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la résonance magnétique nucléaire

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Le formalisme du spin ½ et

la résonance magnétique nucléaire

Chapitre 12

N’oubliez pas de rendre à la scolarité votre choix PHY432 A ou B !!!

Relation entre moment cinétique et moment magnétique

Un modèle classique d'atome conduit à la relation

-q, me q

On peut montrer, en utilisant l'invariance par rotation de la théorie, qu'une relation similaire est valable en mécanique quantique.

Dans un sous-espace propre de , on a :

Une impasse intellectuelle ?

Expérience de Stern et Gerlach, mesure deµz: deux résultats±µ0

Mesure deµz= mesure deJzsi µ γˆ = Jˆ

Si on se limite au moment cinétique orbital , seules les valeurs entières dej=lsont permises

Comment comprendre l’existence d’atomes « à deux taches » ?

ˆ ˆ ˆ ˆ

J = = ×L r p

{ }

/ , 1,...,

z Lz l l l

µ ∈ − − +

1.

Le spin de l'électron Uhlenbeck & Goudsmit (1925)

George Uhlenbeck

Samuel Goudsmit

(2)

Lorentz et Uhlenbeck

Et la relativité, mon cher ?

Si l'électron était une charge étendue...

Modèle classique de l'électron : interprétation de l'énergie de masse mec2comme l'énergie électrostatique d'une boule de rayon rc

2 2

e 4 0 c

m c q

πε r

2

0 e 2

c 4 q

r πε m c

Moment cinétique de cette boule en rotation : 1 2 2 e c J m r ω

2

Vitesse équatoriale de la boule : equat 4 20

c c c

v r c

q ω πε

= =α

2 0

1

4 137

q α c

= πε constante de

structure fine vequat 137c !!!

(3 10-15m)

2.

La description complète d'une particule quantique

Particule de spin 0 exemple : méson π

2 3

externe ( )

E=E =L R ψ( )t ou ψ( , )r t

Particule de spin 1/2 exemples : électron, proton, neutron

externe spin

E=E E Eexterne =L R2( 3) Espin :

{

+ −,

}

ψ+ ψ

Ψ = ⊗ + + ⊗ − ( )

( ) r r ψ ψ+

ou

Analogue à la description trouvée pour l'exp. de Stern & Gerlach

Particule de spin squelconque

spins=1, 3/2, … Espinde dimension2s+1

(3)

autre notation :

Une simplification importante: états non corrélés

avec

probabilité de trouver la particule dans l’état de spin

indépendant du point

densité de probabilité pour trouver la particule en

indépendant de l’état de spin

3.

Le moment magnétique de spin et la précession de Larmor

ˆ S ˆ

µ γ =

γ: rapport gyromagnétique

Spin ½ dans un champ magnétique uniforme

avec

On s’intéresse à un état initial non corrélé On cherche

Cet état reste non corrélé lors de l’évolution:

Dans la suite, on va s’intéresser uniquement à la dynamique du spin, donnée par l’évolution des coefficients

énergies cinétique + potentielle

Couplage magnétique :

Evolution de l’état de spin si

On pose

(4)

La précession de Larmor

Moment magnétique moyen : Evolution du spin :

Le cas particulier de l'électron

Hypothèse d'Uhlenbeck & Goudsmit :

Le moment magnétique s'interprète comme

soit

et pas comme on le penserait classiquement :

soit

2 e

q

m

e 2

q m

− ×

e

q γ = m

2 e

q m

− ×

2 e

q γ = m

Le cas particulier de l'électron (2)

Mouvement dans un champ magnétique : F= −( q v B) ×

mouvement circulaire uniforme dans le plan xyà la fréquence cyclotron

0 c qBe

ω = m

0 z

B B e=

Précession de Larmor du moment magnétique :

0 0 0

e

B qB

ω = −γ = m si on croit U. & G.

Synchronisme des deux mouvements !

