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Submitted on 15 Jan 2020
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To cite this version:
Badre Sahnoun, Benjamin Remy, Vincent Schick, Antoine Lopez, Romuald Guilbaut. Modélisation
et simulation du transfert thermique verre-moule dans un procédé de soufflage verrier. Congrès de la
Société Française de thermique, Jun 2019, Nantes, France. �hal-02441357�
Modélisation et simulation du transfert thermique verre-moule dans un procédé de soufflage verrier
Badre SAHNOUN 1,2,* , Benjamin REMY 1 , Vincent SCHICK 1 , Antoine LOPEZ 2 , Romuald GUILBAUT 2
1 LEMTA, Université de Lorraine
2 Avenue de la forêt de Haye – 54 504 Vandœuvre-Lès-Nancy
2 Pochet du Courval Usine de Guimerville-BP 38 – 76 340 Blangy-sur-Bresle
*
(auteur correspondant : badre.sahnoun@univ-lorraine.fr)
Résumé - Afin de simuler la thermique des moules verriers utilisés dans l’industrie pour fabriquer des flacons de parfum et mieux comprendre les phénomènes de transferts thermiques lors du refroidissement de la pâte de verre au contact avec les moules de formage, on souhaite identifier l’impédance thermique reliant le flux de paroi à la température de paroi via un modèle convolutif ou paramétrique de type ARX. Ces modèles permettant de décrire le transfert de chaleur à l’interface verre-moule sont identifiés à partir de données expérimentales. On s’intéresse tout d’abord à la modélisation thermique d’un moule verrier via un modèle numérique 1D, puis on l’élargira à un modèle 3D modélisant le moule réel.
1. Introduction
Cette étude est menée en étroite collaboration avec le Groupe POCHET, spécialiste dans le flaconnage haut de gamme. Ce travail a pour but de proposer des modèles permettant de décrire les transferts thermiques dans les moules verriers lors de la mise en forme des flacons par soufflage automatique. Pour modéliser les transferts de chaleur transitoires verre-moule lors des différentes phases de remplissage d’un moule, on propose d’utiliser une approche basée sur la notion d’impédance thermique qui passe par l’estimation de la température et du flux de paroi sur la surface interne du moule et l’utilisation de modèles soit convolutifs soit paramétriques de type ARX (à structure autorégressive) que nous présenterons et comparerons.
1.1 Les différentes phases thermiques du remplissage des moules verriers
L’opération de mise en forme des flacons se fait en deux étapes, tout d’abord via un moule ébaucheur, puis un moule finisseur. Dans chacun des moules, la pâte de verre subit un façonnage en quatre phases, comme décrit en figure 1 d’une durée totale d’environ 7s. Dans cet article, nous allons présenter nos résultats de modélisation et de simulation du contact verre-moule lors de la mise en forme du verre dans le moule ébaucheur, en prenant en compte les spécificités de chaque phase (phase avant perçage, phase de perçage, phase d’ouverture et phase d’attente de la goutte).
Figure 1 : Les quatre différentes phases thermiques lors du remplissage du moule
1.2 Prise en compte du couplage fluide-paroi par impédance thermique (modèle convolutif) Classiquement, le transfert de chaleur entre un fluide et une paroi solide est représenté par un coefficient d’échange constant et uniforme via la loi de Newton :
= !"#$ % $ & ' (1) ( et $ désignent respectivement le flux et la température de paroi du moule et $ & la
température à l’infini du fluide (température de référence). Dans notre cas, cette température de référence correspond soit à la température de goutte $ ) pour les phases 1 et 2, soit à la température de l’air dans le moule pour les phases 3 et 4. Compte-tenu des transitoires rapides des différentes phases lors du remplissage du moule, l’introduction d’un coefficient d’échange variable en temps est nécessaire. Cependant, cette représentation est loin d’être idéale car comme il a été montré en [1]. En effet, ce coefficient d’échange dépend fortement des conditions aux limites thermiques et n’est donc pas intrinsèque au système. Par analogie électrique et extension de la loi d’Ohm au régime transitoire qui dans l’espace de Laplace s’écrit :
*+,-./ = 01-./2 31-./ 4 *+ -5/ = 0 -5/63-5/ (2) ( +,-./ et 31-./# représentent les transformées de Laplace de la tension et du courant et 01-./
l’impédance du circuit qui dépend de la variable de Laplace .)
