Notions fondamentales en statistique
Myriam Maumy-Bertrand
IRMA, UMR 7501, Universit´ e de Strasbourg
Vendredi 15 septembre 2017
1 ` ere partie
La statistique
La pens´ ee statistique sera un jour aussi n´ ecessaire pour une citoyennet´ e
efficiente que la capacit´ e de lire et d’´ ecrire. (H.G. Wells)
Sommaire
1 Introduction
2 D´ efinitions fondamentales
3 Les deux types de caract` eres
4 Les diff´ erentes distributions statistiques
5 Quelques repr´ esentations graphiques
6 Quelques caract´ eristiques de position
7 Quelques caract´ eristiques de dispersion
8 Caract´ eristiques de forme
9 Boˆıte de distribution ou diagramme de Tukey
Les deux branches de la statistique
Population U Individus
ÉchantillonS
Statistique descriptive : d´ eterminer les caract´ eristiques d’une population.
Statistique inf´ erentielle : extrapoler les r´ esultats num´ eriques
Objectif de la statistique descriptive
L’objectif de la statistique descriptive est de pr´ esenter et de d´ ecrire, c’est-` a-dire de r´ esumer num´ eriquement et/ou de repr´ esenter
graphiquement, les donn´ ees disponibles quand elles sont nombreuses ou les donn´ ees provenant d’un recensement.
Que trouvons-nous dans la statistique descriptive ? Le concept de population,
le concept de r´ esum´ es num´ eriques, avec les trois sortes de caract´ eristiques :
1
position,
2
dispersion,
3
forme.
le concept de repr´ esentations graphiques, comme par exemple la
boˆıte ` a moustaches (cf. le dernier paragraphe de ce chapitre) ou
l’histogramme (cf. la section 5 de ce chapitre).
Sommaire
1 Introduction
2 D´ efinitions fondamentales
3 Les deux types de caract` eres
4 Les diff´ erentes distributions statistiques
5 Quelques repr´ esentations graphiques
6 Quelques caract´ eristiques de position
7 Quelques caract´ eristiques de dispersion
8 Caract´ eristiques de forme
Boˆıte de distribution ou diagramme de Tukey
D´ efinition
L’ensemble sur lequel porte l’activit´ e statistique s’appelle la population.
Elle est g´ en´ eralement not´ ee Ω, pour rappeler la notation des probabilit´ es ou U , U comme Univers, notation souvent utilis´ ee dans la th´ eorie des sondages.
Le cardinal d’une population est en g´ en´ eral not´ e N.
D´ efinition
Les ´ el´ ements de la population sont appel´ es les individus ou les unit´ es
statistiques.
Remarque
Les individus d’une population peuvent ˆ etre de natures tr` es diverses.
Exemples
Ensemble de personnes, mois d’une ann´ ee, pi` eces produites par une usine,
r´ esultats d’exp´ eriences r´ ep´ et´ ees un certain nombre de fois,. . .
D´ efinition
Les caract´ eristiques ´ etudi´ ees sur les individus d’une population sont appel´ ees les caract` eres.
Un caract` ere est donc une application χ d’un ensemble fini Ω (la
population) dans un ensemble C (l’ensemble des valeurs du caract` ere), qui associe ` a chaque individu ω de Ω la valeur χ(ω) que prend ce caract` ere sur l’individu ω.
D´ efinition
La suite des valeurs χ(ω) prises par χ s’appelle les donn´ ees brutes. C’est
une suite finie de valeurs (X 1 , X 2 , . . . , X N ) de l’ensemble C .
Sommaire
1 Introduction
2 D´ efinitions fondamentales
3 Les deux types de caract` eres
4 Les diff´ erentes distributions statistiques
5 Quelques repr´ esentations graphiques
6 Quelques caract´ eristiques de position
7 Quelques caract´ eristiques de dispersion
8 Caract´ eristiques de forme
Boˆıte de distribution ou diagramme de Tukey
Il existe deux types de caract` eres :
1
les caract` eres qualitatifs : les modalit´ es ne sont pas mesurables et peuvent ˆ etre d´ ecrites par un mot, un groupe de mots ou une phrase.
Ils peuvent ˆ etre de nature ordinale ou nominale,
2
les caract` eres quantitatifs : leur d´ etermination produit un nombre ou une suite de nombres. Nous distinguons :
Les caract` eres discrets. Ils ne peuvent prendre que certaines valeurs particuli` eres.
