"Quelle place pour la modélisation dans l’enseignement scientifique ? Etude comparée en mathématiques et en sciences de la vie et de la Terre.

QUELLE PLACE POUR LA MODELISATION DANS L’ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE ?

ETUDE COMPAREE EN MATHEMATIQUES ET EN SCIENCES DE LA VIE ET DE LA TERRE

Joël BRIAND

Maître de conférences en mathématiques , IUFM Aquitaine LACES équipe DAESL, Université Victor Ségalen, Bordeaux 2

briandjoel@free.fr

Patricia SCHNEEBERGER

Maître de conférences, IUFM Aquitaine

LACES équipe DAESL, Université Victor Ségalen, Bordeaux 2 patricia.schneeberger@aquitaine.iufm.fr

Résumé : Les recherches en didactique des mathématiques permettent de porter un regard nouveau sur la dimension expérimentale des mathématiques. En sciences de la vie et de la Terre, l’influence de l’empirisme est encore très prégnante, même si le recours à la modélisation est incontournable. A partir de ces constats effectués dans les deux disciplines, nous proposons d’étudier deux exemples de situations d’enseignement conduites en lycée et de les comparer.

Nous étudions en particulier dans quelle mesure il est possible de rapprocher les situations construites en nous servant des outils théoriques que nous procure la théorie des situations. Nous faisons une étude comparative en explicitant la nature des rétro-actions dans l’apprentissage, le caractère d’a-didacticité des situations et en montrant en quoi le rôle du professeur est déterminant.

Mots clés : situations, milieux, expérience, expérimentation, modèle, rétroactions.

1 Introduction

Nous travaillons dans le même laboratoire et à ce titre avons de nombreuses discussions sur les liens qui peuvent exister entre les didactiques de nos deux disciplines. Pour cela, il faut dépasser les cultures locales, accepter de porter un regard de naïf sur la discipline de l’autre, étudier ses présupposés théoriques, voir les liens possibles, et aussi les spécificités de chacune.

Nous devons partir d’un état de fait : dans l’organisation de l’enseignement scientifique français, les mathématiques restent séparées des sciences dites expérimentales. Nous ne nous intéresserons pas ici aux origines de cette séparation¹. Les récentes instructions officielles à

1 Ce qui fait la spécificité de la didactique n’est pas l’ancrage disciplinaire actuel. La question de la spécificité est d’ordre épistémologique : savoir ce qui s’exporte d’un domaine de savoirs vers un autre, quels sont les pontages ? Pour des raisons historiques la question est très ouverte. Il suffit, pour cela, de consulter la table de matières d’ouvrages de mathématiques du XVIII^ème siècle.

l’entrée au collège veulent corriger d’une certaine façon cette vision des mathématiques. Bien avant cela, les recherches en didactique des mathématiques avaient attiré l’attention de la communauté sur cette distance fâcheuse prise par les mathématiques vis-à-vis de l’expérimentation. Yves Chevallard déclare : « en quelques décennies, l’idée a été expulsée de la mathématique scolaire qu’elle est un outil pour penser le réel en ces trois grands domaines (le spatial, le numérique, le variable) » [CHEVALLARD Y. 2004]. Les actions fortes comme « la main à la pâte » n’ont pas concerné les mathématiques. Elles ont restauré l’idée de l’expérience en sciences physique et en SVT, mais sans prendre en compte des résultats des recherches en didactique des mathématiques et de SVT qui auraient pu être réutilisés, de sorte qu’actuellement, l’enseignement des SVT ne s’est pas encore émancipé des démarches inductives qui utilisent l’observation sans souci de modélisation.

C’est à partir de ces constats qu’il nous a semblé que nous pouvions conduire une approche comparée de nos champs de recherche en nous intéressant à la modélisation.

2 Cadres théoriques de notre étude

Nos démarches en didactique des SVT et des mathématiques se situent dans une approche constructiviste de l’enseignement. Le professeur est amené à concevoir des situations construites de façon à ce que le résultat souhaité ne puisse être obtenu que par la mise en œuvre des connaissances visées. Mais dans la mise en place de telles situations, pour que l'enjeu intellectuel existe chez les élèves, l’intention d'enseignement du professeur ne peut pas être dévoilée. Il s’agit donc, dès que possible, de construire des situations a-didactiques [BROUSSEAU 1986] (nous dirons le plus a-didactiques possibles), c'est-à-dire des situations dans lesquelles cette intention d'enseignement n'est pas totalement explicite au regard de l'élève. Dès lors, celui-ci a un but à atteindre mais ne sait pas a priori comment. C'est à lui de prendre des décisions, d'engager des stratégies, d'évaluer leur efficacité. Pour cela, la situation doit permettre d’engager des stratégies de base, et de provoquer des rétro-actions interprétables par l’élève et donc productrices de nouvelles connaissances.

