura}

Il en résulte _que

si,

pour la séri~e

f (z)

^{, non}

ide~ntiq~u~e

^à

0,

^cha- que dérivée f(n)

(z)

^{s’annule dans le}

disque z 1 ^{1)03B1 ,}

^{la série}

03A3 | an| 03BBn(n!)n

diverge

pour tout 03BB

log

^2.

D’où des

inégalités

pour l’ordre et le

type

^de

f, lorsque

^{0 «}

^1,

^ou

pour ^son rayon de convergence,

lorsque

^{~« = 1}

(voir [3]).

On trouvera dans

[2]

^et

[3]

d’autres résultats concernant le ^cas où

f présente

^{des lacunes et l’étude de certaines} constantes

analogues

^{à la}

constante de WHITTAKER.

Il. 5. ^-

Système

^non

homogène.

^- Petites valeurs des dérivées successives.

On a vu en

(I, 6)

que, pour le

système triangulaire régulier

^{AX =}

Y,

si ’A’B’Y’

existe,

^le

système

^{admet la} solution de Cramer X ⁼

BY,

et pour cette solution A’X’

existe;

^{si B’A’B’Y’}

existe,

^la solution de Cramer est la seule pour

laquelle

B’A’X’ existe

(~g ) .

Nous

appliquons

^{ces résultats au}

système (s)

^:

f ~~’ (zn) = b~,

^{les Zn et}

^bn

étant des nombres

complexes

donnés. Il faut soit calculer

B’,

^soit

majorer

ses éléments On _pourra aussi

remplacer

^A par

Q

^{= 21 -}

A’,

^{au besoin}

après

^avoir

augmenté

les modules des zn ou de certains d’entre eux

(ce qui permettra

de supposer

zo ~ 0 ),

^et introduire les

f3;

^calculés

après

^cette

modification

éventuelle. ? majore

^{alors B’.}

8. L’existence de ^A’B’Y’ ne suffit pas pour que B’A’X’ existe. Un exemple ^{est donné}

par le système des équations ⁼ y~.

Si

@’ ^S

^Y’

exist, c’est-à-dire

^{si i}

03B2j ]y;]

co.n,verg.e, A"B’Y’ existe à ^.

fortiori,

^{,donc 1e}

système

^{adm,et au m.oins ia} s.ol:ution ,de

Cramer;

^si

^* @’ ^S

^Y’

existe,

^ce

qui

^est certain,em,ent réalisé

si 03A3 j Q; |yj|

c,on,verge, ^{on voit} qu,e, pour la sol,ution de Cram.er X ⁼

BY, 3 @’

^X’

existe, c’est-à-dire

qu,e 1

03B2j ]xj[

converge, et c’,est la seu;1,e

ay,ant

^cette

propriété (puis’que

^{c’est la seule pour}

laquelle

^{B’ A’X’}

existe).

Enfin on pourra

représenter

la fonction

f(z) correspondant

à la solution de Cramer _par une s,éri,e

d’interpo.lati,o.n, f(z)

^{s’écrit en effet Z}

(BY),

^{où Z}

désigne

la m.atrice >formée .de

l’unique ligne (1

^z

z.2/2 !

^...

),

^{S’il est}

légitime

d’écrire

f(z)

⁼

(,ZB) Y

^on obtient le

développ.ement

^.de

f(z)

^en série d’inter-

polation

de GoNTCHAROFF

[9] .

La matrice à une

ligne

^{ZB a en effet} pour éléments les

polynômes

de GONTCHAROFF successifs.

D’après (1, 3)

^.et

(III, 2)

^,

si,

pour ^{z = r} >

0,

^ZB’Y’

existe,

le calcul est

lé.gitime

^et

f(z)

^{se trouv,e}

développée

^en séri.e d,e

polynômes

absolument et uniforméme.nt

convergente

pour

]z] ^£

^r.

Nous n.ous borneroins à

appliquer

^ce

qui précède

^{au cas}

.où,

p.our tout n, 1 Les

fin,

^calculés pour

|zn|

⁼

^i,

^vérifient

^Pn

^--

1 2(log 2)n

^.

Do.nc :

si converge, le

système

^{admet au moins} la solution de

Cramer;

^si

03A3n |

bn| (log 2)n

co,nverge, pour la solution de

Cram,er,

le pour

,elle

e

seule, $l

converge.

On voit

aussi, lorsque

converge, la fonction

pondant

à la solution de Cramer est

développable

^en série .de GONTCHAROFF

uniformém,ent .c,on,v;e.rgen.te

^{dans tout} .doma.in,e b.orn,é : on trouve en effet facilement _que lies éléments successifs de la matrice colonne B’Y’ sont

majorés

par K

(log 2)p (p

⁼

0, 1, 2 ... ) ,

^K

désignant

^une consta.nte.

REMARQUES.

^-

a)

^Nous venons, ici _encore, d’utiliser d’abord les

Q,,.

De

façon plus précise,

^{on sait}

(voir III, 4)

que Mime MACINTYRE ^a établi _que,

lorsque

^{tous l,es}

[zn[

^sont

^{# 1,}

^{les éléme.nts}

^b;;

^{de B satisfont à}

]bi, p+1| ^{# kp,}

donc aussi à

[bn+1; ^#

^{avec k =}

^1,3775.

^En util.isant la

majoration qui

^{en résulte pour les} éléments de A’B’ ou de B’ A’B’

(le

^{calcul a été fait}

en

(II, 4, a)

pour

B’A’) ,

^{on établit} facilement que, ,dans 1’,én,oncé

précédent, log

²

peut

^être

remplacé

par

1 /k

⁼

0,7259 ...

b) (zn) désigne toujours

^{une suite}

quelconque

^de

points

^du

disque

)z] ^£

^1.

~ ~n

Soit

f(z) = ) _-£

^une

^fonction

^de Croissance moindr.e _que

(ordre 1,,

~n

type 1 )

^L,a

fon,ction g(z)

⁼

.

a,Vec

’bn

^{= a une} croissance

infé-

rieure ou

égale

^{à celle de f..}