UNIVERSIT ´E NICE SOPHIA ANTIPOLIS Ann´ee 2014/2015 Master 2 Math´ematiques Introduction `a la g´eom´etrie alg´ebrique
Feuille d’exercices 2
Soitkun corps alg´ebriquement clos.
Exercice 1. SoitX⊂kn un ensemble alg´ebrique affine etJ ⊂Γ(X) un id´eal. Soit V(J) :={x∈X |f(x) = 0 ∀f ∈J}
et
V(r−1(J)) :={x∈kn | f(x) = 0 ∀f ∈r−1(J)}
o`u r:k[X1, . . . , Xn]→Γ(X) =k[X1, . . . , Xn]/I(X) est l’application naturelle. Montrer que V(J) =V(r−1(J))∩X =V(r−1(J)).
Exercice 2.SoitF ∈k[X1, . . . , Xn] un polynˆome tel queF =F1m1· · ·Frmr avecFi∈k[X1, . . . , Xn] des polynˆomes irr´eductibles etmi∈N. On suppose aussi que les polynˆomes Fi ne sont pas as- soci´es, c’est-`a-dire on n’a pasFi=λFj avecλ∈k∗.
a) Montrer queI(V(F)) = (F1· · ·Fr).
b) Montrer queV(F) =V(F1)∪. . .∪V(Fr).
Exercice 3. SoitX un espace topologique. Montrer les propri´et´es suivantes : a) SiX est irr´eductible et si U ⊂X est ouvert, alorsU et irr´eductible.
b) SiY ⊂X etY est irr´eductible, alorsY ⊂X est irr´eductible.
Exercice 4. D´eterminer les id´eauxI(X) des ensembles affines suivants : a)V(X1X23+X13X2−X12+X2)
b)V(X12X2,(X1−1)(X2+ 1)2).
Exercice 5.SoientX etY des espaces topologiques. La topologie produit sur le produitX×Y est la topologie o`u les ouvertsU ⊂X×Y sont des unions
U =[
i
Ui,X×Ui,Y
avecUi,X⊂X et Ui,Y ⊂Y des ouverts dansX etY.
On consid`ereX=ketY =kmuni de la topologie de Zariski. Montrer que la topologie produit surX×Y =k2 n’est pas la topologie de Zariski dek2.
Exercice 6. Soient X et Y des ensembles affines munis de leur topologie de Zariski, et soit ϕ:X →Y une application r´eguli`ere. Montrer queϕest continue.
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