Les recherches en didactique des mathématiques tendent à montrer que, dans de telles situations, la construction des savoirs est l’aboutissement de rapports dialectiques qu’entretien(nent) un (ou des) sujet(s) avec des milieux² objectifs. Ce concept de milieu apparaît très tôt, dès 1986, dans la théorie des situations, mais il évolue sans cesse [SALIN 2001]. Il est le résultat d’une préoccupation constante : étudier les rapports des dispositifs, au sein desquels les élèves étudient, avec telle ou telle connaissance. En d’autres termes, dans quelles conditions un sujet peut-il être amené à avoir besoin de telle connaissance pour y établir ses décisions, et pourquoi, a priori, le ferait-il ? Dans cette perspective les comportements des élèves sont les révélateurs du fonctionnement du milieu considéré comme un système.

2 MH SALIN, dans son cours de l’école d’été de didactique des mathématiques de 2001 attire l’attention sur la question de l’emploi de ce terme : « : Au début de la préparation de cet exposé, j’avais pensé consacrer un peu de temps à la comparaison entre le milieu de la biologie et le « milieu » de la théorie des situations didactiques. J’y ai renoncé parce que, comme je vous l’ai rappelé, c’est au logicien Lorenzen que Guy Brousseau se réfère quand il conçoit le milieu « antagoniste » du sujet . caractéristique qui m’a semblé absente du milieu des biologistes . Je voudrais toutefois terminer par une citation de G. Rumelhard, didacticien des Sciences de la Vie et de la Terre, dans son article : « le concept de milieu et les usages courants du mot. (Biologie-géologie, 1989) : « …le fait d’utiliser le mot « milieu » pour désigner l’un des termes du rapport (organisme-milieu) empêche de comprendre que le concept de milieu est précisément le concept de rapport. Il faudrait créer un autre mot. » Je ne sais dans quelle mesure il faut suivre son conseil, mais ce qui est sûr c’est, qu’en didactique comme en biologie, le concept de milieu est difficile à cerner parce qu’il rend compte de rapports, retrouvant là sa définition originelle de « mi-lieu »,

« entre deux ».

Ces rapports, organisés dans une action d’enseignement, conduisent à l’élaboration de signes, de règles, de théorèmes. Cette construction sémiotique est l’indice de la construction d’un modèle naissant. A la différence d’un ingénieur, un élève mis devant un problème pour lequel il ne dispose pas de solution experte, va avoir, le plus souvent, à construire simultanément les outils du modèle et le modèle lui-même en interagissant avec le problème posé. Faire des mathématiques, c’est modéliser et mettre à l’épreuve des faits les modèles construits. Or, cette façon de prendre l’activité des élèves comme objet d’étude est aussi la préoccupation des didacticiens des SVT.

La didactique des SVT tente actuellement de donner une légitimité à une approche théorique en envisageant l’expérimentation comme une des composantes du travail scientifique qui se combine avec l'utilisation de modèles. En cela, elle se démarque d’une pratique enseignante fréquente qui, par exemple, pour étudier une fonction biologique, a tendance à privilégier les démarches inductives en utilisant l’expérimentation pour déterminer les organes qui sont impliqués et envisager les relations mises en jeu. Or, du fait de sa complexité, un système vivant doit être appréhendé à travers un modèle. Envisager un enseignement fondé sur la modélisation conduit à s’interroger sur la conduite d’un tel apprentissage. Les recherches sur l’apprentissage de la modélisation (Martinand, 1994 ; Orange 1997) définissent la modélisation comme une activité de mise en relation continue entre deux registres : « le registre du référent empirique » (RE)³ et « le registre des modèles » (RM)⁴. Les travaux développés selon cette orientation montrent comment la relation établie entre les deux registres donne sens au modèle et lui permet de remplir ses fonctions dans la construction d’une explication.

