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Submitted on 1 Jan 1996
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Simulation rapide du vent
L. Bencteux
To cite this version:
L. Bencteux. Simulation rapide du vent. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1996, 6 (8), pp.1075- 1098. �10.1051/jp3:1996170�. �jpa-00249507�
Simulation rapide du vent
L. Bencteux
#cole Nationale Supdrieure d'Ing6nieurs de Constructions Adronautiques, 1 Place Emile Blouin,
31056 Toulouse Cedex, France
(Regu le 4 janvier 1996, r6vis6 le 13 mars 1996, accepts le 29 avril 1996)
PACS.40. Fundamental
areas of phenomenology
PACS.47. Fluid dynamics
PACS.47.15.Hg Potential flows
R4sumd. Dans cet article sont expos6es des formules analytiques ddduites de la th60rie des singularit6s. Les 6quations rdsultantes sont prdsent6es pour le calcul rapide d'un dcoulement aux potentiels sur des reliefs topographiques doux, tels que crAtes et collines. Les profils de vitesses ainsi obtenus sont compar6s aux r6sultats foumis par un code complet de calcul des singularit6s.
Les r6sultats sont comment6s et des propositions avanc6es pour une application de calcul de vent en temps r6el.
Abstract. Simplified analytical formulae
are derived from the theory of singularities. The
resulting equations are presented for the quick calculation of a potential flow over gentle topo- graphic features such as hills and ridges. Velocity profiles over cylindrical and three dimensional hills are compared with the results obtained from a true singularity code. Some observations on the results
are made as well as some propositions to provide a real time wind approximation.
Liste des notations
Symboles alphab4tiques
c rapport hauteur sur largeur des collines sinusoidales Atud14es, D( f) variation de la fonction f au sol entre l'ext4rieur et l'intArieur, f, g fonctions,
F( f) transformation de Fourier bidimensionnelle ou tridimensionnelle de f, G(z, vi fonction regroupant les termes des conditions aux limites,
k, I, m pulsations spatiales par rapport au repAre (O, x, y, z),
n vecteur normal h la surface,
no vecteur unitaire normal h la surface,
© Les Editions de Physique 1996
P(z,y, z) polyn0me de la formule analytique,
So surface sol,
Si surface ferm4e constitu4e de So et de son sym4trique,
~1~, ~ly, ~lz composantes perturbation du vecteur vent,
V vecteur vent,
V vecteur vent moyen h l'infini,
~' vecteur vent perturbation,
z, y, z coordonn4es spatiales,
zo(z,y) altitude du sol aux coordonn6es z et y,
z[~(x,y), z[~(x,y) pentes ou d4riv4es partielles de zo(x,y) par rapport h (O,x), (O,y), Symboies grecs :
a inverse de la norme de n,
b(zo(z,y)) dirac au point (z, y, zo(z,y)), /h(f) Laplacien de f,
# fonction potentiel perturbation,
4l fonction potentiel,
/t intensit4 surfacique de doublet,
a intensit4 surfacique de source,
Symboies mathdmatiqi~es :
produit de convolution bidimensionnel ou tridimensionnel, produit scalaire.
Introduction
Bon nombre d'activit4s humaines requiArent de nos jours une connaissance am41ior4e du vent.
Plusieurs exemples peuvent Atre cit4s 4tude de la dispersion de polluants chimiques ou radio-
actifs, activit4s a4roportuaires, constructions d'ouvrages d'art ou encore op4rations militaires.
Bien que de nombreux modAles de bonne qualit4 soient propos4s, la plupart n4cessitent pour leur exploitation des capacit4s informatiques puissantes, un personnel qualifi6, ainsi qu'un
temps de calcul relativement long. Si ces conditions ne pr6sentent en g4n4ral pas de r6els
problAmes, il n'en va pas de mAme lorsque les aspects temps r4el et missions op4rationnelles
se conjuguent. Mis h part "Minerve" propos4 par la soc14t4 ARIA iii, il n'existe en effet
pratiquement pas de modAle tenant compte du relief qui puissent Atre mis en ceuvre sur un ordinateur personnel. Par ailleurs, un besoin se fait jour pour des applications temps r6el,
n4cessitant des dur4es de calcul de l'ordre du milliAme de seconde. Simplicit4 et rapidit4 4tant les maitres mats, la pr4cision attendue s'en trouvera naturellement dAgrad4e.
