Variabilité du contact dans l'étude du crissement de freins automobile

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Submitted on 3 May 2011

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Variabilité du contact dans l’étude du crissement de freins automobile

Arnaud Heussaff, Thierry Tison, Watremez Michel, Laurent Dubar, Fernandes Nunes Ronaldo

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Arnaud Heussaff, Thierry Tison, Watremez Michel, Laurent Dubar, Fernandes Nunes Ronaldo. Vari-

abilité du contact dans l’étude du crissement de freins automobile. 10e colloque national en calcul des

structures, May 2011, Giens, France. pp.Clé USB. �hal-00592726�

CSMA 2011

10e Colloque National en Calcul des Structures 9-13 Mai 2011, Presqu’île de Giens (Var)

Variabilité du contact dans l’étude du crissement de freins automobile

A. Heussaff

, T. Tison

, M. Watremez

, L. Dubar

, R. Fernandes Nunes

1LAMIH FRE CNRS 3304, Université de Valenciennes, France, {Thierry.Tison,Michel.Watremez,Laurent.Dubar}@univ-valenciennes.fr

2DAIMLER AG, Mercedes-Benz Cars, Sindenfilgen, Allemagne,{arnaud.heussaff, ronaldo.nunes} @daimler.com

Résumé — Ce document présente une étude stochastique de l’impact de l’évolution des surfaces en contact entre le disque et les plaquettes sur la propension à crisser des freins d’une automobile. Les para- mètres caractéristiques d’états de surfaces de plusieurs couples plaquettes-disques ayant subis différents historiques de freinage sont définis. Ces données statistiques permettent ensuite de mener une étude de stabilité du système par analyse fréquentielle. La méthode des champs aléatoires permet de modéliser la variabilité des surfaces en contact.

Mots clés — Crissement, Analyse fréquentielle, Karhunen-Loève, Translation de Johnson.

1 Introduction

Les instabilités générées par le frottement sont responsables, dans le domaine du freinage automo- bile, de nombreux bruits tels que le crissement. Ce phénomène, qui se produit pour des fréquences de 1 à 16kHz, cause l’insatisfaction des clients et augmente les coûts de garantie. Pour supprimer ces bruits, l’industrie automobile souhaite disposer d’outils fiables de prédiction permettant de mener des campagnes d’optimisation efficaces. Le crissement présente cependant une nature très aléatoire, qui est l’un des principaux obstacles à sa prédiction. Les conditions propices au crissement sont parfois diffi- ciles à reproduire (température, pression, vitesse, excitation, etc.) et de ce fait, l’étude des instabilités de freinage demeure une tâche complexe et délicate. De nombreuses théories ont été formulées afin d’ex- pliquer les mécanismes responsables du crissement. Les causes de déclenchement font toujours l’objet de recherches qui montrent que la nature et l’évolution des états de surface ont une forte influence sur l’apparition ou non du crissement.

H.A. Sherif [1, 2] étudie l’impact de la topographie du couple disque-plaquette sur l’apparition et la disparition du crissement. Il introduit dans le domaine des systèmes frottants la notion de rigidité de contact. Il la définit comme le résultat de la déformation élastique des aspérités en contact. Il mène de nombreuses expériences autour de ce paramètre et conclut que les instabilités liées au frottement sont clairement dépendantes de cette rigidité. Dans le même domaine, Rusli [9] étudie les effets de la topogra- phie des surfaces frottantes sur la rigidité de contact normal et tangentiel ainsi que sur le coefficient de frottement. Il fait les mêmes conclusions que H.A Sherif. M. Eriksson et al [3, 4, 5, 6, 7] se concentrent sur les liens entre différentes conditions de contact et l’apparition du crissement. Eriksson est l’un des pionniers dans l’introduction et l’étude de la nature des plateaux de contact. La surface de contact réelle, limitée à ces plateaux, affecte de manière significative l’apparition et la disparition du crissement. La formation et la dégradation des plateaux est un phénomène rapide provoquant de fortes déformations locales et des variations importantes des propriétés structurelles et tribologiques du contact. G.X. Chen et al [8] étudient l’influence de la topographie des surfaces en contact sur le crissement. Ils montrent que les surfaces crissantes sont caractérisées par des topographies de type adhésif alors que les surfaces silen- cieuses se distinguent par un état de surface de type abrasif. En 2008, A.R. AbuBakar [10] étudie, d’un point de vue numérique et expérimental, l’influence de l’usure des surfaces sur la nature du crissement.

