Contrôle en temps optimal et nage à bas nombre de Reynolds

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Submitted on 15 Mar 2013

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Jérôme Lohéac

To cite this version:

Jérôme Lohéac. Contrôle en temps optimal et nage à bas nombre de Reynolds. Optimisation et

contrôle [math.OC]. Université de Lorraine, 2012. Français. �NNT : 2012LORR0336�. �tel-01749662v2�

Université de Lorraine

ÉoleDotorale IAEM

D.F.D.Mathématiques

Contrle en temps optimal et

nage à bas nombre de Reynolds

THÈSE

présentée pour l'obtention dugrade de

Doteur de l'Université de Lorraine

Spéialité : Mathématiques

par

Jérme Lohéa

Soutenue publiquement le6déembre2012

devant lejuryomposéde :

EmmanuelMaitre Professeur,ÉoleNationaleSupérieured'In-

formatiqueetdeMathématiquesAppliquées

deGrenoble

Président dujury

Antonio DeSimone Professeur,Suola Internazionale Superiore

diStudiAvanzati

Rapporteur

EmmanuelTrélat Professeur,UniversitéPierre-et-Marie-Curie Rapporteur

Olivier Glass Professeur,UniversitéParis-Dauphine Examinateur

Alexandre Munnier Maître de onférenes, Université de Lor-

raine

Examinateur

Jean-PierreRaymond Professeur, Université Paul-Sabatier, Tou-

louse

Examinateur

Jean-FrançoisSheid Maître de onférenes, Université de Lor-

raine

Co-direteur dethèse

MariusTusnak Professeur,UniversitédeLorraine Direteurde thèse

InstitutÉlieCartanNany,LaboratoiredeMathématiques,BP239,

nage à bas nombre de Reynolds

Time optimal ontrol and

low Reynolds number swimming

Jérme Lohéa

∗

∗

Institut Élie Cartan

UMR 7502, INRIA,Nany-Université, CNRS,

POB239, 54506 Vand÷uvre-lès-Nany Cedex, Frane

loheaien.u-nany.fr

Avant tout,je tiensà remerierMarius Tusnak etJean-FrançoisSheidquiont dirigé

ette thèse. Meri à eux de m'avoir guidé dans le domaine de la reherhe. Je remerie

Marius Tusnak pour m'avoir initié à la théorie du ontrle et je remerie Jean-François

Sheidpour l'ouverture sur ledomaine de lasimulation numérique qu'il m'a apportée. Je

les remerie aussi pour leur patiene à mon égard et la pertinene de leurs questions sur

montravail.

Ma gratitudevaà AntonioDeSimone etEmmanuelTrélat pour m'avoirfait l'honneur

derapporter ette thèse.

Je remerie haleureusement Olivier Glass, Emmanuel Maitre, Alexandre Munnier et

Jean-Pierre Raymond pour leur partiipation à mon jury. Je remierie partiulièrement

Emmanuel Maitre pour avoirprésidé monjuryde thèse.

Dans eparagraphe, jene pourrais oublierderemerier lesmembresde l'institut Élie-

Cartanpourleuraueilhaleureuxetleuronvivialité.Parmieux,jeremeriespéialement

les membres de l'équipe EDP, tout partiulièrement, Mathieu Barandon, Bruno Pinçon,

KarimRamdami,Lionel Rosier,MarioSigalotti (quiamaintenant quittél'IECN)etTakéo

Takahashi pour les oursqu'ilsont dispensés.

Je remerie aussiThomas Chambrion, SorinMiu(deCraiova),Alexandre Munnieret

Jean-ClaudeVivaldapourlesdisussionsfrutueusesquenousavonseuessurlesproblèmes

deontrle renontrés.

J'enproteaussipourremerierlesmembresduprojetFLAMENCO,toutpartiulièrement

Mar Junger, pour les disussions instrutives que nousavons eues surle problème de la

natation pluspréisément sur toute quiest liéà laréalisation pratique d'unnageur.

Mais aussi, que serait l'IECN sans ses dotorants? Un grand meri don à tous les

dotorants que j'ai roisés pendant mon séjour à Nany. Je pense bien sûr à Antoine,

Armand, Arnaud, Giselain, Ibrahim, Julie, Julien, Li, Luas, Mikael pour eux qui sont

enoreà l'IECN. Je remerie aussiBertrand,Eria, Niou,Pauline, Yuning pour euxqui

m'ont aueillilorsdemonarrivée àNany.Meriaussiauxpetitsloupsdurepasde midi,

les Gérémy's, les Mohamed's, Paul le vosgien etmeri à mon o-bureau... non, je ne t'ai

pasoublié,Romain, lemaîtredesgifs!

Meri à tous pour les bonsmoments passésensemble, notamment lors de es pauses afé

interminables!