Afin d'apporter un d4but de solution h ce problAme nous avons 4tud14 et r4alis4 un logiciel de calcul d'6coulement de vent sur relief. Fond4 sur une simplification de la m4thode des
singularit4s, ce modAle traite les 4coulements fluides parfaits incompressibles.
Le premier paragraphe rappelle les principes fondamentaux. Le deuxiAme paragraphe expose
le traitement math4matique permettant la simplification des calculs. Enfin le troisiAme para-
graphe pr4sente les r4sultats num6riques de simulations du vent sur collines de sections sinusoi- dales.
1. La th40rie des singularit4s
Dans un certain nombre de cas pratiques le domaine 4tud14 couvre de grandes dimensions, mais la connaissance du vecteur vent n'est souhait4e seulement qu'en un nombre limits de points.
I l'oppos4 des m4thodes
par maillages et 4lAments finis, cette d4finition convient parfaitement h la th40rie des singularit4s, aussi l'utiliserons nous par la suite.
Mise en ceuvre dons le cadre du code ECOPAN ddveloppA par I'ONERA [2], la m4thode des
singularit4s revient h calculer, en un point, les perturbations dans un champ de vent uniforme induites par un volume ferm4. Ces perturbations sont mod41is4es par des puits, sources, doublets
ou tourbillons r4partis sur le sol [3].
1. I. HYPOTHkSES ET RAPPELS. Nous procAderons16 au rappel des principes fondamentaux
expos4s en d4tail en r4f6rence [4].
Le champ de vent h l'infini est suppos4 uniforme et horizontal. Pour simplifier les calculs, l'axe des z est posA parallAle h la direction du vent.
L'4coulement 4tudiA est irrotationnel. L'air est consid4r4 comme 4tant un fluide parfait et
incompressible. Il existe par cons4quent une fonction 4l, appe14e potentiel des vitesses telle que:
V = grad(4l) (1)
il vient alors
ai«j = o. 12)
Ceci est vrai partout sauf h la limite, qui dans notre cas est le sol So encore repr6sent4 par
la fonction zo(z,y), oh le potentiel subit une discontinuitA. Si l'on considAre la th40rie des
4quations diff4rentielles 6tendues [5], il est alors possible d'4crire
A(*)
= Al*I + no Dlgrad(*))(zo)blzo) + no gradlD(*)lzo)blzo )) 13)
oh D(4l(zo)) repr4sente la variation de 4l h la limite, entre l'ext4rieur (l'air) et l'int4rieur (le sol) du domaine d4limitA par So
De mAme D(grad(4l)(zo)) est (gal h la variation de grad(4l) en So Ce qui correspond en fait h la variation du vecteur vitesse V en So
no est le vecteur normal unitaire h la surface So (voir Fig. I)
~~0~f
~
-z[ , bzo
n0 "
~ ~0~ ~
~ ~~~~
, @zo (4)
~°Y $
Par ailleurs /h(4l) reprAsente le Laplacien normal sans discontinuitA au sol.
~l~l"W~@~W'
z
n ~
~ zo(x,yj
....j
o ~
Fig. I. Vecteur normal I la surface.
[Surface orthogonal vector.]