Historiquement [BOORSTIN 1983], des exemples de débats nous éclairent sur les méthodes d’investigations expérimentales et l’opposition entre les empiristes qui valorisaient l ‘expérience comme source de connaissances et les rationalistes qui insistaient sur le

« pouvoir de l’esprit ». Par exemple, lorsque Harvey⁵ accomplit ce pas décisif théorique qui consiste à réfuter l’hypothèse selon laquelle le sang partait du cœur sans y repasser pour proposer comme postulat la circularité du mouvement du sang, il se sert d’une « grammaire nouvelle » : celle de la mesure. Le professeur Caspar Hotmann qui enseignait près de Nuremberg l’accusa de « quitter l’habit de l’anatomiste » pour se mettre subitement à jouer les mathématiciens : « En vérité, vous ne vous servez pas de vos yeux et vous ne leur commandez pas de voir, mais au lieu de cela, vous vous fiez à des raisonnements et à des calculs, vous supputez le nombre de pintes et, jusqu’à la plus petite unité près, la quantité de sang qui doit, à des moments soigneusement déterminés, passer dans les artères en l’espace d’une petite demi-heure. ». Bravant ces critiques, Harvey réussit, en utilisant ce modèle, à réfuter toutes les objections qu’il avait pu soulever lui-même contre sa propre hypothèse, sans avoir recours à des preuves empiriques (observation des capillaires sanguins) pour valider sa théorie.

Nous faisons donc l’hypothèse que dans nos deux champs disciplinaires, ces outillages théoriques peuvent être utilisés pour montrer des convergences mais aussi pointer des spécificités : en effet, dans nos deux disciplines, il s’agit pour le professeur de créer un milieu

3 Le registre du référent empirique : c'est le monde des objets et des phénomènes qu'on appelle la phénoménologie. Ce registre contient aussi les concepts, les modèles ou les théories déjà disponibles pour la description des phénomènes. Le référent empirique n'est pas donné, il est au contraire choisi. Il peut être choisi par le scientifique, le didacticien, l'enseignant, l'élève

4 Le registre des modèles : c'est le registre de l'élaboration modélisante. Les modèles construits permettent d'expliquer la phénoménologie du référent empirique

5 Médecin anglais1578-1657.

propice à l’émergence de modèles, même si les rapports sujets-milieu ne sont pas soumis aux mêmes contraintes et ne fonctionnent pas de la même façon. C’est en nous appuyant sur ces outils que nous pourrons mieux étudier les similitudes, mais aussi des particularités comme la familiarisation au milieu proposé, la nature des rétro-actions (le rétro-contrôle dans le cadre d’une activité de modélisation) qui nous paraissent être des spécificités de chacune des deux disciplines.

3 Deux approches comparées en SVT et en mathématiques dans deux domaines particuliers

3.1 En SVT : l’étude de la régulation

Pour construire une explication qui rende compte d’une fonction, il est nécessaire de considérer de façon simultanée les interactions entre éléments intervenant dans le fonctionnement d’un organisme, en adoptant une démarche systémique.

Comment tenir cette orientation quand elle renvoie à une conception du vivant (la vie comme information) qui diffère des conceptions les plus utilisées dans l’enseignement (la vie comme organisation ou la vie comme mécanisme) ?

Nous prendrons l’exemple de l’étude de la régulation en physiologie abordée au lycée principalement en classe de Première S.

3.1.1 Deux approches différentes pour l’étude de la régulation

L’étude de la régulation des grandes fonctions est abordée au lycée à partir de l’exemple de la régulation de la glycémie. En physiologie, le concept de régulation permet d’expliquer comment un organisme assure son indépendance vis à vis du milieu extérieur en maintenant la stabilité de son milieu intérieur (température, pression osmotique, pression artérielle, glycémie, …). Pour étudier les mécanismes de la régulation, deux approches différentes sont proposées selon les manuels consultés.

L’approche analytique linéaire suivie d’une synthèse.

Dans de nombreux manuels présentent la régulation de la glycémie est présentée selon une succession d’étapes (voir figure X). Il s’agit d’une démarche progressive débouchant sur une synthèse qui cumule les éléments successivement abordés pour représenter les mécanismes mis en jeu dans la régulation de la glycémie.

Plan du chapitre sur la régulation (Tavernier et al,, Bordas, 2002)

1. La glycémie est définie comme une constante physiologique.

2. Le rôle du foie dans la mise en réserve du glucose est étudié, souvent en se référant à une expérience « historique » de Claude Bernard (expérience dite « du foie lavé »).

3. Le rôle joué par le pancréas est envisagé à partir de données cliniques et expérimentales (expériences d’ablation et de greffe):

4. La fonction hypoglycémiante du pancréas est attribué à une hormone : l'insuline

5. La libération du glucose dans le sang est associée à un système d'hormones hyperglycémiantes. Leur mode d’action, les modalités de leurs sécrétions sont décrits.

6. Un schéma de synthèse est proposé, intégrant l’ensemble des points précédents.

Figure X : Une démarche fréquente

Dans ce cas des résultats expérimentaux sont proposés aux élèves pour « mettre en évidence » la fonction des organes qui interviennent dans la fonction de régulation (voir figure Y : rôle du foie) sans réflexion que les élèves aient eu à formuler des hypothèses sur les organes susceptibles d’intervenir.

