OP6 – Diffraction A – Travaux dirigés OP61 – Fente rectiligne

OP6 – Diffraction

A – Travaux dirigés

OP61 – Fente rectiligne

OP62 – Diffraction par un réseau

OP63 – Traits parallèles équidistants

OP64 – Principe de la strioscopie

B – Exercices supplémentaires

OP65 – Filtrage optique

OP66 – Filtrage d’une mire sinusoïdale

1°) L’objet est une mire sinusoïdale de période a de transmittance : 𝑡𝑡(𝑥𝑥) = 1

2 �1 + cos � 2 π _𝑥𝑥

𝑎𝑎 �� = 1 2 +

1

4 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖2 𝑎𝑎 π 𝑥𝑥} + 1

4 𝑒𝑒 ^{− 𝑖𝑖2 𝑎𝑎 π 𝑥𝑥} D’où les fréquences spatiales :

𝑢𝑢 = �− 1 𝑎𝑎 , 0, 1

𝑎𝑎 � Les tâches spatiales dans le plan de Fourier sont donc :

𝑋𝑋 = �− λ _𝑓𝑓 ^′

𝑎𝑎 , 0, λ _𝑓𝑓 ^′ 𝑎𝑎 �

2°) Dans le plan image : 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠 ₀ 𝑡𝑡(𝑥𝑥) ⇒ _{𝐼𝐼 =} ^{𝑠𝑠 0 2}

4 �1 + cos � 2 π _𝑥𝑥

𝑎𝑎 �� ² ⇒ _{𝐼𝐼 =} ^{𝑠𝑠 0 2}

4 �1 + 2 cos � 2 π _𝑥𝑥

𝑎𝑎 � + cos ² � 2 π _𝑥𝑥 𝑎𝑎 ��

⇒ _{𝐼𝐼 =} ^{𝑠𝑠 0 2} 4 � 3

2 + 2 cos � 2 π _𝑥𝑥 𝑎𝑎 � + 1

2 cos � 4 π _𝑥𝑥 𝑎𝑎 ��

D’où le spectre du plan image :

{− 2 𝑎𝑎 , − 1

𝑎𝑎 , 0, 1 𝑎𝑎 , 2

𝑎𝑎 }

3°) Pour que l’intensité ne soit pas nulle il faut au moins laisser passer les fréquences

± _𝑎𝑎 ¹ . Donc 𝑟𝑟 _𝐷𝐷 < ^λ _𝑎𝑎 ^𝑓𝑓

Dans ce cas il reste dans le plan de Fourier deux sources cohérentes car elles proviennent d’une même source. On se retrouve dans la même situation que les trous d’Young tel que :

𝑠𝑠 = 𝑠𝑠 ₀ �1 + 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖2 λ πδ} � 𝑜𝑜ù δ ₌ aX D ⁼

2 λ _𝑓𝑓 ^′ 𝑎𝑎 . 𝑥𝑥

𝑓𝑓 ^′ = 2𝑥𝑥𝑓𝑓 ^′

𝑎𝑎 ⇒ _{𝑠𝑠 = 𝑠𝑠 0 �1 + 𝑒𝑒} ^𝑖𝑖4 𝑎𝑎 ^{π 𝑥𝑥} �

⇒ _{𝑠𝑠 = 𝑠𝑠 0 𝑒𝑒} ^{𝑖𝑖2 𝑎𝑎 π 𝑥𝑥} _�𝑒𝑒 ^{− 𝑖𝑖2 𝑎𝑎 π 𝑥𝑥} _{+ 𝑒𝑒} ^{𝑖𝑖2 𝑎𝑎 π 𝑥𝑥} _� ⇒ _{𝑠𝑠 = 2𝑠𝑠 0 𝑒𝑒} ^{𝑖𝑖2 𝑎𝑎 π 𝑥𝑥} _{cos �} ² π _𝑥𝑥 𝑎𝑎 � 4°) D’où l’intensité est :

𝐼𝐼 = 4𝑠𝑠 ₀ ² cos ² � 2 π _𝑥𝑥 𝑎𝑎 �

⇒ _{𝐼𝐼 = 2𝑠𝑠 0} ² _{(1 + 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 �} ⁴ π _𝑥𝑥 𝑎𝑎 �

Les fréquences spatiales sont donc doubles que l’objet : �− _𝑎𝑎 ² , 0 , ² _𝑎𝑎 � . On a réalisé un

doubleur de fréquence.