1.2. R(SOLUTION. Par cons6quent /h(4l) = 0 implique
Al*I = -no D(grad(*))(zo)b(zo) no grad(D(«)(zo)I(zo))
= G (5)
r~ F(aj«j)
= FjGj
oh F(G) dAsigne la transform4e de Fourier de la fonction G, dans l'espace (O,z, y,z). k, I et m sont les pulsations spatiales associAes aux axes z, y et z :
r~ -(k~ + i~ + m~)F(4l)
= F(G)
~ ~l*1
"
~k2 ~
2~
~ y~~2~
~(~l'
Ce qui donne par transformation de Fourier inverse :
~ ~ (~2
~
~
~ y~~2j ~
~ (~)
ok * reprAsente le produit de convolution, et est dAfini dons la rAf4rence [6] :
+CO +CO +m
f * g(z, y, zj
=
/ f(z
r, y s, z tjgjr,s,tjdrdsdt. (7j
Ion
-co
Ion
Or, F~~ ~~~ ~~
~
et F~~ sont solutions de /h(f) = b(0) darts llt~ et
+ + m (k2 + 12
llt~. Leur calcul donne les fonctions de Green suivantes
[3]
en bidimensionnel
f = log(r) avec r = fi (8)
2~r et en tridimensionnel :
f =
~
avec r =
~. (9)
4~rr
~~~ ~°~~~~~~~~
= [- j lGl, en bidi~~~~"~~~~
~
2~r ~°~ ~ ~ ~~~
et
4l = a [G], en tridimensionnel. (iii
4~rr
Puisque V
= grad(4l) il vient alors
_o« I-z ~~~
V =
~~ j( ~(~ ~
,
en bidimensionnel (12)
~
bz
2~rr2~
* ~~
~~ ~
~~ 2~r~3~ * ~~~
V = ity = ~~ = (/j
a [G]
,
en tridimensionnel, (13)
y ~rr
~~
~ 2~r~3~
* ~~
G repr4sente les conditions aux limites, mais d4pend 4troitement de l'4quation diff4rentielle rAsolue, ici l'Aquation de Laplace.
1.3. ExPREssioN DES coNDiTioNs Aux LIMITES. G d6pend des termes D(4l)(zo) et
D(grad(4l))(zo). La solution adopt4e dans le code ECOPAN consiste h dAcomposer 4l en
une composante moyenne 4l et une composante "perturbation" #. La premiAre repr6sente le
potentiel du champ de vent h l'infini sur un sol plat, la seconde, la perturbation apport4e par
le relief.
Afin de calculer l'influence d'une colline, celle-ci sera placAe au milieu d'une surface plane.
I une grande distance de l'obstacle le potentiel 4l tendra vers 4i.
I l'int4rieur du relief (z zo < 0) deux solutions sont possibles
. poser # (gal h -4i, ce qui implique que l'air ne s'y 4coule pas,
. poser # nul, en consid4rant l'4coulement non perturb4.
Cette deuxiAme hypothAse est un artifice de calcul mais elle foumit de meilleurs r4sultats. Elle fut adopt6e pour le code ECOPAN, et donc aussi dans cette Atude.
Les conditions de l'4coulement sont r4sum4es dons la figure 2
1.3.1. Expression du terme G. Comme indiqu4 pr4c4demment dans l'4quation (5)
G = -no D(grad(*))(zo)b(zo) no grad(D(*)(zo)b(zo)).
Ce qui donne dans le cas tridimensionnel, avec
~
l + z[[ + z[(
G
= -ax(-z[~D(~1~)-z[~D(~ly)+D(~lz))b(zo)
~° X
~)(~l~D(41b(~011 (~lyD(41b(~011
+ )(D(4)b(~011) ,
Enz>zo
I l'infini sur la colfine
T T+j
7 V~v'
x
Enz<zo v'=0
#=0
Fig. 2. Potentiel des vitesses au-dessus et au-dessous du sol.
[Velocity potential above and under ground.]
on a suppos4 de plus que # et son gradient valent au sol, c0t4 ext4rieur, lo et ~o, et sort nuls c0t4 int4rieur.
I trAs basse altitude,
on suppose le vent parallAle au relief (condition de glissement). La composante moyenne 4tant parallAle h l'axe x, on a
(~1~)
= ~l~o
D(~ly) = ~lyo
D(~z)
" ~z0
~lzo " z[~(fi + ~lo) + z[~~lyo. (14)
Ce qui donne en tridimensionnel
~ ~ ~ jzi~~~~~zo) iiz%~<obiz°)) 'i~'Y'°~~~°~~ + fil~~~~
1 ~
3 ~
et en bidimensionnel
G = -a x (zi~i)I(zo) )(zi~ioi(zo)) + hoi(zo))1 (16)
2 3
Dans la m4thode des singularit4s classique on considAre que l'Acoulement est perturb4 par un
ensemble de sources et puits rApartis sur la surface 4tud14e. Les premiers sont repr4sent4s par
le terme I, alors que les seconds se calculent avec les termes 2, 3, 4.