0

ωc =ω

0 z

B B e= µ

Le synchronisme du mouvement cyclotron et de Larmor

Mesure expérimentale très précise : 0 1,001 159 652 193 (10)

c

ω ω =

Prédiction théorique, prenant en compte le couplage de l'électron au champ électromagnétique quantifié : 0 1,001 159 652 200 (40)

c

ω ω =

e

(1 )

q a

γ =m + avec 0,001 159 ...

a 2α

= π

(5)

Le cas du proton et du neutron

Particules de spin ½

p p pS

µ =γ avec p

p

2.79 q γ m

n n nS

µ =γ avec n

n

1.91 q γ m proton :

neutron :

Valeurs éloignées de la prédiction pour une particule ponctuelle

ce sont des particules composites ...

q γ =m

4.

La résonance magnétique nucléaire

Mesure précise du moment magnétique pour un noyauµ γˆ = Sˆ

Buts d'une expérience de R.M.N.

Mesurer le nombre de noyaux d'une espèce donnée dans un échantillon γ(proton) ≠γ(phosphore) ≠γ(sodium)

Déterminer la molécule dans laquelle le noyau intervient γ(proton 1) ≠γ(proton 2)

γ(proton 3)

C C H

H

H

H H

H

O

protons 1 protons 2

proton 3

Mesurer la position du noyau dans l'échantillon : imagerie

La RMN en pratique

Champ B0important : de 1 à 10 Teslas

Noyau ω0/ 2π

H 42,57 MHz

31P 17,24 MHz

23Na 11,26 MHz Pour 1 Tesla :

(6)

Préparation de l'état initial

Il est en général impossible de préparer tous les noyaux d'un échantillon liquide ou solide dans l'état +

L'équilibre thermique entraîne une légère différence de population :

+

ω0 0

B

exp k T

ω

+

Π =

Π

0 / 2 60 MHz ω π =

T = 300 Kelvins

0 5

B

k T 10

ω

=

50,00025 % dans et 49,99975 % dans+

Evolution des spins

A l'instant initial : ω0

On suppose que l'onde tournante est résonnante : A l'instant t1/ ω1,

on trouve :

Pour l'assemblée de spins : gain d'énergie :

perte d'énergie :

N+ ω0

N ω0

bilan : gain net d'énergie de

(N+N) ω0

Cette énergie est fournie par l'onde tournante

Le retour vers l'équilibre thermodynamique

A l'instantt = π/ω1, le système n'est pas à l'équilibre thermodynamique Le temps caractéristique de retour à l'équilibre Trvarie de 100 microsecondes à 1 seconde suivant le milieu.

Bon choix : r

1

T π

ω

absorption de l'onde tournante

ωfixe

0 B0

ω = −γ H

31P

23Na

Deux expériences historiques

Bloch 1945 Purcell 1945

molécule d'éthanol CH3CH2OH

B0 absorption

de l'onde tournante

CH3

CH2 OH détection du proton de H Proton de H2O

(7)

La RMN en biologie : détection du phosphore

Contrainte importante : si la RMN est utilisée à des fins d'analyse, il faut que le champ B0soit homogène sur toute l'étendue de l'échantillon

Absorption

∆B0/ B0

0 10-5 2 10-5

Phosphate inorganique

Adénosine diphosphate (ADP)

Adénosine triphosphate (ATP)

La RMN en médecine

On regarde les protons de l'eau, en utilisant le fait que la teneur en eau d'une cellule malade est différente de celle d'une cellule saine.

On utilise des gradients de champ magnétique B0, ce qui permet des coupes dans des plans donnés.

Appareils chers : 3 M€

On reconstruit ensuite par ordinateur des images 3D.

1946 : Bloch & Purcell (physique) 1991 : Ernst (chimie)

2002 : Wüthrich (chimie)

2003 : Lauterbur & Mansfield (médecine) Prix Nobel pour la RMN

Imagerie fonctionnelle

(8)

Films à l'adresse :

http://white.stanford.edu/~heeger/fmri-demos/V1MTmovie.html http://www.news.wisc.edu/packages/emotion/index.msql?get=media

Références

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