Mais je remerie aussi les professeurs qui m'ont initié au monde des mathématiques,

mesenseignantsdelassepréparatoire,JMFetM. Mihel,puiseuxroisésàl'ENSIMAG

et à la faulté de Grenoble 1, en partiulier J. Étienne, T. Gallay, E. Maitre, V.Perrier,

P. Saramito... Sansoublier euxroisés à l'antennebretonne de l'ENS de Cahan,A.De-

busshe, M. Pierre,G. Vial...

Merià touspour esours instrutifsetpassionnants quevousavez donnés.

J'en proteaussipour remerierles personnesnonmathématiiennes quej'ai fréquen-

téesdurant es troisannées.

En partiulier, je remerie les membres du erle d'esrime de Vand÷uvre qui m'ont

aueilli en leur sein. Il ya bien sûr les Maîtres Lilianne, Gérard et Pasal mais aussiles

adversaires.

Je penseaussiauxmembre del'aéro-lub AlbertMangeot, notre hef piloteStéphane,

notreprésident Jojo,ainsiqueles autres vélivoles.

Même siespersonnesn'ont pasontribué à montravail de thèse,les fréquentera été

don tout partiulièrement mes parents, pour leur soutien et leur onane permanents

qui ont débutédès maplus tendreenfane etqui sesont poursuivis tout aulong de ette

thèse.

Cette thèseest diviséeen deuxparties, le ldireteur étant laontrlabilité en temps

optimal.

Danslapremière partie,aprèsunrappelduprinipe dumaximumdePontryagindans

leasdessystèmesdedimension nie,nousmettrons en÷uvree prinipesurlaasd'un

intégrateur non-holonome onnu sous le nom de système de Brokett pour lequel nous

imposons des ontraintes sur l'état. La diulté de ette étude provient du fait que l'on

onsidèreun problèmede ontrle ave desontraintes surl'état.

Après et exemple, nous nous intéressons à une extension du prinipe du maximum de

Pontryagin au as des systèmes de dimension innie. Plus préisément, l'extension que

nous onsidérons s'applique au as de systèmes exatement ontrlables en tout temps.

Typiquement,erésultats'appliqueàl'équationdeShrödingeraveontrleinterne.Pour

de tels systèmes, sous une ondition de ontrlabilité approhée, depuis un ensemble de

temps nonnégligeable, nousmontrons l'existene d'unontrle bang-bang.

Danslaseondepartie,nousétudionsleproblèmedelanageàbasnombredeReynolds.

Une modélisation physique onvenable nous permet de le formaliser omme un problème

deontrle.

Nousobtenons alors un résultatde ontrlabilité sur e problème. Pluspréisément, nous

montrons que quelque soit la forme du nageur, elui-i peutse déformerlégèrement pour

suivreune trajetoireimposée.

Nous étudions ensuite le as d'un nageur à symétrie axiale. Les résultats de la première

partie permettent alors lareherhe d'unontrle en temps optimal.

Mots lefs : équations de Stokes, interation uide-struture, ontrlabilité, ontrlabilité en

tempsoptimal, ontrlegéométrique,prinipedumaximumdePontryagin,système deBrokett,

intégrateurnon-holonome,ontrlebang-bang,équationdeShrödinger.

Abstrat

Thisthesisis dividedintwoparts.Themain toolofthis workistimeoptimal ontrol.

WerstonsiderthePontryaginmaximumpriniple forontrolsystemofnitedimen-

sion. After that, we give an appliation of this priniple for theBrokett integrator with

state onstraints.

Then, we study an extension of the Pontryagin maximum priniple in thease of innite

dimensional systems. More preisely, this extension onerns the ase of exatly ontrol-

lablesystemsinanytime.Forinstane,thisan betheShrödinger equationwithinternal

ontrol. Espeially undersome ondition of approximate ontrollability, we an show the

existeneof abang-bang ontroldened on a timesetof positive measure.

In the seond part, we study the problem of swimming at low Reynolds number. A

onvenient physial modelallows usto formulate itunder theformof aontrol problem.

We then get a ontrollability result on this problem. More preisely, we will show that

whateverthe shapeof theswimmer is, theswimmer an slightlymodify itsshape inorder

to steer anypresribed trajetory.

To omplete this part, we onsider thease of an axi-symmetri swimmer.The results of

therstpart allow us tond an optimaltimeontrol.

Key words

:

bang-bangontrol,Shrödingerequation.