Vascularisation du foie Glycémie jeûne

Veine porte (1) 0

Veines

sus-hépatiques (2)

0.85

Variations de la glycémie de part et d’autre du foie avant et après une absorption de glucose

Glycémie

Après 30 mn

Après 60 mn

Après 180 mn Veine porte 2.85 1.05 0.20 Veines sus-

hépatiques

1.25 1.1 0.95

Figure Y : expériences proposées dans un manuel de Première S

L’approche systémique en lien avec l’utilisation de modèles formels (ici le modèle cybernétique)

L'application à l’analyse du vivant des modèles empruntés à la cybernétique donne la priorité aux interactions entre les différents organes, ce qui constitue une véritable révolution.

C’est ce modèle, importé en physiologie à la fin des années 60 pour étudier les phénomènes de régulation, qui sert de référence dans l’enseignement.

La spécificité du modèle cybernétique repose sur plusieurs principes :

- il met l'accent non pas sur la constance du milieu intérieur mais sur les processus qui interviennent pour rétablir l'équilibre malgré l'existence de facteurs perturbateurs ;

- il introduit l'idée d'un transfert d'informations entre les éléments du système, informations qui vont contrôler le transfert de matière ;

- il propose un formalisme symbolique qui permet de matérialiser les différentes interactions existant entre les éléments d’un système de régulation et de définir leur fonction, en particulier la rétroaction.

Comparaison des deux approches

Ces deux stratégies diffèrent de plusieurs points de vue.

Elles ne reposent pas sur la même conception du vivant⁶ : la vie comme mécanisme dans le premier cas, la vie comme information dans le second cas. Contrairement à la première stratégie qui consiste à considérer les composantes (anatomiques) du système étudié et de déterminer les relations entre les parties, l’approche systémique permet d’emblée de mettre en valeur les interactions existant entre les fonctions impliquées dans une régulation et s’intéresse à la structure du système étudié.

Elles ne donnent pas la même importance à la construction du modèle en jeu dans l’explication des mécanismes de régulation. Les deux stratégies décrites se réfèrent au modèle cybernétique mais les potentialités du modèle ne sont pas exploitées de la même façon. Dans le premier cas, le modèle cybernétique est utilisé par les auteurs de manuel mais de façon implicite. Il n’est pas désigné comme tel et il est présenté parfois sous forme d’une analogie, par exemple avec une pièce thermostatée par exemple à la fin du chapitre (pour illustrer la synthèse). Dans le deuxième cas, l’apprentissage de la modélisation occupe une place prépondérante et constitue un des objectifs prioritaires.

3.2 En mathématiques : l’étude de l’introduction aux statistiques et probabilités

Nous prenons comme objet d’étude l’enseignement des statistiques et probabilités parce qu’il se distingue, épistémologiquement, des autres domaines.

La construction de situations d’apprentissage des statistiques probabilités, au sens de la théorie des situations, doit faire face à une question qui ne se posait pas dans d’autres domaines. La construction de modèles dans des domaines tels que la construction du nombre et des principales opérations arithmétiques, dans celui des grandeurs a été déjà étudiée longuement. Les milieux créés pour qu’émergent ces modèles sont relativement maîtrisés. En particulier, les rétro-actions qui s’y produisent donnent des informations assez claires pour que le sujet puisse en bénéficier et progresser dans son apprentissage. Ce n’est plus tout à fait les cas pour ce qui est des statistiques et probabilités. Chacun sait qu’il est possible de prévoir un événement qui ne se réalisera pas effectivement lors d’une expérience avec toutefois un bon modèle. Cette « nouveauté » en mathématiques, qui est sans doute une des causes de la marginalisation de ce domaine dans l’enseignement des mathématiques, va rendre la gestion de la situation plus difficile.

Pour enseigner les statistiques et les probabilités, les manuels scolaires construisent puis utilisent le plus souvent quelques résultats d’analyse combinatoire puis définissent ce qu’est la probabilité dans des cas particuliers. L’enseignement d’un modèle, fondé sur la théorie de la mesure, constitue l’ossature de l’enseignement des probabilités.

3.2.1 Trois voies (au moins) possibles

- Une voie est donc celle de la combinatoire et du calcul des probabilités. On suppose que l’élève comprend ce qu’est d’avoir 3 chances sur 4 de tirer une carte donnée. A partir de ce type de constat, un travail de recensement des cas favorables et des cas possibles permet une construction élémentaire des probabilités. Une construction théorique basée sur la mesure est alors progressivement enseignée.

6 voir Bachelard, article Vie in Encyclopaedia Universalis

- Une autre voie, empiriste celle là, consiste à observer des phénomènes aléatoires (passage de voitures par exemple). Le recueil des données et leur organisation aboutit à l’élaboration de tableaux, de diagrammes, etc. A partir de cela l’analyse des données permet de chercher ce qui serait intéressant.