Les caract` eres continus. Ils peuvent prendre des valeurs r´ eelles quelconques. Si nous prenons deux valeurs quelconques du caract` ere aussi rapproch´ ees soient-elles, il existe toujours une infinit´ e de valeurs comprises entre elles.
Puis nous distinguons ´ egalement :
Les caract` eres simples. Leur mesure sur un individu produit un seul
nombre. L’ensemble de leurs valeurs est donc R ou une partie de R .
Les caract` eres multiples. Leur mesure sur un individu produit une suite
finie de nombres. L’ensemble de leurs valeurs est donc R n ou une partie
de R n .
Caract` eres qualitatifs nominaux
Profession, adresse, situation de famille, genre, noms des d´ epartements fran¸ cais,. . .
Caract` eres qualitatifs ordinaux
Rang des d´ epartements fran¸ cais pour la population en 2012, taille des villes selon quatre modalit´ es (petite ville, ville moyenne, grande ville, tr` es grande ville), appr´ eciation d’un produit par des consommateurs,. . . Remarque
Les caract` eres qualitatifs peuvent toujours ˆ etre transform´ es en caract` eres
quantitatifs par codage. C’est ce qui se fait le plus g´ en´ eralement. Mais un
tel codage est purement conventionnel et n’a pas vraiment un sens
quantitatif. Par exemple, nous ne pourrons pas calculer le genre moyen.
Caract` eres quantitatifs simples discrets
Nombre de villes de plus de 100 000 habitants dans chaque d´ epartement fran¸cais, nombre de naissances dans chacune des r´ egions fran¸ caises,. . . Caract` eres quantitatifs simples continus
Taille, poids, salaire, temp´ erature,. . . Caract` eres quantitatifs multiples
Relev´ e de notes d’un(e) ´ etudiant(e), fiche de salaire,. . .
Remarque
Si X est un caract` ere quantitatif simple l’ensemble
X (Ω) = {X 1 , X 2 , . . . , X N } des valeurs atteintes par le caract` ere (ou donn´ ees brutes) est un ensemble fini {x 1 , . . . , x n }. Nous supposerons que ces valeurs sont ordonn´ ees :
x 1 < x 2 < . . . < x n .
Le fait que telle valeur soit relative ` a tel individu est un renseignement qui
n’int´ eresse pas le statisticien. Seul l’ensemble des valeurs atteintes et le
nombre de fois que chacune d’elle est atteinte sont utiles.
Sommaire
1 Introduction
2 D´ efinitions fondamentales
3 Les deux types de caract` eres
4 Les diff´ erentes distributions statistiques
5 Quelques repr´ esentations graphiques
6 Quelques caract´ eristiques de position
7 Quelques caract´ eristiques de dispersion
8 Caract´ eristiques de forme
9 Boˆıte de distribution ou diagramme de Tukey
D´ efinition Nous appelons
effectif de la valeur x i : le nombre n i de fois que la valeur x i est prise, c’est-` a-dire le cardinal de l’ensemble X −1 (x i ) ;
effectif cumul´ e en x i : la somme
i
X
j =1
n j ; fr´ equence de la valeur x i : le rapport f i = n i
N de l’effectif de x i ` a l’effectif total N de la population, c’est-` a-dire le cardinal de Ω ou encore la somme des n i ;
fr´ equence cumul´ ee en x i : la somme
i
X
j =1
f j .
Remarque
Lorsque le nombre des valeurs atteintes est important, nous pr´ ef´ erons regrouper les valeurs en classes pour rendre la statistique plus lisible.
Nous partageons alors l’ensemble C des valeurs du caract` ere en classes ]a i ; a i+1 ] avec a i < a i+1 .
Nous parlons alors de statistique group´ ee ou continue.
D´ efinition Nous appelons
effectif de ]a i ; a i+1 ] : le nombre n i de valeurs prises dans ]a i ; a i+1 ], c’est-` a-dire X −1 (]a i ; a i+1 ]) ;
effectif cumul´ e en a i : le nombre de valeurs prises dans ] − ∞; a i ] ; fr´ equence de ]a i ; a i +1 ] : le rapport f i = n i
N ; fr´ equence cumul´ ee en a i : la somme
i
X
j=1
f j .