Introdution générale v

Notations xi

I Quelques ontributions à la théorie du ontrle en temps optimal 1

1 Introdution 5

1.1 Rappels surlaontrlabilité en dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Méthodedes rohets de Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Méthodedu retour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Existened'unontrle optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Casgénéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 Caslinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Calulnumérique desontrlesoptimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Lesméthodesdetir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2 Méthodesdiretes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Étude d'un système bilinéaire en dimension nie 17 2.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Résultatsde ontrlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Propriétés préliminaires delasolution optimale . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Prinipe dumaximumde Pontryagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Solutionoptimale ave un ontrle de dimensiondeux . . . . . . . . . . . . 29

2.6 Solutionoptimale ave un ontrle de dimension

n

2.7 Conlusionetperspetives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Cas de la dimension innie 43 3.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Opérateursde ontrle etd'observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Contrlabilité etobservabilité endimension innie . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.1 Quelquesnotions de ontrlabilité endimension innie . . . . . . . . 46

3.3.2 Notionsd'observabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.3 Résultatde dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.4 L'espae

R

3.4 Résultatsprinipaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4.1 Résultatd'existene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4.2 Prinipe dumaximumde Pontryagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4.3 Caratère bang-bangdesontrles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5 Appliation àl'équation de Shrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5.1 Lemmes deontinuation unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5.2 Résultat pour l'équationde Shrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6 Conlusionetquestionsouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

II Nage à bas nombre de Reynolds 63 4 Introdution 67 5 Modélisation 69 5.1 Équations duuide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2 Équations dunageur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3 Passage envariables adimensionnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4 Le asdesmiro-organismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6 Rappels sur le problème de Stokes 81 6.1 Équations de Stokesen domaine extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2 Changement devariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.2.1 Déformations dudomaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.2.2 Problème deStokesdansledomaine déformé . . . . . . . . . . . . . 83

6.2.3 Régularité par rapportau domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.3 Solutionen oordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7 Le problème de ontrle 93 7.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.1.1 Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.1.2 Changements de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.1.3 Le uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.1.4 Dynamique duproblème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.1.5 Existene etstabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.1.6 Contraintes d'autopropulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.2 Signature du nageur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.2.1 Formulationdu problèmeen terme de signatures . . . . . . . . . . . 103

7.2.2 Résultats de plongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.2.3 Analyse desmatries

M

(s)

N

(s)

7.3 Problème deontrle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.3.1 Signature d'unnageur ontrlable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.3.2 Constrution d'unesignature ontrlable . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.4 Résultats de ontrlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8 Cas de la nage en symétrie axiale 119 8.1 Résultats de ontrlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.1.1 Système dansleasd'une symétrieaxiale . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.1.2 Contrlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.1.3 Contrlabilité entemps optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8.2 Problème approhé etontrle en temps optimal . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.3 Expérimentation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.3.1 Approximation duproblème deStokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.3.2 Reherhe d'unontrle en temps optimal . . . . . . . . . . . . . . . 133

Conlusion et perspetives sur le problème de la nage 141

Dans ette thèse, nous nous sommes intéressés à la ontrlabilité et la ontrlabilité

en temps optimal pour ertains problèmes issus de laphysique. Plus partiulièrement, on

onsidèredeuxtypesdeproblème;lepremierestformédeséquations deShrödingeretle

seond estelui modélisant lanage des miro-organismes. Ce dernierproblème seramène

àun problèmeen dimension nie.

Nous avons hoisi de diviser ette thèse en deux parties. En eet, même si les deux

partiesque nousavonsonsidéréesne sont pasomplètement indépendantes, la letureet

laompréhensionde l'une peutsefaire sansl'aide del'autre.

La première partie est dédiée à l'étude du prinipe du maximum de Pontryagin. En

partiulier, nousdonnerons une extension dee prinipe au asde systèmesde dimension

innie(pour dessystèmes dutypeShrödinger) etnousdonneronsun exemplenon trivial

d'appliationdeeprinipeauasd'unsystèmededimensionnieprovenant duproblème

dela nage.

La seonde partie reprendun desobjetifsinitiauxde ette thèse,'est-à-dire:

Lanatation desmiro-organismes est-ellepossible?

Pour répondreà ette question,nous avonsmodélisé le problème sousla forme d'un pro-

blème de ontrle. Le ontrle étant la déformation du nageur et la variable à ontrler

étant saposition.

Nousdonnons i-dessusune introdution détailléepourhaunede esdeux parties.

PartieI:Quelques ontributions àla théoriedu ontrleen temps optimal

Dans ette partie, nousnousintéressonsà un problème deontrle optimal. Plus pré-

isément, nous regardons le problème de ontrle en temps optimal qui se formule de la

manièresuivante :

Problème. Trouverletemps minimal

T

> 0

˙

z = f (z, u) , z(0) = z

,

ave

u

l'étatnalest imposé:

z(T

) = z

lesontraintessur leontrle :

u(t) ∈ U

t ∈ [0, T

]

lesontraintessur l'état:

z(t) ∈ K

t ∈ [0, T

]

Les données de e problème sont la fontion

f

z

z

U

K