On montre alors qu’il existe dans l’espace réel en temps une impédance 0 -5/ qui relie *+ -5/ et 3-5/ par un produit de convolution. Par analogie, on peut ainsi introduire une impédance thermique qui relie *$ -5/ et ( -5/ par un produit de convolution :
*$ -5/ = 0 78 -5/6( -5/ (3)
C’est cette approche que nous proposons d’utiliser dans ce travail pour modéliser le contact moule/verre. En effet, comme démontré en [1], cette impédance présente l’avantage d’être indépendante des conditions aux limites. En revanche, comme elle dépend de la configuration du système, il sera nécessaire d’identifier une impédance pour chacune des quatre phases du remplissage du moule telles que décrites sur la Figure 1.
2. Estimation de l’impédance thermique !" (!)#pour modéliser les transferts de chaleur moule/verre
Nous avons choisi ici une approche expérimentale. Comme indiqué dans la relation (3), pour pourvoir identifier l’impédance thermique !" (#), il est nécessaire de connaitre $ % (#) et & % (#) . Ces grandeurs étant difficiles d’accès du point de vue expérimental, nous avons utilisé une méthode inverse permettant de remonter à ces deux grandeurs via la mesure par thermocouples de deux températures notées $ ' et $ * internes à la paroi du moule. Nous présenterons tout d’abord la méthode permettant de remonter à $ % (#) et & % (#) à partir de $ ' et $ * , puis la méthode d’estimation de l’impédance thermique !" (#) à partir d’un modèle convolutif ou paramétrique.
2.1 Mesure de la température de paroi ! (") et du flux de paroi # ! (")
Le principe de la mesure est celui décrit dans la référence [2]. Elle consiste à travers un modèle
théorique obtenu par la méthode des quadripôles thermiques [3] à remonter à ! (") et # ! (") à
partir de la mesure de deux températures internes au moule $ et % placés sur la même cote mais
à une distance & $ et & % de la paroi interne du moule (Voir Figure 2 et 3).
Figure 2 : Schéma du positionnement des deux
thermocouples mesurant '
*et
!Figure 3 : Moule verrier instrumenté Nous ne détaillerons pas ici le détail des calculs que l’on peut retrouver en [2]. Nous pouvons montrer qu’il est possible de relier les température " # ($) et " % ($) à la température " & ($) et au flux
' & ($) de paroi par les relations (4) et (5).
*+ = !"# $ % &'()* + ,
&'()* $ ,- . " # + % &'()(* $ . * + ,
&'()* $ , - /////////////////0123:/" 4 (5, = 6 4 (5, ! 6 4 (7, (4) 89 = !"# $ ;) % 3'()* + ,
&'()* $ ,- . " # + ;) % 3'()(* $ . * + ,
&'()* $ , - ///////0123:/8 < (5, = > < (5, ! > < (7,?
) = @ A
0//25//0 = ; B3 <
(5)
Figure 4 : température de paroi identifiée 6 < (5, Figure 5 : flux de paroi identifié 8 < (5,
Les deux relations (4-5) nous donnent la température 6 < (5, et le flux de paroi 8 (5, en fonction
des températures supposées connues 6 $ (5,/25/6 + (5, (les températures sont celles mesurées par les
thermocouples). (Remarque : Les températures initiales d’une phase sont notées par un indice "0").