Nous aurons ainsi les correspondances suivantes, pour les sources
~ +OJ +C° +OJ
-ds ~y
= --(z[~fi)b(zo)dzdydz (17)
4~r
~ r
_~ _~ _~
4~rr
oh a repr4sente la densit4 surfacique de source et So la surface 4tud14e, pour les doublets
~ /~ ~~° '~~~d ~)ids =
~° l ~
'l~~~'~'°i~~z°)) ((ziy<o)~~z~~~
+ ~~~~~~~~~j
~[[[[
oh /t reprAsente la densit4 surfacique de doublet.
On voit ainsi que la r4partition des sources est bien d4finie par l'4quation (17), ce qui n'est pas le cas des doublets puisque dans la relation (18) les potentiels sont inconnus. Le problAme
vient alors de lo (z,y) dont il reste h dAterminer la valeur en tout point du sol, zo(x, y).
1.4. CALCUL DE L'INFLUENCE DES DOUBLETS PAR ECOPAN. En ce qui conceme ECOPAN,
le calcul des doublets repr4sente la plus grande partie du logiciel et de son temps d'ex4cution.
En effet, il est n4cessaire de calculer l'4coulement sur une surface Si fermAe et sym4trique (darts
le cas d'un volume n'ayant pas de portance).
Dans notre cas nous consid4rerons Si d41imit4e par So et son sym4trique par rapport h l'axe (Oz). Comme h l'int4rieur de ce volume la perturbation de l'4coulement est suppos6e nulle, il
vient alors, pour un point situ4 h l'int4rieur de Si
/ / °
d8 =
/ / /~no grad l~ ds 11 9
4~r
~~ r 4~r
~~ r
Sous forme discr4tis6e cette relation conduit h un systAme lin4aire poss6dant autant d'4quations
que d'inconnues /~i issues des points d4finissant la surface 4tud14e
:
[AlI/~I = lBl
L'inversion de [A] demande une taille de m4moire importante, car Si se d4finit typiquement
en 400 points pour un profil cylindrique simple et 1600 points ou plus pour un relief plus complexe. L'inversion de matrices 400 par 400 est une op4ration lourde qui prend quelques
minutes sur un Pentium 75 MHz poss4dant 8 m4gaoctets de R-A-M- AprAs le calcul des doublets il convient encore de calculer les int4grales d4finies en (17) et (18) pour obtenir l'expression du
potentiel des vitesses
:
j =
) / /
~tno grad ds ) / / ° ds
~r s~ r ~r ~~ r
1.5. APPROXIMATION POLYNOMIALE DE L'INFLUENCE DE #o(z,y). 1l'ext6rieur du
vo-
lume d4fini par le relief et son sym4trique les contributions des termes de l'4galit4 (19) sont formellement diff4rentes, sauf, h la limite, pour des reliefs presque plats, oh l'on obtient alors l'approximation suivante
i1~ 2 iii
*
~l(20)
Le calcul revient alors h int4grer l'influence des sources r6parties sur la seule face So La simpli-
cit4 de cette formulation d4jh connue (4coulement autour d'un corps 41anc4) est remarquable
car elle autorise des calculs trAs rapides. Dons le cas oh le vent n'est pas parallAle h l'axe des z, il sullit d'ajouter la composante par rapport h l'axe des y. En effet, les potentiels des vitesses
se composent de faqon linAaire. On obtient alors le modAle 1
~~ 2 Ill
*
1°f(~l~l~~~~z°)j
~Y 2 Iii
* °f(~l~l~~~~z°)j (21)
~z - 2 Iii
*
°fzj~l~l~~~z°)j
Dans le but d'Atendre le domaine d'application de ces formules h des reliefs plus marquAs,
on a imaginA de remplacer les formes linAarisAes en z[~ et z[~ des dAnominateurs des relations
(21) par des polyn0mes en z[~ et z[~ afin d'accroitre l'ordre de l'approximation vis-h-vis des pentes locales du relief.