D´ efinition
La famille (x i ; n i ) i=1,...,n ou (x i ; f i ) i=1,...,n est encore appel´ ee distribution statistique discr` ete.
D´ efinition
De mˆ eme, la famille (]a i , a i+1 ], n i ) i=1,...,n ou (]a i , a i+1 ], f i ) i =1,...,n est
encore appel´ ee distribution statistique group´ ee ou continue.
Sommaire
1 Introduction
2 D´ efinitions fondamentales
3 Les deux types de caract` eres
4 Les diff´ erentes distributions statistiques
5 Quelques repr´ esentations graphiques
6 Quelques caract´ eristiques de position
7 Quelques caract´ eristiques de dispersion
8 Caract´ eristiques de forme
Boˆıte de distribution ou diagramme de Tukey
D´ efinition
Le diagramme en bˆ atons d’une distribution statistique discr` ete est
constitu´ e d’une suite de segments verticaux d’abscisses x i dont la longueur
est proportionnelle ` a l’effectif ou la fr´ equence de x i .
Exemple La distribution
(1, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 2), (5, 5), (6, 6), (7, 2), (8, 3), (9, 1), (10, 1) est repr´ esent´ ee par le diagramme en bˆ atons de la figure ci-dessous.
0 1 2 3 4 5 6
2 4 6 8 10
Figure: Diagramme en bˆ atons
D´ efinition
Le polygone des effectifs (respectivement des fr´ equences) est obtenu ` a partir du diagramme en bˆ atons des effectifs (respectivement des
fr´ equences) en joignant par un segment les sommets des bˆ atons.
Remarque
Le graphique de la figure suivante superpose le polygone des effectifs et le
diagramme en bˆ atons des effectifs de l’exemple pr´ ec´ edent.
Suite de l’exemple
0 0.05 0.1 0.15 0.2
2 4 6 8 10
Figure: Diagramme en bˆ atons et
D´ efinition
En rempla¸cant les effectifs (respectivement les fr´ equences) par les effectifs
cumul´ es (respectivement les fr´ equences cumul´ ees) nous obtenons le
diagramme en bˆ atons des effectifs cumul´ es et le polygone des
effectifs cumul´ es (respectivement des fr´ equences cumul´ ees).
Suite de l’exemple
0 5 10 15 20 25
2 4 6 8 10
Figure: Diagramme en bˆ atons et polygone des effectifs cumul´ es
D´ efinition
Nous appelons histogramme la repr´ esentation graphique d’un caract` ere quantitatif continu.
Dans le cas o` u les amplitudes des classes sont ´ egales, cet histogramme est constitu´ e d’un ensemble de rectangles dont la largeur est ´ egale ` a a, l’amplitude de la classe, et la hauteur ´ egale ` a K × n j o` u n j est l’effectif de la classe et K est un coefficient arbitraire (choix d’une ´ echelle), de sorte que l’aire totale sous l’histogramme est ´ egale ` a K × N × a o` u N est l’effectif total.
Dans le cas o` u les classes sont d’amplitudes k j × a in´ egales, multiples entiers de l’une d’entre elles a, nous convenons, pour conserver le r´ esultat pr´ ec´ edent, de prendre pour hauteur du rectangle de la classe num´ ero j le quotient K × n j
k j .
Exemple
Nous donnons l’histogramme de la distribution suivante :
(]1; 3], 4), (]3; 4], 8), (]4; 5, 5], 10), (]5, 5; 6], 14), (]6; 8], 20), (]8; 10], 12), (]10; 11], 9), (]11; 12, 5], 3).
0 5 10 15 20 25
2 4 6 8 10 12
D´ efinition
Le polygone des effectifs ou des fr´ equences d’une distribution
statistique est obtenu en joignant dans l’histogramme de cette distribution les milieux des cˆ ot´ es horizontaux sup´ erieurs.
Suite de l’Exemple
La figure suivante superpose l’histogramme des fr´ equences de l’exemple
pr´ ec´ edent et le polygone des fr´ equences associ´ e.
Suite de l’Exemple
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
2 4 6 8 10 12
Figure: Histogramme et polygone des
D´ efinition
Le polygone des fr´ equences cumul´ ees d’une distribution statistique group´ ee est la repr´ esentation graphique de la fonction d´ efinie par :
f (x) =
i−1
X
j=1
f j + x − a i
a i +1 − a i f i
sur l’intervalle ]a i ; a i+1 ].