- Une autre voie permet d’aborder les statistiques et les probabilités dans leurs relations réciproques. Il ne s’agit plus seulement de travailler à partir de descriptions, mais [DE FINETTI 1974] « de définir la probabilité d'un événement donné E (bien déterminé), pour un individu donné, comme le degré de confiance qu'il a dans son arrivée ». Comme définition opérationnelle, la probabilité est alors « le prix p (pour cet individu) conditionné au fait que E soit vrai. ».

Pour donner un sens à la probabilité associée à un événement, il paraît alors nécessaire que l’élève la matérialise par un gain attaché à une décision. Pour cela, les données doivent être des informations recherchées intentionnellement par l’élève dans des expériences faciles à mettre en œuvre dès qu’il le souhaite. En somme, passer de l’expérience immédiate, observation passive, à l’expérience construite, celle où l’on expérimente. Il va falloir que l’élève construise un modèle qui lui donne l’assurance que, même si conjoncturellement il ne conduit pas à l’expérience prévue, il permet globalement de prendre une bonne décision lorsque l’expérience vient à se reproduire.

4 Choix de situations productrices de modélisations

4.1 En SVT

Nous prendrons l’exemple d’une situation (observée dans un lycée de la banlieue bordelaise) où le professeur introduit un modèle dans la classe et propose aux élèves de l’utiliser pour expliquer le mécanisme de la régulation de la glycémie.

4.1.1 - Le dispositif

Lors d’une première séance, le modèle cybernétique est donné à construire par l’intermédiaire d’un dispositif simple(figure Z) qui permet de définir les composantes d’un système de régulation (figure W).

Les élèves doivent s’organiser pour garder le niveau d’eau constant dans l’entonnoir après une perturbation (augmentation ou baisse du niveau d’eau dans l’entonnoir). Ils doivent respecter les règles suivantes : - chaque élève ne peut réaliser qu’une seule action,

- chaque élève ne communique qu'avec une seule des personnes du groupe à l’exception de celle qui a fait l'action précédente

Figure Z : Dispositif utilisé

Les sous-systèmes :

- un capteur, système d'observation qui transforme une grandeur physique, matérielle ou énergétique, liée à la variation de la variable de sortie en une grandeur informationnelle ;

- un comparateur, système qui détecte l'écart entre la variable de sortie et les variables de commande ;

- un effecteur ou correcteur, système de correction qui transforme une grandeur informationnelle en une grandeur physique et qui possède une fonction d'action ou d'exécution

Figure W : les composantes d’un système de régulation

Lors d’une deuxième séance, les élèves doivent s’appuyer sur l’analyse des documents présentant des données empiriques relatives à la régulation de la glycémie (du type de la figure Y) et sélectionner des éléments permettant d’attribuer une fonction aux différents organes concernés, en se référant au modèle.

4.1.2 - Place du modèle

Au début de la deuxième séance, le professeur propose l’étude d’un texte de Claude. Bernard pour introduire le concept de milieu intérieur que les élèves abordent pour la première fois. Il présente la nécessité de la constance de ce milieu et illustre cette idée en présentant les conséquences de l’hyper et de l’hypoglycémie.

Les élèves doivent alors réfléchir à la question suivante : peut-on appliquer le modèle de régulation au cas de la glycémie ?

Dans cette situation, les élèves s’inscrivent dans une approche systémique en se référant à un modèle formel pour interpréter des phénomènes.

4.1.3 - Le statut de l’expérimental

Les élèves disposent d’une série de résultats expérimentaux qu’ils doivent étudier pour répondre aux questions suivantes : existe-t-il, dans le cas de la glycémie, un comparateur, un capteur, un effecteur, une circulation d'information, une réserve ?

A la fin de la séance, chaque groupe doit produire un compte rendu individuel faisant la synthèse de l’étude des documents, sous forme d’un schéma ou d’un texte. Après validation de ce schéma, le professeur donne d’autres documents à partir desquels les élèves peuvent extraire des informations concernant les mécanismes de la régulation de la glycémie, par exemple stockage et déstockage de glucose au niveau du foie (par synthèse et hydrolyse du glycogène).

Contrairement à la méthode analytique linéaire où les résultats expérimentaux servent davantage à illustrer une fonction en se plaçant dans une logique qui se veut démonstrative, les élèves mettent en œuvre une démarche de construction de preuves.

