Exercices résolus de mathématiques.
TRI 42
EXTRI420-EXTRI429
http://matheux.ovh/Accueil.html
Jacques Collot
Benoit Baudelet – Steve Tumson Jan Frans Broeckx – Nicole Berckmans
Fabienne Zoetard
EXTRI420 – FACS, ULB, Bruxelles, septembre 2015.
Exprimez sin 3 comme une fonction de sin .a a
( )
( )
2 2
2 3
3 3
3
sin 3 sin(2 )
sin 2 cos cos 2 sin
2sin cos 1 2sin sin 2sin 1 sin sin 2sin 2sin 2sin sin 2sin
sin 3sin 4sin
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
= +
= +
= + −
= − + −
= − + −
= −
30 janvier 2016
EXTRI421 – FACS, ULB, Bruxelles, septembre 2015.
L'atonium a une hauteur d'environ 100 m. En assimilant la Terre à une sphère parfaite de 6000 km de rayon, jusqu'à quelle distance peut-voir depuis le sommet de ce monument bruxellois.
Quelle devrait être la hauteur d'un bâtiment qui permettrait de voir jusqu'à Ostende, distante de 110 km de Bruxelles?
On demande d'effectuer les calculs à 10% près
Indication : Afin de faciliter les calculs, il peut êt
( ) ( ) ( )
re intéressant d'approcher les fonctions de petits arguments par leur développement de Taylor au premier ordre:
0 ' 0
f x f +xf
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
3
2
2 2
a) Appliquons Pyhtagore dans le triangle rectangle 1
2 2 car
2 6 10 0,100 35.641 35.6 km
b) On repart de 1
1
ABC
R h l R
l R h R Rh h Rh h R
h l R R R l R
R + = +
= + − = +
= =
= + − = + −
x
Solution proposée par Jan Frans Broeckx
30 janvier 2016. Modifié le 15 mars 2016 (Jan Frans Broeckx)
EXTRI422 – FACS, ULB, Bruxelles, juillet 2016.
( ) ( )
2
Résoudre dans
cosec x+ −1 3 cotx− +1 3 =0
Solution proposée par Jan Frans Broeckx
25 octobre 2016
EXTRI423 - FACS, ULB, Bruxelles, juillet 2016.
EPL, UCL, LLN, juillet 2016.
POLYTECH, Umons, Mons, juillet 2016.
FACSA, ULG, Liège, juillet 2016
2
Dans , trouver toutes les valeurs de pour lesquels l'égalité suivante est vérifiée
sin 5 sin 2sin 1
Représenter les solutions appartenant à l'intervalle , sur le cercle trigonométrique x
x+ x+ x=
−
Solution proposée par Jan Frans Broeckx
Solution proposée par Nicole Berckmans
( )
( )
( )
2
1
Transformons l'équation par les formules de Simpson et de Carnot :
sin 5 sin 1 2sin 2sin 3 cos 2 cos 2 cos 2 2sin 3 1 0 1 cos 2 0
2 càd
2 4 2
3 3
, , ,
4 4 4 4
2 sin 3 1 2
3 2 càd
6 18
x x x x x x x x
x
x k x k
S
x
x k x
+ = − = − =
=
= + = +
= − −
=
• = + = + ( )
( )
21
22
2 1 12
3 18
11 14
, , 18 18 18
3 2 càd 5 2 5 12
6 18 3 18
7 5 17 , , 18 18 18
k k
S
x k x k k
S
= +
= −
• = − + = + = +
= −
25 octobre 2016
EXTRI424 – FACS, ULB, Bruxelles, juillet 2016.
Solution proposée par Jan Frans Broeckx
25 octobre 2016
EXTRI425 – FACS, ULB, Bruxelles, septembre 2016.
EPL, UCL, LLN, juillet 2016.