La nature évolutive du crissement est alors interprétée comme l’évolution de la topographie des surfaces à une échelle macroscopique. Il conclut que l’évolution de la répartition de pression est à l’origine de l’évolution des fréquences et des amplitudes du crissement.

L’impact de la topographie des surfaces frottantes sur le phénomène de crissement est donc connu

mais leurs variabilités ne sont que très peu, voire pas du tout, considérées dans les modèles industriels.

On se concentrera dans cette étude sur les effets de l’évolution de la surface de contact entre le disque et les plaquettes sur les caractéristiques crissantes d’un système de freinage industriel. Afin d’évaluer et de quantifier l’évolution du couple frottant garniture-disque, différents états de surfaces sont pris en compte (neufs, usés selon différents historiques de freinage, " faded " et corrodés) et leurs influences sur le crissement sont étudiés. La méthode des champs aléatoires permet de modéliser la variabilité des surfaces en contact.

2 Modèles éléments finis

Les bruits de freinage sont principalement causés par des instabilités liées aux efforts de frottement.

On dénombre deux catégories de méthodes numériques utilisées pour ce type d’étude : l’analyse tem- porelle et l’analyse fréquentielle. Bien que l’analyse fréquentielle soit réputée comme étant moins dis- criminante que l’analyse temporelle, c’est néanmoins cette solution qui est retenue. Le coût numérique associé permet en effet de traiter des modèles industriels dans une boucle d’optimisation, même si des techniques de réduction de modèles [11] permettent de diminuer fortement le temps de simulation de l’approche temporelle. Le principe de l’analyse fréquentielle consiste à évaluer les valeurs propres com- plexes du système afin d’identifier les modes instables associés aux parties réelles positives. Le problème aux valeurs propres est résolu avec le logiciel commercial Abaqus. L’équation du problème est donnée par

M u ¨ + C u ˙ + Ku = 0 (1) où M , C et K représentent les matrices de masse, d’amortissement et de rigidité. On note que C et K sont non symétriques du fait des forces de frottement. La résolution du problème sous Abaqus se décompose en trois étapes principales : (a) extraction des fréquences propres du système conservatif sy- métrique (SCS) par la méthode de Lanczos, (b) projection des matrices d’état du système frottant couplé sur la base des vecteurs propres du SCS et enfin (c) résolution du système réduit par la méthode QZ.

La partie réelle des valeurs propres permet de juger la stabilité du système alors que la partie imaginaire indique la fréquence du mode. Un mode instable présente une partie réelle positive alors qu’un mode stable présente une partie réelle négative. Ce type d’analyse permet d’identifier rapidement les modes susceptibles d’engendrer le crissement.

Un modèle éléments finis tridimensionnel d’un système de freinage automobile (axe avant gauche complet) a été réalisé (1). Le modèle est constitué d’un disque de frein ventilé non perforé, du frein (étrier, pistons, plaquettes et garnitures) et d’une partie du train avant (moyeux, porte fusée, triangle de suspension supérieur et bras de suspension inférieurs). Le modèle se compose d’environ 460000 noeuds, 320000 éléments, soit près de 4 millions de degrés de liberté.

F

1 – Modèle élément finis du système de freinage étudié

L’ensemble des contacts intervenant dans le modèle du frein (plaquettes, étrier et pistons) sont modé- lisés par la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Afin de rendre la liaison avec le bâti plus réaliste, les conditions aux limites sont définies par des raideurs suivant les 6 degrés de liberté.

Chaque composant du modèle numérique est validé au moyen d’une analyse modale expérimentale par vibrométrie laser tridimensionnelle. La table 1 présente, pour les composants principaux, le pourcen- tage de fréquences appariées (facteur de MAC supérieur à 0.8) ainsi que l’erreur moyenne au sens des moindres carrés en fréquence pour la bande 0 - 4000Hz.