OP67 – Fentes d’Young

1°) On a donc :

𝑡𝑡(𝑥𝑥) = � 1, − 𝑏𝑏 2 ±

𝑎𝑎

2 < 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏 2 ±

𝑎𝑎 0, 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑢𝑢𝑟𝑟𝑠𝑠 2

Les grandeurs caractéristiques sont les largeurs des fentes et la distance entre elles d’où les fréquences spatiales : ¹

𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑡𝑡 ¹ _𝑏𝑏 2°) 𝑇𝑇(𝑢𝑢) = 𝑇𝑇𝑇𝑇�𝑡𝑡(𝑥𝑥)� = ∫ 𝑡𝑡 (𝑥𝑥) 𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖2 π 𝑢𝑢𝑥𝑥} 𝑑𝑑𝑥𝑥

= � 𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖2 π 𝑢𝑢𝑥𝑥} 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑏𝑏 2− 𝑎𝑎 2

−𝑏𝑏2− 𝑎𝑎 2

+ � 𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖2𝑢𝑢𝑥𝑥} 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑏𝑏 2+ 𝑎𝑎 2

−𝑏𝑏2+ 𝑎𝑎 2

= � 𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢𝑥𝑥}

−𝑎𝑎2𝜋𝜋𝑢𝑢 �

−𝑏𝑏2− 𝑎𝑎 2 𝑏𝑏 2− 𝑎𝑎

2 + � 𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢𝑥𝑥}

−𝑎𝑎2𝜋𝜋𝑢𝑢 �

−𝑏𝑏2+ 𝑎𝑎 2 𝑏𝑏 2+ 𝑎𝑎

2

= � 𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢𝑥𝑥}

−𝑎𝑎2𝜋𝜋𝑢𝑢 �

−𝑏𝑏2− 𝑎𝑎 2 𝑏𝑏 2− 𝑎𝑎

2 + � 𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢𝑥𝑥}

−𝑎𝑎2𝜋𝜋𝑢𝑢 �

−𝑏𝑏2+ 𝑎𝑎 2 𝑏𝑏 2+ 𝑎𝑎

2

= 1

𝑎𝑎2𝜋𝜋𝑢𝑢 �−𝑒𝑒 −𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢�𝑏𝑏2− 𝑎𝑎

2� + 𝑒𝑒 −𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢�−𝑏𝑏2− 𝑎𝑎

2� + 𝑒𝑒 −𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢�−𝑏𝑏2+ 𝑎𝑎

2� − 𝑒𝑒 −𝑖𝑖2𝜋𝜋𝑢𝑢�𝑏𝑏2+ 𝑎𝑎 2� �

= 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖 π 𝑢𝑢𝑎𝑎}

𝑎𝑎2𝜋𝜋𝑢𝑢 �−𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖𝜋𝜋𝑢𝑢𝑏𝑏} + 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖𝜋𝜋𝑢𝑢𝑏𝑏} � + 𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖 π 𝑢𝑢𝑎𝑎}

𝑎𝑎2𝜋𝜋𝑢𝑢 �−𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖𝜋𝜋𝑢𝑢𝑏𝑏} + 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖𝜋𝜋𝑢𝑢𝑏𝑏} �

= 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖 π 𝑢𝑢𝑎𝑎}

𝜋𝜋𝑢𝑢 sin(𝜋𝜋𝑢𝑢𝑏𝑏) + 𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖 π 𝑢𝑢𝑎𝑎}

𝜋𝜋𝑢𝑢 sin(𝜋𝜋𝑢𝑢𝑏𝑏)

⇒ 𝑇𝑇(𝑢𝑢) = 2𝑏𝑏 cos( π 𝑢𝑢𝑎𝑎) sinc(𝜋𝜋𝑢𝑢𝑏𝑏) 3°) D’où : 𝐼𝐼(𝑢𝑢) = 𝐼𝐼 ₀ cos ² ( π _{𝑢𝑢𝑎𝑎) sinc} ² (𝜋𝜋𝑢𝑢𝑏𝑏)

⇔ 𝐼𝐼(𝑢𝑢) = 𝐼𝐼 ₀

2 (1 + cos(2 π 𝑢𝑢𝑎𝑎)) sinc ² (𝜋𝜋𝑢𝑢𝑏𝑏)

L’intensité est donc observable dans la tâche de diffraction sur une largeur de :

∆ _{𝑥𝑥 =} ^{2 λ 0 𝑓𝑓 ′}

𝑏𝑏