4.2 En Mathématiques

4.2.1 Le dispositif :

L’activité conduite avec des élèves de classe de seconde de lycée consiste à leur proposer de trouver un moyen sûr de connaître la composition d’une bouteille opaque contenant 5 billes : des rouges et des vertes. Il est possible, par retournement de la bouteille de voir à chaque fois une bille et une seule (il s’agit du principe du tirage avec remise). La bouteille ne doit pas être ouverte. Les bouteilles sont, au préalable, remplies et scellées avec les élèves en « aveugle ».

4.2.2 Le statut de l’expérimental

Il s’agit là de construire un milieu d’apprentissage dans lequel les élèves qui y sont confrontés envisagent des actions-observations qui elles-mêmes génèrent des présomptions⁷ qui permettent l’émergence de conjectures, validées ou invalidées par de nouvelles actions intentionnelles : des expérimentations ; ces expérimentations-observations engendrant de nouvelles présomptions.

4.2.3 Le statut du modèle :

L’impossibilité d’ouvrir la bouteille place d’emblée l’élève dans la situation d’un observateur qui doit « noter » des phénomènes. Les objets de l’expérience sont, de fait, des objets mathématiques qui se constituent progressivement : un tirage, une série de tirages, une somme à l’intérieur d’une série de tirages, une somme de séries de tirages. Le milieu d’apprentissage est constitué de signes produits par l’expérience.

Lors de la troisième séance, les élèves commencent à travailler sur des représentations graphiques :

Voici un travail de mesurage (effectif dans notre travail et non probabiliste) du «risque»

lors d’une prise de décision en fonction du nombre de tirages.

7Nous empruntons à Pierce la signification de « présomption » : « La présomption (…) fournit à celui qui raisonne, la théorie problématique que l’induction vérifie. S’étant trouvé confronté par un phénomène différent de ce qu’il aurait pensé trouver étant donné les circonstances, il en examine les traits saillants, et y voit quelque caractère ou relation remarquable, qu’il reconnaît aussitôt comme étant caractéristique de quelques conception se trouvant déjà emmagasinée dans son esprit, de telle sorte qu’une théorie se présente qui expliquerait (c'est-à-dire, rendrait nécessaire) ce qu’il a trouvé d’étonnant dans ces phénomènes ».

Travail d’élève sur la composition 3R 2V : séries d’expériences pour 15, 25, 100, 500 tirages.

Dans le travail ci-dessus, un groupe d’élève prend comme objet d’étude un intervalle de confiance [0,5 ; 0,7]. Ce travail peut-être conduit de deux façons : avec une bouteille dont on ignore le contenu ou avec une bouteille dont on a constitué la composition. Le dispositif expérimental permet de quantifier statistiquement l’évolution du risque en fonction du nombre de tirages : ici, 9 expériences de 15 tirages sur 18 expériences « sortent » de l’intervalle et conduisent donc à une poser une hypothèse fausse (si l’on est sûr du contenu de la bouteille), 8 sur 20 conduisent à une hypothèse fausse pour 25 tirages (on a exclu les bornes) , 1 sur 20 conduit à une hypothèse fausse pour 100 tirages, aucune pour 500.

5 Les résultats des observations : les rétro-actions et l’a-didacticité comparée des situations

5.1.1 Dans la situation « des bouteilles »

La nature des rétro-actions

Comme nous l’évoquions plus haut, à la différence des situations adidactiques relatives à des familles de savoirs mathématiques à caractère déterministe, les rétro-actions ne sont pas ici de même nature. Nous mettons en évidence plusieurs aspects :

- pour qu’un élève puisse passer d’un constat à une prévision en vue d’une expérience à faire, il est nécessaire qu’il construise le concept d’expérience identique, d’expérience reproductible. En particulier, la définition d’un échantillon va dépendre de l’idée que se fait un élève d’une expérience. Qu’est ce qu’un échantillon ? Dès le début de l’expérimentation, une élève prend en compte, dans l’expérience qu’elle conduit, l’ordre d’apparition des billes :

« on trouvera deux fois le même ordre ». Progressivement cette élève va apprendre que deux résultats « RVVRVRRVVRRRVRV » et « VVRRVVVRRVRRVRR » peuvent s’égaler au résultat « 8R et 7V.

- l’invalidation ou la validation de présomptions ne sont pas systématiquement repérables tant que le sujet ne dispose justement pas encore du modèle statistique : un élève qui pense qu’il y a 3 vertes et 2 rouges dans la bouteille et qui, pour s’en assurer effectue 5 tirages et obtient 2 vertes et 3 rouges pourra, selon le modèle dont il dispose à ce moment là, produire des conclusions différentes : « j’avais tort » ou « ça ne prouve pas ». L’expérience ne renvoie pas

systématiquement à la réalité du contenu de la bouteille, ce que les élèves peuvent pourtant penser.

