ةيعمج ءاقدصأ تايضايرلا ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES

(1)

Corrigé de l’exercice 5 du de voir AMIMATHS 7° C 04/02/2017 par Moc tar Baba Hamdi 1

ةيعمج ءاقدصأ

تايضايرلا

ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES

Corrigé de l’exercice 5

du devoir Amimaths 7C 04/02/2017

Par Moctar Baba Hamdi

Exercice 5

Soit la f fonction définie sur par : ^{f x}

 

¹ ^x₂

1 x 1

    1° a) Dresser le tableau de variation de f .

b) Montrer que le pointI 0,1

 

est un centre de symétrie de

 

C . c) Donner une équation de la tangente

 

T à

 

C au pointI.

d) Tracer la courbe

 

C et la droite: yx dans un repère orthonormé



O ; i , j .



2° a) Montrer que fréalise une bijection de sur

 

^0,2 ^.

b) Montrer que l’expression def (x)^¹ sur

 

^0,2 ^{est :}

   

 

1

2

2 x 1 f x

1 x 1

 

   . c) Trace r la courbe

 

^C^ ^de^f^¹dans le repère précédent.

3° On considè re la fonction gdéfinie sur 0, 2

 

 

  par^{g x}

  

^^{f tanx}



^pour^x ^0,

2

 

 et

g 2

2

  

   .

a) Montrer quegest continue sur 0, 2

 

 

 . b) Montrer que l’expression de gsur 0,

2

 

 

  est : ^{g x}

 

¹ ^sinx

1 cosx

   . c) Montrer quegréalise une bijection de 0,

2

 

 

  sur un intervalle à déterminer.

d) Montrer queg^¹est dérivable sur

 

^1,2 ^{et que}

 

¹

^{ } _ _

2

g x 2

1 x 1

  

  . e) Montrer que^{ }^x

 

^1,2 g ¹

 

x g¹ ²

x 2

      . 4° On pose pour toutn ^,

n 1 n

k 0

u g 1 1 n k





 





   ^et^vⁿ ^_{n 1}^u_ⁿ ^.

a) Montrer que pour toutn ^,g ¹ 1 ¹ g¹ 1 ¹ g¹ 1 ¹

2n n k n

            . En déduire que

 

vn est convergente et donne r sa limite.

b) Soit ⁿ 1

 

n

k 0

2 n k

t 1 g

n 1 1 n k





  

 



   . Déduire que

 

tn est convergente et donne r sa limite.

(2)

Corrigé de l’exercice 5 du de voir AMIMATHS 7° C 04/02/2017 par Moc tar Baba Hamdi 2 Corrigé

est la fonction définie sur par :

1. Etude des variations de :

- Limites aux bornes de :

- Calcul de la dérivée : est dérivable sur et :

(3)

Corrigé de l’exercice 5 du de voir AMIMATHS 7° C 04/02/2017 par Moc tar Baba Hamdi 3 - Tableau de variation de :

b) Montrons que le point est un centre de symétrie de :

Donc le point est un centre de symétrie de .

c) Equation de la tangente à en :

d) Tracé de et de la droite :

(4)

Corrigé de l’exercice 5 du de voir AMIMATHS 7° C 04/02/2017 par Moc tar Baba Hamdi 4 2. a) Montrons que réalise une bijection de sur :

est continue et stricte ment croissante sur , donc elle réalise une bijection de sur .

b) Montrons que l’expression de sur est :

Soit alors il existe un unique tel que

Ainsi :

c) Tracé de la courbe de :

Voir figure.

3.

a) Montrons que est continue sur : - Continuité sur

La fonction est continue sur à valeurs dans , et la fonction est continue sur . Donc est continue sur .

- Continuité à gauche en : On a :

Donc est continue à gauche en .

(5)

Corrigé de l’exercice 5 du de voir AMIMATHS 7° C 04/02/2017 par Moc tar Baba Hamdi 5 Ainsi est continue sur .

b) Montrons que l’expression de sur est :

On a :

Et :

D’où :

c) Montrons que réalise une bijection de sur un intervalle que l’on déterminera : est dérivable sur (car son dénominateur ne s’annule pas sur cet

intervalle), et :

D’où est continue et stricte ment croissante sur , donc elle réalise une bijection de sur l’intervalle .

d) Montrons que est dérivable sur et que

est dérivable sur et :

Donc est dérivable sur et :

Or :

D’où :

(6)

e) Montrons que

On sait que : . On définie, donc, sur la fonction par :

Comme la fonction est dérivable sur à valeurs dans et est dérivable sur , alors est dérivable et :

Donc est constante sur , d’où :

Ainsi :

4. On pose :

a) Montrons que :

On a :

Donc

(domaine de définition de ) et :

Car est croissante sur .

Déduisons que est convergente et calculons sa limite : On a :

(7)

Or :

Et est continue en , alors :

Donc, par encadrement, est convergente et :

d) Déduisons que est convergente et calculons sa limite avec :

On a :

Or :

Donc est convergente et :