Solution proposée par Jan Frans Broeckx
Solution proposée par Fabienne Zoetard
( ) ( )
( )( )
( )
( )
2
cos 3 1 3 cos 2 1 3 cos 1 0 cos 3 1 3 cos 2 cos 1 0
3 3
2 cos 1 1 3 2 cos cos 1 0
2 2 2
3 3
2 cos cos 1 3 cos 0
2 2 2
3 3
cos cos cos 3 cos 0
2 2 2 2
cos3 2 cos cos 3 cos 0
2 2 2
cos3 cos 2 cos
2 2
+ − + − + =
+ − + + =
− + − + =
+ − =
+ − =
− =
( − )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 0
cos3 0 cos 0 2 cos 3 0
2 2
3 3
2 2 2 2 cos 2
2 2 2
3 3 6
1 2 2
Remarquons que 2 est inclus dans 1
2 ; 2 |
3 3 6
k k
k k k
S k k k
=
= = − =
= + = + =
= + = + = +
= + +
25 octobre 2016. Modifié le 29 septembre 2017 (Fabienne Zoetard)
EXTRI426 – FACS, ULB, Bruxelles, septembre 2016.
ULB, UCL, LLN, septembre 2016
POLYTECH, Umons, Mons, septembre 2016 FACSA, ULG, Liège, septembre 2016
Résoudre l'équation trigonométriquen, en précisant les conditions d'existence : tan sin
2 2 cos tan sin
Représenter les solutions appartenant à l'intervalle , sur le cercle trigonométrique
x x
x x x
− = −
+
−
Solution proposée par Jan Frans Broeckx
Solution proposée par Nicole Berckmans
( )
( ) ( ) tan existe si
2 sin sin 1 cos
cos si sin 0
sin sin 1 cos cos
1 cos
2 1 cos 1 cos
1 1 cos 0 cos 1 à rejeter
1 2
2 cos 2
2 3
x x k
x x
x x x x k
x x x
x
x x
x
x x
x x k
+
− −
=
+ +
− = −
+
− = =
= − = +
25 octobre 2016
EXTRI427 – FACS, ULB, Bruxelles, septembre 2016.
Sachant que les coordonnées de Bruxelles sont 50,85° de latitude Nord et 4,35° de longitude Est et que celles de Lagos au Nigéria sont 6,52° de latitude Nord et 3,38° de longitude Est, calculer la distance la plus courte parcourue sur la Terre entre ces deux villes en assimilant la Terre à une sphère parfaite de 6000 km de rayon. On demande d'exprimer la valeur de la réponse numérique à 10% près et d'approcher les fonctions de petits arguments par leur développement de Taylor au premier ordre : ( ) (0) '(0).
Rappel :
Pour un point P situé sur le globe terrestre, la latitude est l'angle ent f x f + x f
− re le plan de
l'équateur et la demi-droite dont l'origine est le centre de la Terre et qui passe par le point . Cet angle est compris entre 0° et 90° (Nord ou Sud).
La longitude est l'angle formé par P
− le plan du méridien de Greenwich et le plan comprenant
l'axe de rotation de la Terre (axe Nord-Sud) et le point . Cet angle est compris entre 0°
et 180° (Est ou Ouest).
P
Solution proposée par Jan Frans Broeckx
25 octobre 2016
EXTRI428 – EPL, UCL, LLN, juillet 2016.
Solution proposée par Nicole Berckmans
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
1 sous-tend un demi-cercle de rayon 2 figure 1 2 L'équation sera égale à zéro si
cos 0
2 une seule solution : sin 2 0 2 2
2
3 cos cos sin sin cos cos 2
4 Si
2
A R a R
x x
x
x x x
a b a b a b a b a b a b a
a C
=
= =
=
= = =
+ − − + − = + + − =
= ( )
cos sin et sin cos ce qui vérifie la relation.
Simpson : cos cos sin sin 2
A B A B
b A B A B
= =
+ = +
cos cos
2 2
A+B A−B
= 2sin cos
2 2
A+B A−B
( )
( )
car cos 0 sinon
2
tan 1
2 2 4 2 2
Conclusion : 60
4 2 2
sin 2sin cos
3 2 10 10 10 2
5 Le complémentaire de est : 2sin
2 2
10 10 cos cos 10
10 10
A B
A B
A B A B
A B C
C
− − =
+ = + = + = =
= =
Solution proposée par Jan Frans Broeckx
EXTRI429 – EPL, UCL, LLN, juillet 2016.
Solution proposée par Nicole Berckmans
( )
( )
1 Figure 1
0.0078 radian
6371 1 cos
cos 6371 0.1962 km 196 m
6371 cos
2 Figure 2 / 2 cos 6371
6371.1
arccos 71.3914 km 71391 m d r d
r
r h
h r h d
r r r h d
= = =
−
= = = = =
+ +
==
= = +
= = =
Solution proposée par Jan Frans Broeckx
30 octobre 16