- Des régularités apparaissent vite : voici une présomption : « plus on fera de tirages, plus on pourra affirmer des compositions de bouteilles avec certitude ». D’autres présomptions sont plus aisées à étudier : Il est sans doute plus facile de décider à risque égal, avec moins de tirages, de la composition de 4R,1V puisque l’intervalle [0,7 ; 1[ est plus grand que l’intervalle [0,5 ; 0,7] qui permettrait de prendre le risque de décider de la composition 3R,2V.

En effet les intervalles de décision sont les suivants :

Afin de mieux expliciter ces nouveaux savoirs d’expériences, le professeur peut organiser un milieu de référence enrichi à l’aide d’un programme effectué sur un tableur : l’élève entre une composition de bouteille et demande 15, 25, 100, 500 ou 1000 tirages. Le programme propose le résultat de ces tirages avec effectif et fréquence.

À ce moment de l’expérimentation, les élèves ont donc compris l’existence de régularités malgré les aléas de l’expérience statistique. Mais effectuer un recueil de données statistiques ne constitue pas a priori une expérience construite. Nous pourrions parler tout au plus d’essais. Pour que, petit à petit s’installe l’idée d’une expérience, il va falloir que des régularités et de l’incertitude soient prises comme objet d’étude par les élèves, qu’ils conçoivent de nouvelles expériences et, qu’à terme, ils y reconnaissent une activité mathématique. C’est ce que le travail graphique des élèves que nous avons montré met en évidence.

L’a-didacticité de la situation :

Du point de vue de l’a-didacticité, nous faisons l’hypothèse que cette situation, dont le caractère d’a-didacticité est avéré, peut toutefois ne pas jouer son rôle si le professeur ne joue pas le sien et ceci pour au moins deux raisons :

- La première est que les élèves ont des difficultés à faire le lien avec une activité mathématique telle qu’ils la conçoivent (en mathématiques, on ne joue pas avec des bouteilles). Si les élèves viennent à ne pas trouver de l’intérêt dans l’activité elle-même, le professeur demande au moins un moratoire : « faites moi confiance, cela va vous servir à quelque chose »

- La seconde est que, fréquemment, les professeurs s’éloignent de la consigne initiale⁸ et s’emparent de cette situation pour la transformer en une situation empirique : les élèves commencent à construire des prévisions sur la base d’un modèle naissant (augmentation du nombre de tirages, concaténation de résultats de tirages, etc.) et la validation de leurs

8 La consigne est « de trouver un moyen pour être sûr de la composition de la bouteille ». Elle est quelquefois confondue avec « trouver la composition de la bouteille ».

Intervalle des fréquences des billes rouges

Décision à prendre

0 0 rouge et 5 vertes

]0 ;0,3] 1 rouge et 4 vertes

[0,3 ; 0,5] 2 rouges et 3 vertes [0,5 ; 0,7] 3 rouges et 2 vertes

[0,7 ; 1[ 4 rouges et 1 verte

1 5 rouges

prévisions s’effectue en ouvrant la bouteille . Cette dérive fait obstacle à la construction d’un modèle suffisamment consistant pour qu’il puisse faire prendre de bonnes décisions avec la bouteille toujours fermée.

5.2 En SVT.

Nous avons observé ce type de démarche dans la classe de Marcelle Goix, Lycée Pape Clément, Pessac (Gironde). Le professeur commence par introduire un questionnement à propos de la variation glycémique journalière. Des courbes concernant les variations de la glycémie de plusieurs individus pendant la journée ont été distribuées aux élèves. Les élèves analysent ces courbes et constatent que la glycémie, après perturbation, revient toujours à la même valeur. Ils proposent des explications faisant intervenir en particulier des organes de stockage (estomac, graisses) et le professeur propose d’étudier la question de la mobilisation des réserves en utilisant un modèle.

 Les rétroactions

Lors de l’exploitation des résultats expérimentaux, les élèves peuvent proposer d’abord plusieurs interprétations, en établissant des relations entre les données empiriques et le modèle : par exemple ils peuvent attribuer à l’intestin des fonctions différentes (effecteur, réserve, perturbateur).

Chemin faisant, ils tentent de préciser la signification de chaque fonction du système de la régulation, ce qui les conduit et les oblige à redéfinir les éléments du modèle. Ensuite, les élèves reprennent l’analyse des documents et sélectionnent des éléments permettant d‘attribuer une fonction aux différents organes concernés, en se référant au modèle.