Remarque
En particulier, remarquons que f (a i ) =
i−1
X
j=1
f j et f (a i+1 ) =
i
X
j =1
f j .
Suite de l’Exemple
Pour l’exemple pr´ ec´ edent, nous obtenons la figure ci-dessous.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2 4 6 8 10 12
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1 Introduction
2 D´ efinitions fondamentales
3 Les deux types de caract` eres
4 Les diff´ erentes distributions statistiques
5 Quelques repr´ esentations graphiques
6 Quelques caract´ eristiques de position
7 Quelques caract´ eristiques de dispersion
8 Caract´ eristiques de forme
9 Boˆıte de distribution ou diagramme de Tukey
D´ efinition
Le mode est l’une des valeurs x 1 , x 2 , . . . , x p dont la fr´ equence f i est maximale.
D´ efinition
La classe modale est une classe de densit´ e, c’est-` a-dire de rapport fr´ equence/longueur, maximale.
D´ efinition
La distribution est unimodale si elle a un seul mode. Si elle en a plusieurs elle est plurimodale (bimodale, trimodale, . . . ).
Remarque
Nous d´ eterminons ais´ ement les modes ` a partir des repr´ esentations
graphiques.
D´ efinition
Soit m et d les parties enti` ere et d´ ecimale de (N + 1)/2. La m´ ediane, not´ ee Q 2 (x), est d´ efinie par :
Q 2 (x ) = x (m) + d (x (m+1) − x (m) )
o` u x (m) signifie la m-i` eme valeur lorsque la s´ erie des valeurs est class´ ee par ordre croissant.
x (m) est aussi appel´ ee la m-i` eme statistique d’ordre.
D´ efinition
Pour tout nombre α ∈]0; 1[, soit m et d les parties enti` ere et d´ ecimale de α(N + 1). Le quantile d’ordre α, not´ e Q α (x), est d´ efini par :
Q α (x) = x (m) + d (x (m+1) − x (m) ).
Remarque
Les quantiles les plus utilis´ es sont les quartiles. Ils sont au nombre de trois et sont not´ es : Q 1 (x), Q 2 (x) et Q 3 (x).
Selon la mˆ eme m´ ethode que pour les quartiles, nous d´ efinissons les d´ eciles, D 1 (x), . . . , D 9 (x) qui s´ eparent les observations ordonn´ ees en dixi` emes successifs.
Pour des statistiques tr` es abondantes, nous d´ efinissons de mˆ eme des
centiles, C 1 (x), . . . , C 99 (x) qui s´ eparent les centi` emes de la population
observ´ ee.
D´ efinition
La moyenne arithm´ etique d’une distribution statistique discr` ete (x i ; f i ) i=1,...,p est le nombre r´ eel µ d´ efini par :
µ(x) =
p
X
i=1
x i f i = 1 N
p
X
i=1
x i n i ,
o` u N est l’effectif total de la population.
Remarque
Nous pouvons aussi la calculer directement ` a partir des donn´ ees brutes par :
µ(x) = 1 N
N
X
j=1
X j
c’est-` a-dire en calculant le rapport entre la somme de toutes les valeurs
relev´ ee (avec r´ ep´ etitions ´ eventuelles) et l’effectif total de la population.
D´ efinition
Pour une distribution statistique group´ ee (]a i ; a i+1 ], f i ) i=1,...,p la moyenne arithm´ etique se calcule par :
µ(x) =
p
X
i =1
a i + a i+1
2 f i .
Remarque
Cela revient ` a faire une hypoth` ese d’homog´ en´ eit´ e en consid´ erant les
valeurs ´ equidistribu´ ees ` a l’int´ erieur d’une classe ou, au contraire, ` a
supposer que toute la fr´ equence est concentr´ ee au centre de la classe (ce
qui revient au mˆ eme : nous rempla¸ cons la distribution ` a l’int´ erieur de la
classe par son isobarycentre).
Remarque
Il existe d’autres moyennes :
la moyenne arithm´ etique pond´ er´ ee, la moyenne g´ eom´ etrique,
la moyenne quadratique, la moyenne harmonique,
la moyenne arithm´ etico-g´ eom´ etrique,
. . .
