Communication Num´erique

(1)

Communication Num´ erique

DSP th´eorique des codes en ligne

Yoann Morel

http://xymaths.free.fr/index.php?subdir=Signal

(2)

Communication Num´erique

1 Formule de Bennet

2 Code unipolaire NRZ

3 Code polaire NRZ

4 Code unipolaire RZ

5 Code polaire RZ

6 Code Manchester

7 Code AMI

(3)

Communication Num´erique Formule de Bennet

1 Formule de Bennet

3 Code polaire NRZ

5 Code polaire RZ

6 Code Manchester

7 Code AMI

(4)

Communication Num´erique Formule de Bennet

Soitx(t) =g(t)∗a(t) un signal cod´e en ligne, avec a(t) =X

k

αkδ(t−kT), et donc,x(t) =X

k

αkg(t−kT).

DSP(x)(f) =DSP(g)(f)×γa(f) o`u,

γa(f) = σ_a² T + α²

T²Π_1/T(f) + 2 T

∞

X

n=1

Γα(n) cos(2πnf T) avec les caract´eristiques statistiques de la suite(α_k) :











Moyenne : α=E(αk)

Variance : σ_α² =Var(α_k) =E(α²_k)−α² =α²−α² Auto-corr´elation : Rαα(n) =E(αkαk+n) = Γα(n) +α²

(5)

Communication Num´erique Code unipolaire NRZ

1 Formule de Bennet

3 Code polaire NRZ

5 Code polaire RZ

6 Code Manchester

7 Code AMI

(6)

Communication Num´erique Code unipolaire NRZ

DSP du code unipolaire NRZ

g(t) =VRectT_b(t) =⇒ |bg(f)|²=V²T²sinc²(f Tb)

α_k∈ {0; 1}, donc,









 α= ¹₂

σ²_α=α²−α²= ¹₂ − ¹₂2

= ¹₄ Γ_α(k) = 0 ; ∀k≥1

D’o`u,

DSP(f) = V²T

4 sinc²(f T_b) +V²

4 sinc²(f T_b) Π_1/T_b(f) Or, sinc(f Tb) = 0⇐⇒f = k

T_b,∀k∈IN^∗ d’o`u, finalement,

DSP(f) = V²T

4 sinc²(f T_b) +V² 4 δ(f)

(7)

Communication Num´erique Code polaire NRZ

1 Formule de Bennet

3 Code polaire NRZ

5 Code polaire RZ

6 Code Manchester

7 Code AMI

(8)

Communication Num´erique Code polaire NRZ

DSP du code polaire NRZ

g(t) =VRectT_b(t) =⇒ |bg(f)|²=V²T²sinc²(f T_b)

αk ∈ {−1; 1}, donc,





 α = 0

σ²_α=α²−α²= 1−0 = 1 Γα(k) = 0 ; ∀k≥1 d’o`u,

DSP(f) =V²Tsinc²(f T_b)

(9)

Communication Num´erique Code unipolaire RZ

1 Formule de Bennet

3 Code polaire NRZ

5 Code polaire RZ

6 Code Manchester

7 Code AMI

(10)

DSP du code unipolaire RZ

g(t) =VRect_T_b_/2(t) =⇒ |bg(f)|²= V²T² 4 sinc²

f T_b 2

αk∈ {0; 1}, donc,









 α= ¹₂

σ²_α=α²−α²= ¹₂ − ¹₂2

= ¹₄ Γα(k) = 0 ; ∀k≥1

D’o`u,

DSP(f) = V²T 16 sinc²

f T_b 2

+V²

16sinc² f T_b

2

Π_1/T_b(f)

(11)

DSP du code unipolaire RZ

Or, sinc f Tb

2

=











1 si f = 0 0 si f = 2k

T_b , ∀k∈IN^∗ (−1)^k

kπ+ 1/2 si f = 2k+ 1 Tb

, ∀k∈IN^∗ d’o`u, finalement,

f T_b 2

+V²

16sinc² f T_b

2

Π_1/T_b(f)

= V²T 16 sinc²

f Tb

2

+V² 16

X

k≥1

1 (kπ+ 1/2)²δ

f−2k+ 1 T_b

(12)

Communication Num´erique Code polaire RZ

1 Formule de Bennet

3 Code polaire NRZ

5 Code polaire RZ

6 Code Manchester

7 Code AMI

(13)

Communication Num´erique Code polaire RZ

DSP du code polaire RZ

g(t) =VRect_T_b_/2(t) =⇒ |bg(f)|²= V²T² 4 sinc²

f Tb

2

α_k∈ {−1; 0; 1}, donc,





 α= 0

σ_α² =α²−α² = ¹₂

Γα(1) =−¹₄ ; Γα(k) = 0 ; ∀k≥2 d’o`u,

f Tb

2

−V²T² 8 sinc²

f Tb

2

cos(2πf Tb)

= V²T 8 sinc²

f T_b 2

h

1−cos(2πf T_b)i et finalement,

f T_b 2

sin²(πf T_b)

(14)

Communication Num´erique Code Manchester

1 Formule de Bennet

3 Code polaire NRZ

5 Code polaire RZ

6 Code Manchester

7 Code AMI

(15)

Communication Num´erique Code Manchester

DSP du code Manchester

g(t) =VRect_T_b_/4(t+T /2) +VRect_T_b_/4(t−T /2)

=⇒ |g(fb )|² =V²T² sin²

πf Tb

2

πf Tb/2

αk∈ {−1; 1}, donc,





 α= 0

σ_α² =α²−α² = 1 Γα(1) = 0 , ∀k≥1 et finalement,

DSP(f) =V²T sin⁴

πf Tb

2

(πf Tb/2)²

(16)

Communication Num´erique Code AMI

1 Formule de Bennet

3 Code polaire NRZ

5 Code polaire RZ

6 Code Manchester

7 Code AMI

(17)

Communication Num´erique Code AMI

DSP du code AMI

g(t) =VRectT_b(t) =⇒ |bg(f)|²=V²T²sinc²(f Tb)

αk∈ {−1; 0; 1}, donc,









 α= 0

σ_α² =α²−α² = ¹₂

Γ_α(1) =−¹₄; Γ_α(k) = 0 ∀k≥2 D’o`u,

DSP(f) = V²T

2 sinc²(f T_b)− V²T

2 sinc²(f T_b) cos(πf T_b)

= V²T

2 sinc²(f T_b) [1−cos(πf T_b)]

d’o`u, finalement,

DSP(f) =V²Tsin⁴(πf T_b) (πf T_b)²)