Par exemple, la comparaison entre le taux du glucose entrant et sortant du foie (figure Y) a permis aux élèves de construire la nécessité de la rétention du glucose par le foie. En se référant au modèle, les élèves font l’hypothèse de l’existence d’une réserve de glucose dans le foie, réserve mobilisable dans la régulation de la glycémie. Ils ont ensuite recherché dans les documents des éléments concernant le stockage de glucose sous forme de glycogène et ont pu construire la nécessité d’une fonction de déstockage ou de production de glucose expliquant le rôle du foie dans la régulation de la glycémie.

C’est donc par la mise en tension entre l’analyse des résultats expérimentaux et le modèle de référence que les élèves parviennent à construire une explication.

 L’a-didacticité de la situation

Quand les élèves utilisent le dispositif proposé, leur but n’est pas de chercher à maintenir constant le niveau d’eau soumis à des perturbations (par ajout ou retrait d’une quantité d’eau) mais de parvenir à dresser la liste des opérations à réaliser pour que ce soit possible. En cela, la situation serait a-didactique mais il est probable que les élèves seraient très circonspects devant une telle activité. Elle n’a pas d’intérêt directement perceptible. Pour que le professeur n’ait pas à se justifier sur l’intérêt de cette activité, il doit fait part de son projet de construire un modèle. Les élèves savent que cet exercice sert à construire un modèle de régulation pour comprendre le maintien d’une valeur physiologique : la glycémie. En cela, la situation perd une part de son a-didacticité pour des raisons évidentes de bon fonctionnement de la classe.

Au cours des échanges ultérieurs, par un phénomène de transposition voulu par le professeur, les élèves établissent des relations entre les transferts d’eau dans le dispositif et les transferts

de glucose dans le corps (par exemple mise en réserve), ce qui témoigne de leur entrée dans une démarche de modélisation.

6 Conclusion

Dans l’activité mathématique, les milieux d’apprentissage s’appuient sur des milieux objectifs. Ils produisent des rétro-actions souvent directement compréhensibles et interprétables par l’élève et productrices de savoirs mathématiques. En SVT, le milieu d’apprentissage s’appuie sur un milieu objectif complexe qui ne renvoie pas des rétro-actions faciles à interpréter (contrairement à ce qu’en pensent les empiristes). Dans le cas de notre étude en SVT, il a donc fallu construire un milieu objectif « intermédiaire » afin que le professeur puisse installer un milieu d’apprentissage rendant plus aisé le contrôle des rétro- actions par la construction d’un modèle.

Toutefois nous avons vu que dans l’expérience des bouteilles, comparée à d’autres situations a-didactiques mathématiques plus conventionnelles [BRIAND 2007], les rétro- actions vont contredire toute interprétation déterministe. Il faut donc que les élèves construisent un nouveau modèle, stochastique celui là.

Dans les deux cas, il s’est donc agi de mettre en défaut des modèles spontanés (mécaniste en SVT, déterministe en mathématiques). C’est la construction d’un modèle résistant aux aléas des rétro-actions qui est visée.

Du point de vue de l’a-didacticité comparée, la situation des bouteilles possède a priori toutes les caractéristiques d’une situation a-didactique. La situation vue en SVT possède aussi ces caractéristiques. Une différence est toutefois perceptible : la situation mathématique peut être comprise par les élèves comme un défi alors que celle de biologie semble plus être un dispositif dont les élèves vont vite imaginer qu’il sert de prémisse à un travail autre prévu par le professeur. C’est donc la négociation, par celui-ci, de l’entrée dans l’activité qui peut être comparée : en mathématiques, il aura à convaincre les élèves à s’intéresser à ce défi, ce qui ne pose pas de problèmes en général. En SVT, le professeur a besoin d’expliquer en quoi cette situation pourra servir pour la suite. En cela nous pouvons dire que la situation en mathématiques est plus a-didactique que la situation en SVT. Est-ce une loi générale pour ces deux disciplines ? Cette question devra être approfondie sur la base de l’ensemble des corpus que nous avons réunis.

Dans ces travaux, le rôle du professeur est déterminant. En effet, l’a-didacticité de ces deux situations ne préserve pas de l’empirisme. Une mauvaise compréhension des enjeux de l’apprentissage peut, bien au contraire, conduire à cette dérive. Dans nos deux études, nous avons pu constater que le plus délicat est d’engager les élèves à « s’aventurer » dans le monde de la modélisation.

Ce travail nous a conduits à proposer une action de formation initiale commune vers les professeurs de mathématiques et de SVT. Nous avons comme objectif de faire envisager les relations entre disciplines avec un autre regard que la recherche de complémentarité et/ou de cohérence. Nous essayons de montrer comment la formation des enseignants peut ainsi les aider à se construire un autre rapport à leur discipline par une approche comparatiste du statut épistémologique des modèles.

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