Les figures 4 et 5 donnent les évolutions temporelles de la température et du flux de paroi sur un cycle. Cette estimation a été rendue possible grâce à l’utilisation de la méthode des temps futurs [4] qui permet de régulariser l’inversion. L’estimation du flux a pu être validée sur une mesure de laboratoire faite sur le même moule chauffée par effet joule sur sa paroi interne par un film chauffant (flux calibré). Le principal avantage de la méthode utilisée ici est qu’il est possible de remonter à la température et au flux de paroi interne quelles que soient les conditions aux limites thermiques sur la paroi externe du moule qui comme on peut le voir en (4-5) n’interviennent pas explicitement dans cette relation. Ces deux grandeurs étant maintenant déterminées, il est possible de passer à l’estimation de l’impédance thermique !# ($).
2.2 Estimation de l’impédance thermique !" (!)
L’impédance thermique # $% (&) peut-être identifiée à partir de la relation (3) que nous rappelons :
' * (&) = + * (&) , + - = . * (&) / # $% (&) = 0 !"# # $% (&)1 . * (& , & 2 )3&4 (6) Il s’agit ici d’aller identifier une fonction $ % (&) que l’on discrétise avec un pas constant en
temps '&. On note $ * la valeur de cette fonction à l’instant & * . Les composantes de la température + ,* et du flux - ,* de paroi sont supposées connues (Cf. 2.1). En discrétisant par une méthode des rectangles le produit de convolution (6), on montre alors qu’il est possible de remonter aux composantes $ * de l’impédance thermique par l’inversion du système linéaire suivant :
'&.
/ 0 0 0 0 1 - ,2
- ,3 4 4 - 4 ,5
- 6 ,2 - ,3 4 4 - ,(572)
6 6 9 8 9 9
6 6 6 8 9 9
6 6 6 6 - ,2 - ,3
6 6 6 6 - 6 ,2 : ; ; ; ; <
= >
?
> @ $ 2
$ 3 4 4
$ 4 5 A > B
> C D
= >
?
> @ + ,2 + ,3 4 4 + ,5 4 A > B
> C
(7)
S’agissant d’un problème inverse, nous avons utilisé la méthode des temps futurs de Beck [4]
pour régulariser l’inversion de ce système linéaire.
Le modèle d’impédance thermique est un modèle convolutif. Si on souhaite intégrer ensuite ce modèle dans un code numérique, il est alors nécessaire pour calculer la température de paroi à l’instant & 5 (E , (& 5 )) de garder en mémoire le flux de paroi aux instants précédents, idéalement à tous les instants. C’est pourquoi, nous proposons d’utiliser un autre type de modèle pour représenter cette impédance thermique $ % (&) : les modèles paramétriques de type ARX.
2.3 Modélisation de l’impédance thermique !" (!) par un modèle paramétrique ARX Les modèles paramétriques ARX [5] sont en fait une forme généralisée des modèles convolutifs.
Leur structure est donnée par la relation suivante :
#($) = % ! " #($ % &) +'
*,
"-.
/ " 0($ % & % 1 2 ) + '3($)'
*4
"-.
(8)
La sortie du modèle #($) à un instant 5($) est supposée comme étant une combinaison des sorties
aux instant précédents #($ % &) (termes dits autorégressifs) et des entrées aux instants précédents
et actuel (termes régressifs) 0($ % & % 1 2 )6' et éventuellement du bruit à ce même instant 3($) .
L’ordre d’un modèle ARX est défini à partir du nombre de termes que l’on retient pour la partie autorégressive ( 1 , ), régressive ( 1 4 ) et le déphasage entre l’entrée et la sortie ( 1 2 ) du modèle.
Afin de bien identifier un modèle paramétrique capable de régénérer le signal de sortie, on procède à deux étapes, une première étape pour calibrer le modèle qui va consister à identifier les 1 , coefficients ! " , les 1 4 coefficients / " et des éventuels décalage 1 2 entre les données d’entrée et de sortie, et une deuxième étape pour valider le modèle en comparant la sortie du modèle identifiée en utilisant comme entrée un autre signal (de même amplitude mais de forme plus complexe) et la sortie simulée du système à ce même signal d’entrée.