Composants principaux % fréquences identifiées Erreur en fréquence (nb. noeuds / nb. éléments) (MAC>0.8) (RMS)

Porte fusé (43707 / 24363) 83.3% 0.18%

Bielle (15179 / 7982) 100% 0.84%

Etrier (99673 / 58968) 100% 0.99%

Disque (128244 / 93225) 61.1% 0.30%

Plaquette (27402 / 33485) 100% 1.38%

T

1 – Résultat de l’analyse modale pour les composants principaux

Le modèle a pu être validé pour différentes conditions de freinages (vitesses et pressions) jusqu’à 4000Hz. La validation à été faite sur un banc d’essai industriel par holographie acoustique et enregistre- ment accélérométrique. Ces mesures ont permis d’identifier les principales instabilités et de les corréler avec le calcul. La table 2 présente la comparaison entre les fréquences expérimentales et numériques.

Fréquences numériques Fréquences expérimentales Erreur en fréquence (%)

1900 1850 2.7

3150 3100 1.6

3280 3250 0.9

3750 3650 2.7

T

2 – Confrontation des instabilités expérimentales et numériques

3 Modélisation des surfaces frottantes

Afin de considérer l’évolution du contact frottant selon l’historique de freinage, nous proposons une représentation à l’échelle macroscopique du contact à partir de données réelles. Pour cela on considère les surfaces frottantes comme des processus stochastiques dont les caractéristiques statistiques sont dé- terminées de manière expérimentale (profilométrie de plaquettes réelles par interférométrie).

Un processus stochastique peut être défini comme une famille de variables aléatoires, d’un espace de probabilité sur un espace d’état (de paramètre u). Si le paramètre u est défini comme une variable d’espace on parle alors de champ aléatoire défini par {B(u);u ∈ D ⊂ R

} où D est le champ d’application de B(u). Dans le cas des surfaces aléatoires, n = 2 ou 3. Il peut être écrit sous la forme

B(u) = B

(u) + B

(u) (2)

où B

(u) est la fonction moyenne de B(u) et B

(u) un champ aléatoire de moyenne nulle.

De nombreuses méthodes permettent de traiter le problème des champs aléatoires, et leur choix dé-

pend de nombreux paramètres. D’après la littérature et du fait de sa grande facilité d’implémentation, la

méthode de Karhunen-Loève est préférée. Celle-ci présente d’ailleurs la plus faible erreur au sens des

moindres carrés [14]. Les principaux paramètres observés pour la réalisation des surfaces sont la fonc-

tion d’autocorrélation ainsi que les quatre premiers moments statistiques du profil (moyenne, écart-type,

facteur d’asymétrie, facteur d’aplatissement). Les champs aléatoires, quelconques (c.à.d. non gaussiens),

sont générés en deux étapes. La première étape consiste à générer un champ à distribution normale cen- trée réduite B

(u) par une méthode de décomposition de la matrice de covariance (Karhunen-Loève de- composition). Si on considère un champs aléatoire bi-dimensionnel {B(u); u ∈ D ⊂ R

} et K

(u

,u

) la fonction d’autocovariance de B

(u), définie expérimentalement, à la fois symétrique et définie positive, alors le problème aux valeurs propres (3) peut être résolu.

Z

D

K

(u

,u

) f

(u

) = λ

f

(u

) (3) D’après la méthode de décomposition de Karhunen-Loève on a alors

B(u) = B

(u) +

k i=0

∑

f

(u) p

λ

ξ

(4)

où ξ est un ensemble de variables aléatoires indépendantes à distribution normale centrée réduite. Dans la deuxième étape, on applique une "translation" inverse, dite de Johnson [13], définie par l’équation (5), au champ B(u) pour construire le champ aléatoire non gaussien B

(u)

B

(u) = ε + υ.g

( B(u) − γ

δ ) (5)

où ε, υ, γ et δ sont évalués à partir des données expérimentales (quatre premiers moments) et g est une fonction appartenant à l’ensemble des familles de distribution du système de translation de Johnson

g

=



 



 



e

famille lognormale S

(e

− e

)/2 famille non bornée S

1/(1 + e

) famille bornée S

z famille normale S

(6)

Afin de contrôler notre générateur de champs aléatoires, on réalise 100 surfaces à partir d’une fonc- tion d’autocorrélation et d’une loi de distribution identiques. La figure 2 compare la distribution escomp- tée et estimée de ces réalisations ainsi que la fonction d’autocorrélation dans la direction principale. Bien que cette méthode ne soit pas la plus efficace en terme de temps de calcul, elle donne de bon résultats au regard des quantiles et de la corrélation. Dans notre domaine d’application, l’erreur moyenne quadratique n’excède pas 1% pour les profils gaussiens. Malgré la déformation de la fonction de corrélation du profil par la transformation de Johnson, l’erreur reste inférieure à 5% dans le cas des distributions du système de Johnson. Si l’on considère la dispersion des surfaces réelles, cette erreur est acceptable.

a. b.