Le potentiel perturbA induit par un relief symAtrique, centr4 sur l'origine des axes, donc d6fini par zo(z) paire, est une fonction impaire de z tout comme la composante horizontale du vecteur vitesse. Cela implique par consAquent de ne garder que les composantes d'exposant impair du polyn0me en z[~. Par consAquent, il reste
+oJ
P(Z(~)
#
~j&zZj/~+~
z=0
On trace alors les diffArences entre la composante ~1~ calculAe par ECOPAN et celle obtenue par le modAle I, aux verticales du sommet, de la mi-pente et de la base d'une colline sinusoidale de 1000 m de haut par 2000 m de large. Il sullit ensuite d'identifier les coefficients az permettant d'annuler les courbes calcu16es ci-dessus. L'un des r4sultats les plus simples ainsi obtenus donne
P(~l~)
" (~l~ + ~[ll' (22)
Il est alors possible d'Acrire les composantes du vecteur vitesse en bidimensionnel
~j z (zl«+zil)fir(zo)1
~~ ~
2~r~ ~ fi
(~~~
z (zl~ + z1)fi
~~zo
j
~~~~12~rr~ ~ fi
En tridimensionnel un polyn0me P(z[~,z[~) se dAduit simplement, ce qui donne les compo- santes du vecteur vitesse
~~ - 2 [Al
*
~'~
~ )izj~l'i~) ~~~~z°)j
~~ m ~ iii
» ~~'~ + ))~
(i)Y,(
'~~~~z~~j
~~4~
z~~ z~~
~~ ~ Iii
~
~~~ ~
~)l(~li)~~~~~~°~j
Cependant, afin de satisfaire l'invariance par rotation, on a adopt4 la formule suivante :
z
z%~ii
+ zli + zlila + z%yIi + zll + zlll~
q~~ = 2 ~(
~ a ~°
2~rr ~
,
» (zi~(i + zli + zll)fi + z%y(i + zZ + z01)~
i( (251
q~~ = 2
~ a ~°
2~rr ~
,
z
~
(zi~(i + zli + zllifi + zi~(i + zll + zll~ iizoi
~~ ~
2~r3 ~
Ce qui correspond h la formulation vectorielle
P(z, yj
= jV nj jjnjj (26j
avec :
_ ~i
0~
n = -z[~ (27)
1.6. llouATioNs SIMPLIFILES. Afin d'allAger les calculs, l'6quation (25), peut Atre intAgr6e
formellement par rapport h la variable z, si l'on tient compte du r6sultat suivant :
/~~ flz zlglzlblz zoldz
= f(z zolglzol. (281
Par cons4quent, de l'Agalit4
+c~ +c~ +c~ _~
~ /oJ loo loo 47r/(z
x12 + (y Y12 + (z z)2
z[~(X,Y)(1 + z($(X,Y) + z(((X,Y))fi + z[~(1 + z($ (X, Y) + z(((X,Y) )t
x Ii + z[[(X, Y) + z[((X,Y)
xb(zo(X, Y))dXdYdZ (29)
se d4duit l'Aquation
+oJ +c~ _~
~ ~c~ ~o~ 4~r/(z X)~
+ (y Y)~ + (z zo(X, Y))~
~
z[~(X, Y)(I + z([(X,Y) + z(((X,Y))fi + z[~(1 + z([(X,Y) + z(((X,Y))@
Ii + z[((X,Y) + z(((X,Y) ~~~~
(30)
Les composantes du vecteur vent perturbA deviennent alors :
+c~ +c~ ~(~ x)
~~ / /
~°° -°° 4~r (/(z X)~ + (y Y)~ + (z
zo(X,Y))~)
~
~
z[~(X, Y)(I + z($(X,Y) + z(((X,Y))it + z[~(l + z($(X,Y) + z(((X,Y))@
Ii + z[$(X,Y) + z(((X,Y) ~~~~
/+°~ /+°~ 2(y Y)
~1~ = ~
-C~ -C~ 47r (/(z x)2 + (» Y)2 + (z zo(x, Y))2)
z[~(X, Y)(I + z($(X,Y) + zj((X,Y))it + z[~(1 + z($(X,Y) + z(((X,Y))@
x dXdY
Ii + z($ (X, Y) + z[((X,Y)
/+°~ /+°~ 2(z zo(X, Y))
~lz = ~
~°° ~°° 4~r (/(z X)~ + (y Y)~ + (z zo(X, Y))~)
~
zl~(X, Y)(i + z[I(X, Y) + z[[(X, Yllli + zl~(i + z[I(X,Y) + zi[(X,Y))@
Ii + z($(X,Y) + z[((X,Y) ~~~~
(31)
Ces Aquations constituent ce que l'on nommera par la suite le modAle 2.