Remarque
Comparons les deux principales caract´ eristiques de position : la m´ ediane et la moyenne arithm´ etique.
1
Pour la m´ ediane,
• Avantage :
Peu sensible aux valeurs extrˆ emes (caract´ eristique robuste).
• Inconv´ enients :
D´ elicate ` a calculer (diff´ erentes d´ efinitions).
Ne se prˆ ete pas aux calculs alg´ ebriques.
2
Pour la moyenne arithm´ etique,
• Avantages : Facile ` a calculer.
Se prˆ ete bien aux calculs alg´ ebriques.
R´ epond au principe des moindres carr´ es.
• Inconv´ enients :
Fortement influenc´ ee par les valeurs extrˆ emes.
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1 Introduction
2 D´ efinitions fondamentales
3 Les deux types de caract` eres
4 Les diff´ erentes distributions statistiques
5 Quelques repr´ esentations graphiques
6 Quelques caract´ eristiques de position
7 Quelques caract´ eristiques de dispersion
8 Caract´ eristiques de forme
9 Boˆıte de distribution ou diagramme de Tukey
D´ efinition
L’´ etendue est la diff´ erence entre le maximum (la plus grande valeur) et le minimum (la plus petite valeur) de la s´ erie statistique.
D´ efinition
L’intervalle interquartile ou l’´ etendue interquartile, not´ e EIQ(x), est l’´ ecart entre le troisi` eme quartile et le premier quartile.
D´ efinition
L’intervalle interquartile relatif est ´ egal ` a Q
3(x)−Q Q
1(x)
2
(x) . Cette mesure est
ind´ ependante de l’unit´ e employ´ ee.
D´ efinition
La variance, not´ ee σ 2 (x), est le nombre r´ eel positif d´ efini par :
σ 2 (x) =
p
X
i=1
(x i − µ(x)) 2 f i .
D´ efinition
L’´ ecart-type, not´ e σ(x), est la racine carr´ ee de la variance. Il s’exprime dans la mˆ eme unit´ e que la moyenne.
D´ efinition
La m´ ediane des ´ ecarts absolus ` a la m´ ediane, not´ ee MAD(x), d’une s´ erie statistique est le nombre r´ eel d´ efini par :
MAD(x) = Q 2 (|x i − Q 2 (x)|) 16i6n
.
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1 Introduction
2 D´ efinitions fondamentales
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5 Quelques repr´ esentations graphiques
6 Quelques caract´ eristiques de position
7 Quelques caract´ eristiques de dispersion
8 Caract´ eristiques de forme
Boˆıte de distribution ou diagramme de Tukey
D´ efinition
Le moment centr´ e d’ordre r est ´ egal ` a :
µ m r (x) =
p
X
i=1
(x i − µ(x)) r f i .
D´ efinition
Le coefficient d’asym´ etrie (skewness) de Fisher est la quantit´ e γ 1 (x) d´ efinie par :
γ 1 (x) = µ m 3 (x)
σ 3 (x) = µ m 3 (x) ( µ m 2 (x)) 3/2 ·
Une valeur positive de ce coefficient indique une asym´ etrie ` a droite ; une
valeur n´ egative de ce coefficient implique au contraire une asym´ etrie ` a
gauche.
D´ efinition
Le coefficient d’asym´ etrie de Pearson est la quantit´ e β 1 (x) d´ efinie par : β 1 (x) = ( µ m 3 (x)) 2
(σ 2 (x)) 3 = ( µ m 3 (x)) 2
( µ m 2 (x)) 3 = γ 1 2 (x).
D´ efinition
Le coefficient d’aplatissement (kurtosis) de Fisher est la quantit´ e γ 2 (x) d´ efinie par :
γ 2 (x) = µ m 4 (x) ( µ m 2 (x)) 2 − 3.
D´ efinition
Le coefficient d’aplatissement de Pearson est la quantit´ e β 2 (x) d´ efinie par
m (x) m (x)
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2 D´ efinitions fondamentales
3 Les deux types de caract` eres
4 Les diff´ erentes distributions statistiques
5 Quelques repr´ esentations graphiques
6 Quelques caract´ eristiques de position
7 Quelques caract´ eristiques de dispersion
8 Caract´ eristiques de forme
9 Boˆıte de distribution ou diagramme de Tukey
Objectif
La boˆıte de distribution, « box-plot » en anglais, ou encore « boˆıte ` a moustaches », « boˆıte de dispersion », « diagramme de Tukey » en fran¸cais, fournit en un seul coup d’oeil les informations sur la tendance centrale, la dispersion, l’asym´ etrie et l’importance des valeurs extrˆ emes de la s´ erie de donn´ ees que nous avons ` a explorer.