F

2 – Comparaison de différentes fonctions d’autocorrélation (a.) et de distribution (b.), escomp- tées et estimées sur 100 réalisations

La mesure de nombreuses plaquettes de freinage ayant subit différents historiques de freinage permet

d’obtenir des données statistiques sur les quantiles et fonctions d’autocorrélation de profils réels. Ces in-

formations permettent de générer un ensemble de champs aléatoires représentatifs d’une population de

plaquettes donnée. Ces surfaces sont ensuite intégrées au modèle éléments finis afin de mener une ana- lyse modale complexe et d’estimer l’impact de la variabilité des surfaces frottantes sur le comportement des modes instables du système présenté au paragraphe 2. La figure 3 représente un exemple de surface simulée et sa fonction d’autocorrelation associée. La surface est composée de 7753 noeuds dont les élé- ments ont une longueur caractéristique inférieure à 0.8 mm. Ce maillage ne permet pas de prendre en compte les ondulations (rugosité) inférieures à cette même longueur caractéristique (la figure 4.a montre la rugosité d’un élément de surface inférieure à 1mm

).

a. b.

F

3 – Profil généré par la méthode de Karhunen-Loève (a.) et sa fonction d’autocorrélation (b.) La finesse du maillage éléments finis ne permet pas de considérer le comportement des aspérités rentrant en contact, mais afin d’obtenir des profils de pression plus réalistes, des mesures effectués sur différents types de plaquettes permettent de définir différentes lois de contact régularisées. Ces lois sont implémentées dans Abaqus sous forme de courbes de pression de contact - pénétration.

a. b.

F

4 – Profil réel de 1mm

mesuré par interférométrie (a.). Courbes de pression - pénétration (b.) La figure 4.b donne quatre exemples de courbes de pression de contact - pénétration. Elles sont me- surées pour différents historiques de freinage à l’aide d’un poinçon de 1mm

. La surface la plus souple est caractéristique d’une garniture neuve alors que la plus rigide est représentative d’une garniture ayant su- bit des cycles de freinages conduisant à des températures importantes. Les surfaces de contact sont donc représentées à l’échelle macroscopique géométriquement et à l’échelle microscopique structurellement.

Cette approche permet de considérer un phénomène de petite échelle dans un modèle industriel.

4 Influence de la variabilité des surfaces sur les instabilités

Afin d’étudier l’influence de la variabilité des surfaces sur les instabilités, on réalise 100 analyses

modales complexes. Pour chaque analyse on génère un champ aléatoire dont la fonction d’autocorréla-

tion et la distribution des hauteurs du profil sont à chaque réalisation définis aléatoirement. Pour cela on opère 100 tirages (Latin hypercube sampling) dans l’ensemble des paramètres caractéristiques des surfaces (quantiles, longueurs de corrélation, etc.). Les figures 5 à 6 présentent une partie des résultats des calculs éléments finis pour deux instabilités.

Sur les figures 5.a et 5.b on observe l’influence de la distribution des hauteurs de profils sur la partie réelle et imaginaire d’une des instabilités. Le 93,3%-quantile de la distribution des hauteurs variant de 0 à 50µm (profil de type haute température à neuf ) est donné en abscisse. Ce paramètre est dans le cas présent caractéristique de l’amplitude de l’ondulation des profils générés. On constate une forte corrélation linéaire entre l’ondulation du profil et la fréquence du mode, passant de 3185Hz à environ 3135Hz. Bien que la fréquence ne varie que très peu (évolution inférieure à 2%), la partie réelle subit une forte variation de près de plus de 600%. On observe une nette croissance de la partie réelle en fonction de l’amplitude de l’ondulation. Les figures 5.c et 5.d présentent les mêmes résultats pour un deuxième mode instable du système. La partie réelle de ce mode évolue entre 40 et 1600 ce qui représente une variation de plus de 400%. On remarque surtout l’absence de couplage instable pour des valeurs du 93,3%-quantile inférieures à 20µm, c.à.d, que l’état de surface influence directement l’apparition et la disparition de cette instabilité. Bien que la partie réelle des modes instables ne permette pas de conclure sur l’amplitude acoustique du crissement, de telles variations ont cependant, en théorie, une forte influence sur l’accroissement du signal.

a. b.

c. d.