2. Pr4sentation et analyse des r4sultats
2.I. RELIEFS tTUDits. Le choix de la topographie Atud14e est important. En effet, une
certaine prudence s'impose au regard de l'influence que possAdent les variations brusques de pente, sur la convergence des modAles habituels. Par exemple, il est toujours n4cessaire de
resserrer fortement le maillage d'ECOPAN au voisinage d'un angle aigu. Dans ce but et afin
de comparer les r4sultats des diffArents logiciels, nous avons 4tudiA un 4ventail de collines cy- lindriques de sections sinusoidales. La formulation en est d'ailleurs trAs simple
Pour z < -1000 m et z > 1000 m
zo(z,y)
= 0 (32)
Pour -1000 m < z < 1000 m
zo(z,Y)
= C x 1000 1+
CDS Iii1
soo isoo
o iooo
soo soo
iooo o
isoo .soo
2000 -lO00
2500 1500 axe des y
axe des x
Fig. 3. Gorge sinus6idale darts une crAte de section sinusoidale.
[Cylindrical hill with a sinusoidal section, pierced by a sinusoidal valley.]
La largeur de ces derniAres a 4t4 fix4e h 2000 m, et leur hauteur choisie de 250 h 2000 m, autorisant ainsi le rapport hauteur sur largeur, not4 c, h varier de 0,125 h I. Compte tenu de l'amortissement rapide de la dAform4e du champ des vitesses pour des valeurs de c foibles,
l'4tude des valeurs inf4rieures h 0,125 n'offrait que peu d'intArAt. I l'opposA, au-dell de
c = I
le traitement analytique d4passe par endroit ses limites de validitA.
Par ailleurs on a Atud14 dons le cas tridimensionnel une gorge de section, elle aussi sinusoidale, creusAe au milieu d'une colline cylindrique. Nous nous sommes plus particuliArement concentr4
sur le cas c
= 0,5. De plus il sullit de multiplier zo(z, y) par la fonction ko(x,y) telle que Pour y < -1000 m et 1000 m < y :
ko(z,y)
= 1 j33)
Pour -1000 m < y < 1000 m
ko(z, y)
= 0,5 x (I cos (~)
Le relief r6sultant est expos4 sur la figure 3.
2.2. IITUDE FORMELLE DE LA soLuTioN ANALYTIQUE. Un certain nombre de remarques peuvent Atre faites, avant calculs, sur la forme des r4sultats obtenus h l'aide des 4quations (23)
et (31)
ii Il est possible d'ajouter les perturbations induites par diff4rents reliefs et calcu16es ind4-
pendamment, h condition que ces demiers ne se chevauchent pas.
2) Le profil du relief est sym4trique, par cons4quent la distribution des composantes ~1~ et
~lz du champ de vent seront respectivement sym4triques et antisymAtriques.
3) Les r4sultats seront invariants par similitude la survitesse calculAe h 100 m au dessus du sommet de la colline c
= 0,5 et de largeur 2000 m (h
= 1000 ml, sera (gale h la survitesse calcu14e h 10 m pour une colline c
= 0, 5 et de largeur 200 m (h
= 100 ml.