Dans le cas particulier où 1 , = 1 2 = 7 , la relation (8) donne la forme discrétisée du produit de convolution (6). Dans notre cas, l’entrée représente le flux de paroi 8 9 (5) et la sortie la température de paroi : 9 ( ). De façon plus générale, nous avons montré en [6] qu’il y a équivalence entre (6) et (8) et qu’il est donc possible de relier chaque valeur de l’impédance ! " aux coefficients # $ et % $ du modèle ARX. En pratique, on constate que les termes autorégressifs présents dans (8) permettent de réduire considérablement le nombre de paramètres inconnus à identifier [6]. Concrètement, alors qu’il faut une centaine de point pour identifier l’impédance et calculer la température de paroi par un modèle convolutif, nous pouvons obtenir le même résultat avec un nombre de paramètres réduits (de l’ordre de dix) par un modèle paramétrique.
En pratique, cela nécessite pour calculer la température de paroi à l’instant & de stocker non seulement le flux de paroi aux instants précédents mais aussi la température. Cependant, il n’est pas nécessaire de stocker cette information sur des durées longues mais uniquement sur quelques
instants précédents, ce qui permet de réduire fortement les besoins de stockage de l’information.
3. Résultats expérimentaux et validation
3.1 Identification de l’impédance thermique et validation
L’identification de l’impédance thermique est réalisée sur les données provenant d’un moule instrumenté (Figure 3). Du fait du changement brusque de la nature du contact thermique verre/moule, il est nécessaire d’identifier une impédance sur chacune des quatre phases de mise en forme en utilisant la température et le flux correspondants. Pour chacune des phases, le système n’étant initialement pas à l’équilibre, nous utilisons comme condition initiale la température et le flux final de la phase précédente comme indiqué dans les relations (4) et (5).
Figure 5 : Impédance thermique identifiée sur Figure 6 : Résultat d’utilisation de
La Figure 5 montre l’allure des impédances identifiées à partir de (7) dans les 4 phases de fabrication du flacon dans le moule ébaucheur (l’estimation a été faite sur un cycle de fabrication).
Ces impédances décroissent très rapidement dans le temps. Pour vérifier la pertinence des impédances ainsi identifiées, nous avons mis en place une simulation numérique 1D par éléments finis sous Matlab, en intégrant ces impédances dans la condition aux limites (3). Dans notre cas, l’hypothèse d’un transfert 1D local est justifiée car l’estimation de l’impédance a été faite à mi- hauteur d’un moule de forme cylindrique de grande extension. L’évolution de la température de paroi au cours du temps obtenue par cette simulation 1 est présentée sur la figure 6. On note que la température de paroi donnée par le code numérique et l’utilisation de l’impédance identifiée expérimentalement est proche de celle calculée par la relation quadripolaire (4) et les mesures expérimentales ! (") et ! ("). Ce résultat montre que l’approche convolutive intégrant la notion d’impédance thermique est pertinente pour caractériser les transferts de chaleur au niveau du contact moule-verre. Elle permet de calculer de façon simple la température de paroi du moule lors de l’opération très rapide et fortement transitoire de remplissage et cela à n’importe quel instant.
3.2 Identification et validation du modèle paramétrique utilisé
Comme indiqué en 2.3, l’approche de type impédance nécessite de conserver en mémoire le flux de paroi aux instants précédents pour calculer la température de paroi par produit de convolution (3). Dans le cas de validation 1D précédent, cela est tout à fait possible. Néanmoins, il parait difficile d’étendre cette approche à des modèles 2D et 3D qui nécessiteraient de stocker le profil du flux de la paroi interne du moule sur de nombreux pas de temps. C’est pourquoi, nous nous sommes intéressés à une modélisation de cette impédance via un modèle paramétrique de type ARX. A partir des données expérimentales de température ! (") et de flux # ! ("), nous avons cherché à identifier un modèle paramétrique ARX le plus petit possible (i.e nombre de paramètres
$ % et & % réduits) qui nous permettra d’ajuster au mieux ces données. Comme pour l’impédance, quatre modèles paramétriques ARX sont identifiés sur les quatre phases de remplissage du moule ébaucheur.
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