F

5 – Influence de la variabilité des surfaces sur les instabilités 3150 Hz (a. et b.) et 3750 Hz (c. et d.) - Fréquence (gauche) et partie réelle (droite)

Les figures 6.a et 6.b montrent l’influence de l’état de surface sur les modes propres de deux systèmes

dans la bande de fréquences 1000-6000Hz. On réalise pour cela une analyse MAC entre un modèle pos-

sédant des plaquettes de type neuves et un modèle possédant des garnitures de type cycle long. La figure

6.a représente la matrice MAC. On constate que certaines bandes de fréquences sont insensibles aux

modifications des surfaces (1200-1600Hz, MAC > 0.95), alors que d’autres bandes de fréquences sont

très largement transformées. Lorsque l’on observe la fonction de répartition des coefficients du MAC on observe que 50% des modes ont un critère inférieur à 0,75. Cette valeur indique que 50% des modes présentent donc une très grande dissemblance.

a. b.

F

6 – Influence de la variabilité des surfaces (neuves et cycle long) sur les modes propres. Matrice de MAC (a.) et function cumulative (b.)

Ce type d’analyse permet de mettre en évidence, rapidement, les domaines fréquentiels sensibles aux évolutions des surfaces. Au sein de ces bandes de fréquences la surface peut alors influer sur le couplage, la fréquence et l’amplitude du crissement ainsi que sur la nature même du crissement (modification de la déformée modale).

5 Conclusion

L’influence de la variabilité du contact sur le crissement de freins est étudiée. Pour cela les surfaces de contact sont générées par la méthode de Karhunen-Loève et un axe avant gauche complet d’automobile est modélisé. Les résultats des simulations montrent bien l’influence des différents états de surface (ici caractérisés par le 93,3%-quantile de la distribution des hauteurs) sur les valeurs propres des modes instables du système. On observe en effet une bonne corrélation entre ces deux paramètres. Dans cette étude seules les longueurs de corrélation ainsi que l’étalement de la distribution des hauteurs varient.

Il serait intéressant d’observer aussi l’influence de différents types de fonctions de corrélation et de distribution (cf. forme) sur le crissement.

Références

[1] Sherif H.A., Effect of contact stiffness on the establishment of selfexcited vibrations, Wear 141, 1991

[2] Sherif H.A., Investigation on effect of surface topography of pad/disc assembly on squeal generation, wear 257, 2004

[3] Bergman F., Influence of disc topography on generation of brake squeal, Wear 225-229, 1999

[4] Eriksson M., Surface characterisation of brake pads after running under silent and squealing conditions, Wear 232, 1999

[5] Eriksson M., Tribological surfaces of organic brake pads, Tribology International 33, 2000

[6] Eriksson M., Wear and contact conditions of brake pads : dynamical in situ studies of pad on glass, Wear 249, 2001

[7] Eriksson M., On the nature of tribological contact in automotive brakes, Wear 252, 2002

[8] Chen G. X., Effect of surface topography on formation of squeal under reciprocating sliding, Wear 253, 2002 [9] Rusli M., Effect of surface topography on mode coupling model of dry contact sliding systems, Journal of

Sound and Vibration 308, 2007

[10] AbuBakar A. R., Wear prediction of friction material and brake squeal using the finite element method, Wear 264, 2008

[11] Vermot des Roches, G., Balmès, E., Pasquet, T., Lemaire, R. Time simulation of squeal phenomena in realistic brake models, ISMA, Leuven, 2008.

[12] Li, J., Chen, J. Stochastic Dynamics of structures, Wiley, 2009.

[13] Johnson, N.L. Systems of frequency curves generated by methods of translation, Biometrica 36, 149-176, 1949.

[14] Fenton, Random Field Generation and the Local Average Subdivision Method, Probabilistic methods in geo-

technical engineering, 2007