D.M. Nº6 : Intégrales – Vecteurs de l'espace TS

(1)

D.M. Nº6 : Intégrales – Vecteurs de l'espace TS

A rendre le lundi 6 janvier 2014 Nom : . . .

Prénom : . . . .

Communication: + ± - Technique :  + ± - Raisonnement : + ± -

Note :

5 Rappel : La rédaction des DM doit être individuelle.

Exercice 1.

Suites définies par une intégrale 1) Prouver que pour tout entier naturel n non nul,

∑

k=1 n

k²=n(n+1)(2n+1)

6 .

2) Au moyen de la méthode des rectangles, en déduire la valeur de I=

∫

0 1

x²dx . 3) Soit (S_n) la suite définie par S_n=

∑

k=0 n−1 1

n

[

³

⁽

^kⁿ

⁾

²⁻⁵

⁽

^kⁿ

⁾

⁺²

]

^càd

S_n=1

n

[

³

⁽

⁰ⁿ

⁾

²⁻⁵

⁽

⁰ⁿ

⁾

⁺²

]

⁺¹ⁿ

[

³

⁽

¹ⁿ

⁾

²⁻⁵

⁽

¹ⁿ

⁾

⁺²

]

⁺¹ⁿ

[

³

⁽

²ⁿ

⁾

²⁻⁵

⁽

²ⁿ

⁾

⁺²

]

⁺^{. ..+}¹ⁿ

[

³

⁽

ⁿ⁻¹ⁿ

⁾

²⁻⁵

⁽

ⁿ⁻¹ⁿ

⁾

⁺²

]

^.

a) Écrire un algorithme permettant de calculer S_n pour une valeur de n choisie par l'utilisateur.

b) Que peut-on prévoir pour les valeurs fournies par cet algorithme lorsque n devient très grand ?

Mme Helme-Guizon http://mathematoques.weebly.com

(2)

Corrigé

1) On prouve la propriété par récurrence.

Notons P_n la proposition «

∑

k=1 n

k²=n(n+1)(2n+1)

6 ».

• Initialisation : Pour n =1, on a

∑

k=1 1

k²=1²=1. Par ailleurs, en remplaçant n par 1 dans le membre de droite, on a 1(1+1)(2×1+1)

6 =1 : Ces quantités sont égales donc P₁est vraie.

• Hérédité : Supposons P_n vraie pour un certain entier n⩾1 (fixé).

∑

k=1 n+1

k²=

( ^∑

k=1 n

k²

)

⁺⁽ⁿ⁺¹⁾²^{. Par}

hypothèse de récurrence, on sait que

∑

k=1 n

k²=n(n+1)(2n+1)

6 donc

∑

k=1 n+1

k²=n(n+1)(2n+1)

6 +(n+1)²=(n+1)

[

^n(2n+1)6 +(n+1)

]

⁼⁽ⁿ⁺¹⁾

[

²ⁿ²⁺⁷ⁿ⁺⁶6

]

⁼⁽ⁿ⁺¹⁾

[

(n+2)(2n+3)

6

]

et donc P_n+1 est vraie. Ainsi, la proposition P_n est héréditaire.

• Conclusion : Par le principe de récurrence, la proposition P_n est vraie pour tout entier n⩾1 . 2) On approxime l'aire I=

∫

0 1

x²dxau moyen de n rectangles de dimension 1

n sur f

(

^kn

)

⁼

(

^kn

)

², lorsque k varie entre 1 et n.

La somme des aires de ces rectangles est u_n=

∑

k=1 n 1

n f

(

^kn

)

⁼

^∑

k=1 n 1

n

(

^kn

)

²⁼n¹³

∑

k=1 n

k²=⁽ⁱ⁾ n(n+1)(2n+1)

6n³ =⁽ⁱⁱ⁾

(

¹⁺¹n

)(

²⁺¹n

)

6 (i) d'après la question 1.

(ii) en divisant le numérateur et le dénominateur par n³. Illustration avec n= 6 rectangles L'aire cherchée est lim

n→+∞

u_n=2 6=1

3 . I=

∫

0 1

x²dx=1 3 3) a) Écrire un algorithme permettant de calculer S_n pour une valeur de n choisie par l'utilisateur.

S_n=1

n

[ _⏟

³

⁽

⁰ⁿ

⁾

²⁻⁵

⁽

⁰ⁿ

⁾

⁺²

]

k=0

+1

n

[ _⏟

³

⁽

¹ⁿ

⁾

²⁻⁵

⁽

¹ⁿ

⁾

⁺²

]

k=1

+1

n

[ _⏟

³

⁽

²ⁿ

⁾

²⁻⁵

⁽

²ⁿ

⁾

⁺²

]

k=2

+...+1

n

_⏟ [

³

⁽

ⁿ⁻¹ⁿ

⁾

²⁻⁵

⁽

ⁿ⁻¹ⁿ

⁾

⁺²

]

k=n−1

Entrée

Saisir un nombre entier naturel non nul n Traitement

S prend la valeur 0 POUR k allant de 0 à n-1 S prend la valeur S+1

n

[

³

⁽

^kⁿ

⁾

²⁻⁵

⁽

^kⁿ

⁾

⁺²

]

FIN POUR Sortie Afficher S b) S_n=

∑

k=0 n−1 1

n

[

³

⁽

^kⁿ

⁾

²⁻⁵

⁽

^kⁿ

⁾

⁺²

]

⁼³

[ ^∑

^k=0ⁿ⁻¹ ¹ⁿ

⁽

^kⁿ

⁾

²

]

⁻⁵ⁿ

[ ^∑

^k=0ⁿ⁻¹

⁽

^kⁿ

⁾ ]

⁺²ⁿ

[ ^∑

^k=0ⁿ⁻¹¹

]

⁼⁽ⁱ⁾ ³^uⁿ⁻¹⁻ⁿ⁵²

[ ^∑

^k=0ⁿ⁻¹^k

]

⁺²ⁿ^×n.

S_n⁽=ⁱⁱ⁾3u_n−1−5

n²×n(n−1)

2 +2=3u_n−1−5

2×n(n−1)

n×n +2=3u_n−1−5

2×

(

¹⁻¹n

)

⁺²

(i) où (u_n) est la suite définie à la question précédente.

(ii) car

∑

k=0 n−1

k est une somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique

Comme lim

n→+∞u_n=1

3, par somme et produit, lim

n→+∞

S_n=1 3−5

2+2=−1

6 . On peut donc prévoir que pour n très grand l'algorithme donnera des valeurs proches de −1

6.

Remarque: En interprétant cette sommes par la méthode des rectangles, on a lim

n→+∞

S_n=

∫

0 1

x²−5x+2dx. Mme Helme-Guizon http://mathematoques.weebly.com

(3)

Exercice 2.

Vecteurs

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