Elle est aussi particuli` erement int´ eressante pour la comparaison de
distributions sur plusieurs de ces crit` eres.
Construction
Dans une boˆıte de distribution :
la boˆıte repr´ esente l’intervalle interquartile ;
`
a l’int´ erieur, la m´ ediane s´ epare la boˆıte en deux parties ;
les lignes qui partent du bord de la boˆıte s’´ etendent jusqu’aux valeurs les plus extrˆ emes qui ne sont pas consid´ er´ ees comme trop ´ eloign´ ees du reste de l’´ echantillon.
La plupart des logiciels de statistique note « valeur ´ eloign´ ee » les points
situ´ es ` a plus de 1,5 fois l’´ etendue interquartile par rapport aux bords de la
boˆıte, et « valeur extrˆ eme », les points situ´ es ` a plus de trois fois l’´ etendue
interquartile.
Construction (suite)
Ainsi, la taille de la boˆıte repr´ esente l’´ etendue interquartile, la position de la m´ ediane est un bon indicateur de la sym´ etrie de la distribution, la taille des lignes de part et d’autre de la boˆıte traduit la dispersion, et les valeurs
´
eloign´ ees ou extrˆ emes sont imm´ ediatement rep´ er´ ees.
Construction − d´ etails
Nous repr´ esentons une boˆıte de distribution de la fa¸ con suivante :
1
Nous tra¸cons un rectangle de largeur fix´ ee ` a priori et de longueur EIQ (x) = Q 3 (x) − Q 1 (x).
2
Ensuite nous y situons la m´ ediane par un segment positionn´ e ` a la valeur Q 2 (x), par rapport ` a Q 3 (x) et Q 1 (x). Nous avons alors la boˆıte.
3
Nous calculons (Q 3 (x) + 1, 5 × EIQ(x)) et nous cherchons la derni` ere observation x h en de¸ c` a de la limite (Q 3 (x) + 1, 5 × EIQ(x)), soit
x h = max {x i /x i 6 Q 3 (x) + 1, 5 × EIQ(x)} .
Construction − d´ etails
4
Nous calculons (Q 1 (x) − 1, 5 × EIQ (x)) et nous cherchons la premi` ere observation x b au del` a de la limite (Q 1 (x) − 1, 5 × EIQ (x)), soit
x b = min {x i /x i > Q 1 (x) − 1, 5 × EIQ (x)} .
5
Nous tra¸cons deux lignes allant des milieux des largeurs du rectangle aux valeurs x b et x h .
6
Les observations qui ne sont pas comprises entre x b et x h sont
repr´ esent´ es par des symboles sp´ ecifiques, g´ en´ eralement des ´ etoiles.
Exemple
Tableau - Nombre d’heures travaill´ ees par semaine des personnes ayant un emploi ` a plein temps (2006).
Pays Dur´ ee (heures) Allemagne 41, 7
Autriche 44, 1
Belgique 41, 0
Chypre 41, 8
Danemark 40, 5
Espagne 42, 2
Estonie 41, 5
Finlande 40, 5
Exemple (suite)
Pays Dur´ ee (heures)
France 41, 0
Gr` ece 44, 1
Hongrie 41, 0
Irlande 40, 7
Italie 41, 3
Lettonie 43, 0
Lituanie 39, 8
Luxembourg 40, 9
Malte 41, 2
Exemple (suite)
Pays Dur´ ee (heures)
Pays-Bas 40, 8
Pologne 42, 9
Portugal 41, 6
R´ epublique Tch` eque 42, 7
Royaume-Uni 43, 1
Slovaquie 41, 6
Slov´ enie 42, 5
Su` ede 41, 1
Source : Eurostat.
Exemple (suite)
Statistiques descriptives :
N Moyenne M´ ediane EcarType
25 41,704 41,500 1,113
Minimum Maximum Q1 Q3
39,800 44,100 40,950 42,600
Exemple (suite)
4041424344
Durée (heures)
